R = VX,^-)-Y

Sa direction sera donnée par les deux égalités :

Xi Yj

cos a ^ "îT^ 1 sui a ^ .== i\ n

« étant l'angle que fait R avec l'axe OX.

Quant à sa position dans le plan, elle sera donnée par le théorème des moments. On calculoia la somme des triangles ayant pour sommet commun le point 0 et pour base les forces; ce sera la surface du triangle ayant pour base la résultante, et l'on en déduira facilement la hauteur. Alors du point O comme centre avec cette hauteur pour rayon on décrira un cercle, et la résultant'; sera la tangenie à ce cercle parallèle à la -direction trouvée plus haut et dont le moment a le signe convoiiabl

appliquée au point M ; joignons ce point à trois points arbitraires A, B, C, et décomposons la force F en trois autres dirigées suivant MA, MB, MC; faisonsde même pour les autres forces F', F", F'".... Nous aurons en définitive un premier groupe de forces appliquées en A, un second en B, un troisième en C... Chacun de tes groupes donnera une résultante unique, et nous obtiendrons ainsi une force R appliquée en A, une force R' appliquée en B, et une force R' passant par le point C. La réduction d'un systtane quelconque de forces à trois sera donc effectuée.

Proposuiok II. — Un nombre quelconque de forces peut toujours se réduire à deux dont l'une passe par un point dunué. — Réduisons d'abord le système proposj à trois forces R, R', R" appliquées aux poiiits A, B, C choisis arbitrairement.

Menons un plan par la force R' et le point A (fig. 24),

Propositio.v. — Pour qu'un corps sollicité pa. rs forces situées dans un mène plan soi

plitsieu.

un second plan par la force R' et le point A ; ces deux plans se couperont suivant la droite AD ; choisissons sur AD un point A' quelconque et traçons les lignes AC, AB, puis A'C et A'ii. La force plan soit , R' pourra se décomposer en deux autres que l'on

MECANIQUE

iransportora l'une en A, l'autre en A'. On peut do nièiMC! décomposer la force U" en deux autres dirigées suivant les prolongements de AC. et A'C et transporter ces composajite.s aux points A et A'. On n'auradoiic plus en définitive que deux groupes <[r, forces appliquées aux points A et A'; le premier groupe se réduira à une seule force Bj et le second groupe h une seconde force R, ; nous aurons donc achevé la réduction à deux forces R, et Rj du système de forces appliquées au corps solide II est important de bien se rappeler que l'une dos résultantes partielles Rj passe par le point A choisi arbitrairement.

Heinayqiie — Lorsqu'on réduit un système de forces d abord h trois, puis à deux résultantes partielles comme nous venons de le faire, on n'altère ni la somme des projections des forces sur un axe, ni la somme des mouients. On peut donc dire :

1° Que la somme dos projections sur un axe quelconque des résultantes R, et Rj est égale h la somme des projections des forces primitives ;

2° Que la somme des moments de ces deux résultantes Rj et Rj par rapport i un axe quelconque est égale à la somme dos moments de forces proposées.

Phopositiois III. — Ptnii- que des forces quelconques appliquées ii un covfts solide se fussent équilibre, il faut et il suffit :

1° Que la somme des projections des forces proposées sur un axe quelconque soit éyale à zéro;

2" Que la somme de< moments île ces forces par rapport à Uiiaxe quelconque soit également nulle.

D'abord ces deux conditions sont nécessaires, car si les forces F, F', F' se font équilibre, les résultantes R, et Rj doivent être égales et directement opposées ; la somme de leurs projections et colle de leurs moments sont donc séparément égales à zéro.

En second lieu ces conditions sont suffisantes : en effet, lorsque la première condition est satisfaite, les deux résultantes partielles R, et R, sont égales, parallèles et dirigées en sens contraires ; elles se détruisent donc ou bien forment un couple; mais si la seconde condition est aussi remplie, R, et Rj ne peuvent former i>n couple. Donc lorsque les deux conditions précédentes ont lieu h la fois. Ri et Rj tiennent le corps en équilibre, et il en est de même des forces proposées qui forment un système équivalent.

Des six équations d'équilibre. — On rapporte le corps et les forces qui le sollicitent à trois axes de coordonnées rectangulaires ox,oy,oz; il est facile do voir que si la somme des projections des forces sur ces trois axes est séparément nulle pour chacun d'eux, la 'somme des projections sur un axe quelconque sera certainement nulle; de même si la somme des moments des forces appliquées est nulle pour chacun de ces axes, la somme des moments de ces forces pour un axe quelconque sera nulle également.

Les conditions que doivent remplir les forces appliquées à un corps pour tenir ce corps en équilibre ne sont donc pas en nombre infini; elles sont au nombre de six, savoir :

La somme des projections des forces sur ox = 0 — — — 0,'/ = 0

~ — — oz = 0.

