RS=F2 4.F'2-|-F

car dans un parallélipipède rectangle le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des trois (limensions.

Problème. — Décomposer une force en trois autres dont les directions ne sont pas situées dans un même plan.

Soit OD la force R qu'il s'agit de décomposer en trois autres dirigées suivant les directions OA,OB,OC. On obtiendra les intensités de ces trois composantes en menant par le point D trois plans parallèles aux plans OAB, OAC, OBC ; chacun d'eux coupera la troisième direction, et les longueurs OC, OB, OA ainsi déterminées représenteront les intensités des composantes inconnues.

Conséquence. — Si les trois directions données sont rectangulaires, chaque composante est égale à la projection de la force donnée sur la direction de cette composante; son intensité est égale i celle de la résultante multipliée par le cosinus de l'angle que fait cette résultante avec la direction de la composante considérée.

En effet, le triangle DOA est rectangle en A et l'on a :

OA = ODco3AOD OB = ODcosBOD OC = ODcosCOD

Si donc l'on pose

OA = x, OB=y, oc=z

AOD = a, BOD = p, C0D = y

on aura pour les trois composantes de la force R :

X = Rcosï, Y = Rcosp, Z==Rco9Y.

Ces formules sont générales et représentent, quelle que soit la direction de la force, la projection

MÉCANIQUE

MECANIQUE

de cette force sur les directions OA,OB,OC. Il euffit de regarder comme positives les composantes suivant les directions OA.OB.OC et comme négatives celles qui tirent suivant leurs prolongements. En effet, si l'angle a est obtus, son cosinus est négatif, et le produit R cos a le sera aussi ; mais alors la composante X sera dirigée en sens contraire de OA ; donc U cos a pris avec son signe représentera à la fois la grandeur et le sens de la première composanle.

Problème. — Déterminer par le calcul la résultante d'un système quelconque de forces concourantes.

Solution, -r- Soient F,F',F"..., les forces données appliquées au même point 0 d'un corps solide. Menons par ce point irois axes rectangulaires de direction arbitraire, OX, OY, OZ (flg. (i), auxquels

nous rapporterons les forces F, F', F" Pour que

les positions relatives de ces forces soient bien déterminées, il suffit que nous connaissions les angles que fait chacune d'elles avec les trois axes ; nous désignerons les angles que fait F avec OX, OY,OZ, par a, p, y ; nous appellerons de même a', p', y', les angles qui correspondent à F', etc.

Décomposons chacune des forces en trois autres dirigées suivant OX, OY, OZ : nous aurons pour les composantes de F :

F cos a, Fcosp, F cos y, pour celles de F' :

F' cos a', F' cos 3', F' cos y', et ainsi de suite.

Toutes les forces dirigées suivant OX se composeront en une seule que nous appellerons X,; de même les composantes suivant OY fourniront une résultante Y',, et celles qui agissent suivant OZ donneront la résultante partielle Zi ; nous aurons par conséquent:

Xj = F cos a -1- F' cos a' 4-....

Y, = F cos p -f F' cos p' -1-....

Zj = Fco3 y-|-F'cosy'+....

Il ne restera plus qu'à composer les trois forces rectangulaires X,,Y,,Z,, pour avoir la résultante définitive R ; nous aurons donc :

Quant à la direction de cette résultante, elle sera donnée par les angles a, b, c, qu'elle fait avec les trois axes; les cosinus do ces angles sont:

cos a=j^, cosi:

Proposition II. — Pour que plusieurs forres concourantes se fassent éqiiilibre, il fout el il suffit que la somme algébrique des projections de ces forces sur trois axes rectanqulaires quelconques passant par ce point soit égale à zéro pour cliucun de ces axes.

En effet, pour que la résultante R soit nulle, il faut et il suffit que l'on ait à la fois :

Il faut bien remarquer que le corps ne serait pas nécessairement en équilibre si la somme des projections des forces était nulle pour un seul axe, si l'on avait par exemple Xj = 0 seulement : en effet, il pourrait se faire que la résultante K fût située dans un plan perpendiculaire à l'axe OX sans être nulle ; mais si l'on a en même temps Y'i = 0 et Z| ^ 0, cette résultante est nécessairement égale à zéro.

Moments des forces concourantes situées dans un même plan. — Ou appelle vioment d'une force F par rapport à un point O (Hg. 7J le produit

F X OP de son intensité par la distance de ce point à la direction de la force ; ce point est appelé centre des moments, f^i\a perpendiculaire abaissée sur la force en est le bras de levier.

Il est clair que le moment d'une force est nul quand celte force passe par le centre des moments.

Les moments des forces F et F' par rapport au point 0 (fig. 8) sont :

FXOA et F'XOA';

mais si l'on imagine que la figure soit mobile autour du point O, on voit que la force F tend à

faire tourner la figure dans le sens des aiguilles d'une montre, tandis que la force F' tendrait à la faire tourner en sens contraire. On caractérise cette opposition de sens des rotations fictives de la figure autour du point 0, sous l'action séparée des forces F et F', par une opposition de signes ; on dit que le moment de F est positif et que celui de F' est négatif ; on met le signe -\- devant le premier et le signe — devant le second en écrivant :

M„ F = -1-FX0A, M„ F'=F'xOA'.

Cette convention est utile pour généraliser les formules et pour réduire h un seul plusieurs énoncés.

Proposition. — Etant doiiné un nombre quelconque de forces concourantes situées dans le même plan el leur résul'ante, le moment de cette résultante par rapport à un point quelconque du plan des forces est égal à la somme algébrique des moments des comiioxantes.

Considérons d'abord le cas de deux forces concourantes F et F', appliquées au point A ; soit R leur résultante et 0 le centre des moments (fig. !)) ; il faut démontrer que