Dépendant e mutuelle des lo
des cordes et de leurs distances nu centre,
1 ondition pour qu'une droite soil tangente a une circonférence. — Arcs interceptés par des cordes pai allèli s.
li. Conditions du contact ci de l'interscction de deux cercles.
15. Mesure des angles. — Si des sommets (!'• deux angles on décril deux ans de cercle d'un même rayon, le rapport des angles scia égal a i ..'lui des arcs compris entre i cotés (1). — Angles msciiis. -- Evaluation des angles en degrés, minutes et secondes.
10. Problèmes.— Usage de- la règle et du compas dans les constructions sur le papier. — Vérification 'le 1 1 règle. — Problème s mentaires sur la construction des angles et des triangles.
17. Tracé des perpendiculaires el des parallèles. — Abréviation des constructions au moyen de l'équerre et du rapporteur. — Vérification de l'équerre*.
«8, 1(J. Division d'une droite et d'un arc en deux parties égales. — Décrire une circonférence qui passe par trois points donne-. — D'un point donné hors d'un cercle mener une tangente à ce cercle. — Mener une tangente commune à deux cercles. — Décrire sur une ligne donnée un segment de cercle capable d'un angle donné.
20. Ligues proportionnelles (2,. — Toute parallèle à l'un dvs eûtes d'un triangle divise les deux autres cotés en parties proportionnelles. Réciproque. — Propriétés de la bissectrice de l'angle d'un triangle.
En
21, 22. Polygones semblables. — un coupant un triangle par une parallèle à l'un de ses côtés, on détermine un triangle partiel semblable au premier. — Conditions de similitude des triangles. — Décomposition des polygones semblables en triangles semblables. — Rapport des périmètres.
23, 21. Relations entre la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle, droit d'un triangle rectangle sur l'hypoténuse, les segments de l'hypoténuse, l'hypoténuse ellemême et les côtés de l'angle droit. —Relations entre le carré du nombre qui exprime la longueur du côté d'un triangle opposé à un angle droit, aigu ou obtus, et les carrés des îiombresquiexprimentleslougueursdesdeux autres côtés. — Si d'un point pris dans le plan d'un cercle, on mène des sécantes, le produit des distances de ce point aux deux points d'intersection de chaque sécante avec
(1) La proposition étant démontrée pour le cas où ii y a entre les arcs une commune mesure, quelque petite qu'elle soil, sera, par cela même, considérée • mi ne générale.
.ni les énoncés habituels, on devra remplacer, dans les démonstrations, l'algorithme lies proportions par l'égalité des rapports.
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la circonférence est constant, quelle que soit In direction de la sécante. — Cas où elle devient tangente.
25, 2G. Diviser une droite donnée en parties égales, ou en parties proportionnelles à des lignes données. — Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes; une moyenne proportionnelle cuire deux lignes.
— Construire, sur une droite donnée, un polygone semblable à un polygone donné.
27. Polygones réguliers. — Tout polygone régulier peut être inscrit et circonscrit au cercle. — Le rapport des périmètres de deux: polygones réguliers, d'un même nombre de côtés, est le même que celui des rayons des cercles circonscrits (1). — Le rapport d'une circonférence à son diamètre est un nombre constant.
28, 29. Inscrire dans un cercle de rayon donné un carré, un hexagone régulier. — Manière d'évaluer le rapport approché de la circonférence au diamètre, en calculant les périmètres des polygones réguliers de k, 8, 16, 32... cotés, inscrits dans un cercle de rayon donné.
'30, 31. De l'aire des polygones et de celie du cercle. — Mesure de l'aire du rectangle; du parallélogramme; du triangle ; du trapèze; d'un polygone quelconque. — Méthodes de la décomposition en triangles et en trapèzes 3-ectangles.
32. Relations enlre le carré construit sur .e côté d'un triangle, opposé à un angle droit ou aigu ou obtus, et les carrés construits sur les deux autres côtés.
33. Le rapport des aires de deux polygones semblables est le même que celui des carrés des côtés homologues.
3i. Aire d'un polygone régulier. Aire d'un cercle, d'un secteur et d'un segment de cercle. — Rapport des aires de deux cercles de rayons différents.
Cinq leçons seront en outre consacrées à donner les premières notions sur la ligne droite et le plan, dans l'espace.
% Classe de seconde.
Figures dans l'espace.
Pour faire mieux comprendre les questions de géométrie dans l'espace et leurs applications, on aura recours à 4£s modèles en relief.
1, 2. Du plan et de la ligne droite. — Deux droites qui se coupent déterminent la position d'un plan. Condition pour qu'une droite soit perpendiculaire a un plan. — Propriétés de la perpendiculaire et des obliques, menées d'un même point à un pian.
3, i. Parallélisme des droites et des plans.
5. Lorsque deux plans se rencontrent, la figure que forment ces plans, terminés à leur intersection commune, s'appelle ançfle dièdre.
