GÉOMÉTRIE

sans recourir aux calculs souvent compliqués de la géométrie analytique ou de la géométrie transcendante, aborde les mêmes sujets : elle se distingue de la géométrie élémentaire par l'introduction des signes et des imaginaires, et aussi par un principe de dualité qui lui permet de déduire des propositions concernant des droites de celles qui concernent des poinO , et réciproquement.

C'est à Hérodote que remonte la tradition qui attribue l'invention de la géométrie aux Egyptiens; Thalès (63'J- 54» av. J.C.) l'importa en Grèce, et l'enrichit de plusieurs découvertes. P y thagorc, né environ âftO ans avant J.C, trouva, dit-on, la proposition du cané de l'hypoténuse , et aussi la propriété qu'ont le cercle et la sphère d'être des maxima parmi les figures de même périmètre ou de même surface, premier germe de la doctrine des isopér i m è t r c s. Hippocrate de Chio, quadrateur des I u n u I e s , précéda Platon, qui donna une solution très-simple du fameux problème de la du plicat ion du cube; deux des disciples de Platon, Mencclimc et Eudoxe deCnidc, traitèrent le même sujet; Architas, dont Platon «Tait suivi les leçons, en avait précédemment donné une solution purement spéculative, mais remarquable en ce qu'il faisait usage d'une courbe à double courbure. La solution de Platon est le premier exemple de la construction mécanique d'un problème de géométrie. C'est encore dans l'école de Platon que furent développées les principales propriétés des sections coniques : Aristéc écrivit sur ce sujet cinq livres, qui ne nous sont pas parvenus. A peu près a la même époque, Dinostrate découvrit la quad ratricc qui porte son nom, quoique Proclusen accorde l'invention à llippias, géomètre et philosophe contemporain de Platon. C'est encore à ces premiers temps de la géométrie qu'il faut rapporter les travaux de Perseus sur des courbes classées aujourd'hui dans les lignes du quatrième degré, et dont il donna une théorie purement géométrique.

Eue lid c, qui vivait environ cinquante ans après Platon, composa ses Eléments. Hippocrate de Chio, Léon, Theudius de Magnésie, Hermotiine de Colophon , l'avaient précédé dans celte voie, mais sans arriver à la perfection d'Euclide, qui ajouta aux découvertes d'Eudoxe et de Thcvlète. Le géomètre d'Alexandrie introduisit dans les élément* la méthode appelée réduction à l'absurde. Eu clide avait aussi écrit le livre des Données, quatre livres sur les sections comiques, deux livres sur les lieux à la surface, trois livres sur les porismes.

La plus belle époque de la géométrie chez les Anciens est celle d'A rchimède et d'Apolloniusde Pergc. La quadrature de U p a r a b ol e par Archimède est la première quadrature rigoureuse d'un espace compris entre une courbe et des lignes droites. Archimède traita également les spirales; il donna le centre do gravité d'un secteur parabolique quelconque ; les volumes des segments des sphéroïdes et des conotdcs paraboliques et hyperboliques ; une approximation du rapport de la circonférence au diamètre. Il se servit des procédés qui constituent la méthode d'cxhaiistion.

Apollonius fit un traité en huit livres sur les sections coniques. Il les considéra le premier, dans un cône oblique quelconque à base circulaire, et leur donna les noms dWlipse, hyperbole et parabole. On trouve dans son traite les plus belles propriétés de ces courbes, telles que celles des f oy ers, des diamètres conjugués, des a s y m p to t e s, etc. Les 23 premières propositions du livre IV sont relatives à la division harmonique des lignes droites menées dans le plan d'une conique. Apollonius traita également des maxima eXminima. Il appliqua la géométrie k l'astronomie, et c'est peut- être à lui que l'ou doit la théorie des ép icy cl es.

Ératosthène, contemporain d'Archimède et d'Apollonius , inventa pour la solution de la question des deux moyennes proportionnelles , l'instrument appelé tnésolabe, qu'il décrit dans une lettre adressée au roi Ptolémée, où il fait l'histoire du problème de la duplication du cube.