. . oa; = 0 .. oij = a .. oz = 0.

: suivante :

La somme des moments par rapport ;

On les écrit en abrégé do la mani -r„^=0, IF =0, IF

le signe 2 indique la somme de quantités analogues à celles qui suivent ; F veut dire projection de F sur ox ; M F veut dire moment de F par rapport à ox.

Cas où le corps est mobile autour d'un point fixe. — S'il y a dans le corps un point fixe autour duquel il puisse tourner librement, on peut choisir ce point fixe pour le point d'application de la résultante partielle R,; cette force est alors détruite par la résistance du point fixe supposée indéfinie. Pour l'équilibre il faudra que la seconde résultante partielle Rj passe égalementpar le point .\ ; en d'autres termes, les forces doivent se réduire k une seule passant par le point fixe A.

L'intensité de cette résultante totale est indifférente pour l'équilibre à cause de la résistance du point fixe; la seule chose importante, c'est que cette force passe par le point fixe. On voit donc que les trois premières équations d'équilibre, qui fournissent simplement l'intensitc de la' résultante, ne fournissent pas de conditions auxquelles les forces doivent satisfaire pour qu'il y ait équilibre; il ne reste plus que les trois éqii.itii)iis (].■-. niuments qui fournissent l'aire et la iinbiiidu ilu iri,iiit;lr ayant le point A pour sommet et la rcMiliiuir |m;ir base. Ce triangle doit avoir une aire ég.ili- à zei-o puisque la résultante passe par le point A ; sus trois projections sur les trois plans de coord(]nnoes doivent être également nulles, les seules conditions que doivent remplir les forces se réduisent donc à

IM F = 0, IM F = (l, IM F = 0.

ox oy u;

Ainsi, quand un corps est mobile autour d'un point fixe, il faut et il suffit pour l'cquitibre que la somme algébrique d'S mnmcnls tics forces fiiir rapport à trois axes rectnnrjulaires passan! par le point soit nulle pour chacun d'eux.

Cas où le corps est mobile autour d'un axe fixe. — Supposons le corps mobile aut lur d'un axe fixe le long du(|uel il ne peut glisser, et en équilibre sous l'action de forces (inrlcoiiquos ; nous choisirons pour le point d'application A do la résultante partielle Rj, lequel est arbitraire, un point situé sur l'axe fixe ; cette fijrce se trouvera détruite, et il est clair que la seconde résultante partielle I!2 doit rencontrer aussi cet axe, sans quoi le corps ne serait pas en équilibre Ainsi dans le cas actuel les deux résultantes partiidles Rj et Rj doivent rencontrer l'axe de rotation ; peu importent leurs intensités, l'axe se chargin-a de détruire ces forces en leur opposant une résislanC'.' indéfinie ; donc les trois sommes de proj^'ctions peuvent être quelconques et les trois premières équations d'équilibre peuvent être laissées de cùté, elles ne fourniront aucune condition. 11 n'en est pas de même des équations des moments. Si l'axe fixe a été choisi pour l'axe ox, les moments des forces R] et Rj par rapport à ox doivent être nuls, puisqu'elles rencontrent toutes les deux l'axe, et c'est la seule condition qu'elles doivent remplir, car peu importe leur disposition par rappurt aux deux autres axes.

La seule condition d'équilibre est donc ;

Ai?isiquaiid un corps ne peut que tourner autour d'un nxe fixe, il fiul et il suffit piuir l'équilibre que la somme al(pb' iqw des mouu.'nls des forces données par rapiiurt à cette droile suit éi/ali:n zéro.

Si le corps pouvait glisser le long de l'axe ox, les résultantes Rj et Rj ne tiendraient le corps en équilibre que si chacune était perpendiculaire ."i cet axe ; il faudrait pour l'équilibre que l'on eût une seconde condition :

MECANIQUE

c'est-à-dire que la somme algébrique des projections des forces données sur la droite le long de laquelle le cor/js peut glisser fut égale à zéro. Cas où le coips est assujetti à s'appuyer sur un plan fixe. — Si nous supposons qu'aucun l'rottemeiit ne s'exerce entre le corps et le plan, il faudra que toutes les forces se réduisent ù une seule, perpendiculaire au plan d'appui ; son intensité du reste peut être quelconque, car le plan étant inébranlable détruira toujours cette force. Ainsi la somme algébrique des composantes perpendiculaires au plan peut avoir une valeur arbitraire, mais la somme des composantes parallèles au plan doit être nulle, sans quoi le co)-ps glisserait sur le plan. Cette idée fournit les conditions d'équilibre qui en sont la traduction algébrique. Prenons pour plan des axes ox et oy le plan fixe, et pour troisième axe la perpendiculaire <iz à ce plan ; si nous projetons toutes les forces sur ox et sur oy, la somme des composantes de chacun de ces groupes doit être séparément nulle, ce qui s'écrit en abrégé :