— Génération des angles dièdres par la rotation d'un plan autour d'une droite. — Diè-
(1) La longueur de la circonférence de cercle sera ■considérée, sans démonstration, comme la limite
vers laquelle tend le périmètre d'un polygone inscrit dans celle combe, à mesure que ses côtés diminuent indéfiniment.
dre droit. — Angle plan correspondant à l'angle dièdre. — Le rapport de deux angles dièdres est le même que celui de leurs angles plans.
6. Plans perpendiculaires entre eux. — Si deux plans sont perpendiculaires à un troisième, leur intersection commune est perpendiculaire h ce troisième.
7. Angles trièdres. — Chaque face d'un angle trièdre est plus petite que la somme des deux autres. — Si l'on prolonge les arêtes d'un triangle au delà du somme!, on forme un nouvel angle trièdre qui ne peut lui être superposé, bien qu'il soit composé des mêmes éléments. (Nota. On se bornera à cette simple notion.)
8. 9. Des polyèdres. — Parallélipipède. — Mesure du volume du parallélipipède rectangle, du parallélipipède quelconque, du prisme triangulaire, du prisme quelconque.
10, 11. Pyramide. —Mesure du volume de la pyramide triangulaire, de la pyramide quelconque. — Volume du tronc de pyramide à bases parallèles — Exercices numériques.
12. Polyèdres semblables (1). — En coupant une pyramide par un plan parallèle à sa base, on détermine une pyramide partielle semblable à la première. — Deux pyramides triangulaires qui ont un angle dièdre égal, compris entre deux faces semblables et semblablement placées, sont semblables. (Nota. On se bornera à ce seul cas de similitude.)
13. Décomposition des polyèdres semblables en pyramides triangulaires semblables.
— Rapport de leurs volumes. — Exercices numériques.
1k, 15. Cône droit à base circulaire. — Sections parallèles à la base. — Surface latérale du cône, du tronc de cône à bases parallèles. — Volume du cône, du tronc de cône à bases parallèles (2).
16. Cylindre droit à base circulaire. — Mesure de la surface latérale et du volume.
— Extension aux cylindres droits à base uuelconque.
17, 18. Sphère. — Sections planes; grands cercles; petits cercles. — Pôles d'un cercle.
— Etant donnée une sphère, trouver son rayon. — Plan tangent.
19. Mesure de la surface engendrée par une, ligne brisée régulière, tournant autour d'un axe mené dans son plan et par son centre. — • Aire de la zone; de la sphère entière.
20. Mesure du volume engendré par un triangle , tournant autour d'un axe mené dans son plan, par un de ses sommets. — Application au secteur polygonal régulier, tournant autour d'un axe mené dans son
(1) On appelle ainsi ceux qui sont compris sous un même nombre de faces semblables chacune a. chacune , et dont les angles polyèdres homologues sont égaux. . .
(i) L'aire du côue (ou du cylindre) sera couswerée, sans démonstration, comme la limite vers laquelle lend l'aire de la pyramide inscrisle (ou du prisme inscrit), à mesure que ses faces diminuent indéfiniment.
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plan el p.ar son centre. — Volume du [eui sphérî [ue; de la sphère entière.
A .i.i lin de l'année de seconde, douze leçons Beronl
employées :.\ la révision de renseignement ■->■><
tri*iu»* donné dans les classes de iroisièi il «le
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Classe de rhétorique.
Notions sur quelques courbes usuelles.
1, -2, 3, '*. Définition de l'ellipse, par la propriété '1rs foyers. — Tracé de la courbe par points et d'un mouvement continu. — A\cs. —Sommets.— Rayons vecteui Définition générale de la tangente à une courbe. — Les rayons recteurs menés des foyers a un poinl de l'ellipse font, avec la tangente en ce poinl et d'un même côté de cette ligne, des angles égaux. — Mener la tangente à l'ellipse, 1" par un point pris sur Ja courbe; 2° par un point extérieur. — N irniale à l'ellipse.
0, 6. Définition de la parabole par la propriété du foyer et de la directrice. — Tracé de la courbe par points et d'un mouvement continu. Axe. Sommet. Rayon vecteur. — La tangente fait des angles égaux avec la parallèle à l'axe et le rayon vecteur, menés par le point de contact.' — Mener la tangente à la parabole, 1° par un point pris sur la courbe; 2" par un point extérieur. — Normale. Sous-normale. — Le carré d'une corde perpendiculaire 'à Taxe est proportionnel à la distance de cette corde au sommet.
7, 8. Définition de l'hélice , considérée comme résultant de l'enroulement du plan d'un triangle rectangle sur un cylindre droit à base circulaire. — La tangente à l'hélice fait avec l'arête du cylindre un angle constant. — Construire la projection de l'hélice et de la tangente, sur un plan perpendiculaire à la base du cylindre.
À la fin de l'année de rhétorique , douze leçons seront consacrées à la révision de renseignement géométrique donné pendant les trois années.
