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et représenteront les sons de l'exemple Q.

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Or cette dernière série, qui n'a point d'homologue dans les divisions du diamètre, et laquelle on ne sauroit pourtant compléter le système harmonique, montre la nécessité de chercher dans les propriétés du cercle les vrais fondements du système, qu'on ne peut trouver, ni dans la ligne droite, ni dans les seuls nombres abstraits.

Je passe à dessein toutes les autres propositions de M. Tartini sur la nature arithmétique, harmonique et géométrique du cercle, de même que sur les bornes de la série harmonique donnée par la raison sextuple , parce que ces preuves , énoncées seulement en chiffres , n'établissent aucune démonstration générale; que, de plus, comparant souvent des grandeurs hétérogènes, il trouve des proportions où l'on ne sauroit même voir de rapport : ainsi, quand il croit prouver que le carré d'une ligne est moyen proportionnel d'une telle raison , il ne prouve autre chose sinon que tel nombre est moyen proportionnel entre deux tels autres nombres : car les surfaces et les nombres abstraits , n'étant point de même nature, ne peuvent se comparer. M, Tartini sent cette difficulté, et s'efforce de la prévenir : on peut voir ses raisonnements diuis son livre.

Cette théorie établie, il s'agit maintenant d'en déduire les faits donnés, et les règles de l'art harmonique.

L'octave, qui n'engendre aucun son fondamental, n'étant point essentielle à l'harmonie, peut être retranchée des parties constitutives de l'accord : ainsi l'accord , réduit à sa plus grande simplicité , doit être considéré sans elle; alors il est composé, seulement de ces trois termes i î f , lesquels sont en proportion harmonique , et où les deux monades j j sont les seuls vrais éléments de l'unité sonore, qui porte le nom d'accord parfait , car la fraction -5: est élément de l'octave ^ , et la fraction ^ est octave de la monade |.

Cet accord parfait , i | y , produit par une seule corde et dont les termes sont en proportion harmonique, est la loi générale de la nature, qui sert de base à toute la science des sons , loi que la physique peut tenter d'expliquer, mais dont l'explication est inutile aux règles de l'harmonie.

Les calculs des cordes et des poids tendants servent à donner en nombre les rapports des sons, qu'on ne peut considérer comme des quantités qu'à la valeur de ces calculs.

Le troisième son, engendré par le concours de deux autres , est comme le produit de leurs quantités; et quand, dans une catégorie commune, ce troisième son se trouve toujours le même , quoique engendré par des intervalles différents, c'est que les produits des générateurs sont égaux entre eux.

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Ceci se déduit manifestement des proportions précédentes.

Quel est, par exemple, le troisième son qui résulte de CB et de GB? {Planche \ ^figure 10} c'est l'unisson de CB. Pourquoi? parce que, dans les deux proportions harmoniques dont les carrés des deux ordonnées C , CC , et G , GG, sont moyens proportionnels, les sommes des extrêmes sont égales entre elles et par conséquent produisent le même son commun CB , ou C, CC.

En , effet la somme des deux rectangles de BC par C , CC , et de AC par C , CC est égale à la somme des deux rectangles de BG par C , CC , et de GA par C, CC; car chacune de ces deux sommes est égale à deux fois le carré du rayon : d'où il suit que le son C, CC, ou CB, doit être commun aux deux cordes ; or ce son est précisément la note Q de l'exemple O.

Quelques ordonnées que vous puissiez prendre dans le cercle pour les comparer deux à deux, ou même trois à trois, elles engendreront toujours le même troisième son représenté par la note Q , parce que les rectangles des deux parties du diamètre par le rayon donneront toujours des sommes égales.

Mais l'octave XQ n'engendre que des harmoniques à l'aigu, et point de son fondamental , parce qu'on ne peut élever d'ordonnée sur l'extrémité du diamètre , et que par conséquent le diamètre et le rayon ne sauroient ,

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dans leurs proportions harmoniques, avoir aucun produit commun.

Au lieu de diviser harmoniquement le diamètre par les fractions V,Vû , qui donnent le système naturel de l'accord majeur , si on le divise aritlimétiquement en six parties égales, ou aura le système de l'accord majeur renversé , et ce renversement donne exactement l'accord mineur; car ( Planche l, Jjg- 12 ) une de ces parties donnera la dix-neuvième , c'est-àdire la double octave de la quinte; deux donneront la douzième ou l'octave de la quinte; trois donneront l'octave ; quatre, la quinte , et cinq , la tierce mineure.

Mais sitôt qu'unissant deux de ces sons , on cherchera le troisième son qu'ils engendrent , ces deux sons simultanés, au lieu du son C, (ff^. i3), ne produiront jamais pour fondamentale que le son E h ; ce qui prouve que ni l'accord mineur ni son mode ne sont donnés par la nature ; que si l'on fait consonner deux ou plusieurs intervalles de l'accord mineur, les sons fondamentaux se multiplieront, et, relativement à ces sons , on entendra plusieurs accords majeurs à la fois , sans aucun accord mineur.

Ainsi , par expérience faite en présence de huit célèbres professeurs de musique , deux hautbois et un violon sonnant ensemble les notes blanches marquées dans la portée A (PI. G , fig. 5) , on entendoit distinctement les

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sons marqués en noir dans la même figure , savoir , ceux qui sont marqués à part dans la portée B pour les intervalles qui sont au-dessus , et ceux marqués dans la portée C, aussi pour les intervalles qui sont au-dessus.

