R X OP" = F X OP -I- F' X OP

Pour cela il suffit de remarquer que chacun de ces produits représente le double de l'aire d'un

iMKCANIOUE

MEGANKJUE

triangle ayant pour sommet lo point 0 i?t pour base la force considérée ainsi :

FX0P = 2 tri OAF,

F'XOP' = 2triOAF',

nxOP" = 2 tri OAR;

tout revient donc à démontrer que

tri 0 AR = tri OAF + tri OAF'

Prenons OA '(fig. 10) pour base commune i ces triangles, abaissons des points F, F' et R les per-

pendiculaires FH, F'H', RK sur la direction OA; et menons FL parallèle h OA ; nous aurons :

RK = KL + LR = HL + FH' Ainsi la hauteur du triangle OAR est égale Si la somme des hauteurs des deux autres; ce triangle OAR est donc équivalent à la somme des triangles OAF et OAF', et le moment de la résultante est égal h la somme des moments des composantes.

Dans !e cas de la figure, les trois forces tendent à produire autour du point O des rotations fictives de même sens, et les trois moments sont positifs : si les rotations étaient de sens contraires, l'énoncé du théorème serait encore exact, en tenant compte •des signes que nous sommes convenus d'attribuer aux moments.

Soit maintenant un nombre quelconq ue de forces

^' ^\ F" concourantes et R leur résultante;

nous composerons d'abord F et F' en une seule R], et nous aurons;

M^ Ri = M^ F + M^F';

il faudra composer maintenant R, et la troisième force F", ce qui donnera une résultante R,, pour laquelle ^ ^

^o'^2 = M„Rj-f M F", ou

et amsi de suite jusqu'à ce que l'on ait composé

toutes les forces. Nous aurons donc en définitive :

•^^IfSénévinié du théorème est démontrée.

utiliti; da théorème des moments. — La proposition précédente, connue sous le nom de tMorème

de Varif/iwii. permet de trouver la direction de la résultante d'un système de forces concourantes: si l'on a calculé l'intensité de cette résultante et son moment par rapport à un point 0, on en conclura lo bras do levier de cette force; il suflira donc de décrire du point 0 pris pour centre une circonférence avec ce bras de levier pour rayon et de mener parle point A, où concourent toutes les forces, des tangentes à celte circonférence ; celle do ces deux tangentes dont le moment aura le même signe que la somme algébrique des moments des composantes F, F', F"... sera précisément la résultante cherchée.

Moments de forces concourantes non situées dans le même plan. — Si les forces angulaires F, F', F',... que l'on compose, ne sont pas situées dans un même plan, on ne peut plus dire que le triangle ayant pour sommet un point O quelconque et pour base la résultante est équivalent à la somme des triangles ayant môme sommet et pour bases les forces F, F', F". Mais ce théorème est encore exact si l'on projette sur un même plan le système des forces F, F', F".... et R.

Définilioii. — On appelle moment d'une force par rapport à un axe AB (fig. 1 1) le moment de la

projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe, le centre du moment étant le point où l'axe rencontre le plan de projection. Ainsi le moment de la force F' par rapport à l'axe AB s'obtient en projetant F' en F" sur un plan RR' perpendiculaire à AB et faisant le produit de F" par sa distance AS au pied de l'axe AB.

Proposition. — Se l'on considère un système de forces concourantes dirii/ées arbitrairement dans t'esijace et leur résultante, le moment de celte résultante par rapport à un axe fixe quelconque est é//al à ta somme alrjébrique des moments des composantes.

Considérons d'abord (fig. 12) deux forces F et F'

MECANIQUE

concourant au point A ainsi que leur résultanio R, et projetons le parallélogramme ABCD sur un plan V: nous obtinndroiis un parallélogramme abcd dont les côtés f ni f sont les projections de F et de F' et dont la diagonale )' est la projection de R. Si donc nous rapportons cette figure contenue dans le plan V à un point 0 quelconque de ce plan, nous aurons:

Mais, par définition, le moment de /'par rapport au point O est précisément le moment de F par rapport :■! l'axe ÔX, nous aurons donc :

Prenons maintenant trois forces angulaires F, F', F" non situées dans le môme plan ; le théorème précédent s'appliquera à la résultante partielle R, de F et de F', puis à la résultante R de R, et de F", qui est la résultante définitive du système des trois forces. On pourra donc écrire en général :

quel que soit le nombre des forces et leur disposition autour du point A.

Rpna'que. — Si l'on mène par un point O pris arbitrairement dans l'espace trois axes de coordonnées rectangulaires OX, CV, OZ, auxquels on rapporte le système des forces concourantes F, F' F"... ainsi que leur résultante R, on pourra projeter cet ensemble de forces sur les trois plans ZOl', ZOX, XOY, et le théorème des moments pris par rapport au point O s'applique à chacune de ces projections: le triangle ayant 0 pour sommet et la projection de la résultante pour base sera équivalent à U somme de triangles ayant même sommet et pour base les projections des forces; on dit, pour abréger, que lu moment de la résultante R par rapport à chacun des axes OX, OY, OZ, est égal à la somme algébrique des moments des composantes. On pourra donc tracer sur chacun des plans de coordonnées la projection de la résultante R, et cette résultante sera connue dès que l'on aura ses trois projections sur les trois plans de coordonnées.

Composition des forces parallèles. — Pnoposi- TlON I. — Deux forces parulUles et de même se?is appliquées aux extrémités d'une barre rigide ont Uhe résultante parallèle à leur direction, de même sens, égale à leur somme et appliquée à la barre en un point qui partage cette droite en deux segments additifs inversement proportionnels aux forces rontigiiè'f.

Soient P et Q (fig. 13) deux forces parallèles et

de même sens agissant aux points A et B d'un corps solide ; on peut les assimiler à deux forces angulaires dont le poiiit de concours s'est éloigné à l'infini ; on voit donc que leur résultante R doit être parallèle à chacune des composantes ; de plus elle est égale à leur somme, puisque l'on a :

: P2 + Q2 + 2PQ cos 0» = Ps -I- Q> 4- 2PQ

= (P + Q>^ ou, en extrayant les racines :

Il est facile de trouver le point I de la barre rigide auquel est appliquée cette résultante R : en effet, étudions fig. 14) la figure obtenue lorsque les

forces P et Q sont encore concourantes, et prenons les moments de P, de Q et de R par rapport au point I; le moment de R sera nul, puisque cette force passe par le centre des moments, et nous aurons :

PXIK — QxIL = 0

Si maintenant nous considérons la figure (13) obtenue lorsque les forces P et Q, tournant autour des points A et H, sont devenues parallèles, nous voyons que les bras de leviers IK et IL sont en ligne droite, et les triangles semblables AIK, BIL fournissent la proportion