En jugeant de Thorrihle cacophonie qui devoit résulter de cet ensemble , on doit conclure que toute musique en mode mineur seroit insupportable à l'oreille si les intervalles étoient assez justes et les instruments assez forts pour rendre les sons engendrés aussi sensibles que les générateurs.

On me permettra de remarquer, en passant, que l'inverse de deux modes, marquée dans la figure i3, ne se borne pas à l'accord fondamental qui les constitue , mais qu'on peut l'étendre à toute la suite d'un chant et d'une harmonie qui, notée en sens direct dans le mode majeur, lorsqu'on renverse le papier et qu'on met des clefs à la fin des lignes devenues le commencement , présente à rebours une autre suite de chant et d'harmonie en mode mineur , exactement inverse de la première , où les basses deviennent les dessus , et vice versa. C'est ici la clef de la manière de composer ces doubles canons dont j'ai parlé au mot C,v3vo]v. M. Serre , ci-devant cité , lequel a très-bien exposé dans son livre celte curiosité harmonique , annonce une svmphonie de cette espèce composée par M. de Morambert , qui avoit dû la faire graver : c'étoit mieux fait

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assurément que de la faire exécuter; une composition de cette nature doit être meilleure à présenter aux yeux qu'aux oreilles.

Nous venons de voir que de la division harmonique du diamètre résulte le mode majeur, et delà division arithmétique le mode mineur : c'est d'ailleurs un fait connu de tous les théoriciens que les rapports de l'accord mineur se trouvent dans la division arithmétique de la quinte; pour trouver le premier fondement du mode mineur dans le système harmonique , il suffît donc de montrer dans ce système la division arithmétique de la quinte.

Tout le système harmonique est fondé sur la raison douhle, rapport de la corde entière à son octave, ou du diamètre au rayon, et sur la raison sesquialtère, qui donne le premier son harmonique ou fondamental auquel se rapportent tous les autres.

Or si, (PL Iffg. Il) dans la raison douhle on compare successivement la deuxième note G, et la troisième F de la série P au son foiidamental Q, et à son octave grave, qui est la corde entière, on trouvera que la première est moyenne harmonique, et la seconde moyenne arithmétique entre ces deux termes.

De même, si dî.ns la raison sesquialtère on compare successivement la quatrième note e, et la cinquième <? ^ de la même série à la corde entière et à sa quinte G, on trouvera que la quatrième e est moyenne harmonique , et la

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cinquième e h moyenne arithmétique entre les deux termes de cette quinte : donc le mode mineur étant fondé sur la division arithmétique de la quinte, et la note e b, prise dans la série des compléments du système harmonique, donnant cette division , le mode mineur est fondé sur cette note dans le système harmonique.

Après avoir trouvé toutes les consonnances dans la division harmonique du diamètre donnée par l'exemple O, le mode majeur dans l'ordre direct de ces consonnances, le mode mineur dans Leur ordre rétrograde, et dans leurs compléments représentés par l'exemple P, il nous reste à examiner le troisième exemple Q, qui exprime en notes les rapports des carrés des ordonnées, et qui donne le système des dissonances.

Si l'on joint par accords simultanés, c'està-dire par consonnances , les intervalles successifs de l'exemple O , comme on a fait dans la^^. 8 , même Planche , l'on trouvera que carrer les ordonnées c'est doubler l'intervalle qu'elles représentent : ainsi ajoutant un troisième son qui représente le carré, ce son ajouté doublera toujours l'intervalle de la consonnance, comme on le y oit figure 4 de la. Planche G.

Ainsi {PL l,fg. 11 ) la première note K de l'exemple Q double l'octave, premier intervalle de l'exemple O; la deuxième note L dou-

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ble la quinte, fécond intervalle; ta iroisième note M douLle la quarte, troisième intervalle, etc., et c'est ce doublement d'intervalles qu'exprime l^Jig. 4 de la Planche G.

Laissant à part l'octave du premier intervalle , qui, n'engendrant aucun son fondamental, ne doit point passer pour harmonique, la note ajoutée L forme, avec les deux qui sont audessous d'elles , une proportion continue géométrique en raison sesqaialtère ; et les suivantes , doublant toujours les intervalles, forment aussi toujours des proportions géométriques.

Mais les proportions et progressions harmonique et arithmétique, qui constituent le système consonnant majeur et mineur , sont opposées par leur nature à la progression géométrique, puisque celle-ci jésuite essentiellement des mêmes rapports, et les autres de rapports toujours différents: donc, si les deux proportions harmonique et arithmétique sont consonnantes , la proportion géométrique sera dissonante nécessairement , et par conséquent le système qui résulte de l'exemple Q sera le système des dissonances: mais ce système^ tiré des carrés des ordonnées , est lié aux deux précédents , tirés des carrés des cordes; donc le système dissonant est lié de même au système universel harmonique.

Il suit de là, i° que tout accord sera dissonant lorsqu'il contiendra deux intervalles semblables autres que l'octave , soit que ces deux

intervalles se trouvent conjoints ou séparés dans l'accord; 2**. que de ces deux intervalles, celui qui appartiendra au système harmonique ou arithmétique, sera consnnnant, et l'autre dissonant : ainsi , dans les deux exemples S T. d'accords dissonants {PL G ,fg. 6), les intervalles G C et c e sont consounauts , et les intervalles C F et e ^ dissonants.

En rapportant maintenant chaque terme de la série dissonante au son fondamental ou engendré C de la série harmonique , on trouvera que les dissonances qui résulteront de ce rapport seront les suivantes, et les seules directes qu'on puisse établir sur le système harmonique.