SF =0, SF =0;

ox oy

d'autre part, la résultante étant perpendiculaire au plau xoij donnera sur ce plan une projection égale à zéro, et son moment par rapport à l'axe oz sera nul; il doit donc en être de même de la somme des moments des forces primitives, et la troisième condition que doivent remplir ces forces pour qu'il y ait équilibre doit être :

Ai7isi pour qu'un corps qui repose sur un plan fixe suit en équilibre sous l'action de plusieurs forces, il faut : 1° que la somme des projections des forces données sur deux ox'js rectangulaires tracés dans le plan fixe soit nulle séparément pour chacun de ces axes ; 2° que ta somme de leurs moments pa'- rapport à u?l aie perpendiculaire au plan soit égale à zéro.

Machines simples.

On appelle machine un corps ou un ensemble de corps gênés dans leurs mouvements par des obstacles fi.xes et au moyen desquels on peut mettre en équilibre des forces de grandeur et de direction quelconques.

Pour que les forces appliquées aune machine se fassent équilibre, il n'est pas nécessaire que leurs résultantes soient nulles, il suffit que ces résultantes soient dirigées vers les obstacles qui les détruisent par leur résistance supposée indéfinie.

Une machine est simple lorsqu'elle est formée d'un seul corps solide. On distingue ordinairement trois machines simples^ d'après la nature de l'obstacle qui gène le mouvement du corps. Ce sont : 1° le levier, 2" le tour, 3" le plan incliné. Dans le levier l'obstacle est un point fixe ; dans le tour c'est un axe fixe ; dans le plan incliné l'obstacle est un plan inébranlable contre lequel le corps s'appuie et sur lequel il peut seulement glisser.

Une machine composée est un ensemble de machines simples liées entre elles ; elles sont très nombreuses et leur disposition varie à l'infini suivant le genre de travail auquel on les destine. Nous n'étudierons ici que les machines simples, et au lieu de les considérer en mouvement, nous nous bornerons pour l'instant au cas où elles restent en repos sous l'action des forces appliquées.

1° Levier. — Un levier est une barre AB (fig. 2.^) dont les extrémités sont sollicitées par deux forces et qui est mobile autour d'un point fixe O appelé point d'appui du levier. — L'une de ces forces P s'appelle puissance, l'autre Q est la résistance ; le point d'appui O peut se trouver entre les deux points \ cflj d'application des deux forces P et Q,

comme dans les figures ':ô et 20, ou bien sur le prolongement de cette ligne (fig. 27) ; les deux dis-

positions ci-contre portent le nom de levier du premier genre (fig. 2jj, levier du second geni-e (fig. 27).

Condition u'éuiilibue. — Lorsqu'un levier est sollicité par lieux forces, il faut et il suffit pour qu'il g ait équilibre : 1° que tes deux forces et le pouit d'appui soient dans un même plau; 2° que leurs intensités soient en raison inverse de leurs iiistujices uu point fixe ; 3° que ces forces tendent à faire tourner le levier en sens contraire autour de ce point fixe.

En etîet la résistance opposée par le point fixe tient lieu d'une force R' appliquée au corps en ce jioint, et cette force R' jointe aux forces P et Q doit tenir en équilibre le corps supposé entièrement libre. On voit donc que les forces P et Q doivent avoir une résultante unique R égale et directement opposée à la réaction R' du poicit fixe : cette résultante R doit donc passer par le point fixe O et son moment par rapport à ce point étant nul, la somme algébrique des moments des forces P et Q l'est aussi. On doit donc avoir :

PxOC — QxOD = 0,

ce que l'on écrit :

P X ;) = Qî ; les perpendiculaires OC = p, 00 = q abaissées du point fixe sur les directions des forces P et Q s'appellent bras de levier de la puissance et de la résistance. 11 est clair que si p = q, on doit avoir P = Q. C'est le principe sur lequel on s'appuie pour peser un corps à l'aide de la balance ordinaire.

CiiAiiGE DU POINT d'appui. — Elle n'est autre chose que la résultante R des forces P et Q transportées parallèlement à elles-mêmes au point 0.

MECANIQUE

MÉGANIQUE

• Balance. — La balance estun levier du premier Ronre (nii sert, à comparer le poids d'un corps h l'uniKi do poids c'est-à-dire au gramme. Elle se compose (fig. 28) d'une barre rigide appe-

lée ftéau, traversée en son milieu 0 par un couteau d'acior qui fait saillie des deux cotés et qui repose par ces extrémités sur un obstacle ; le fléau peut tourner librement autour de 1 arête mousse du couteau. Ce fléau porte à ses deux extrémités A et B, à l'aide de cordons et de crocbets, deux plateaux destinés à recevoir les poids marqués et le corps qu'il faut poser ; les distances AO, BO sont les deux bras de levier du fléau. Perpendiculairement à sa ■longueur le fléau porte une aiguille qui oscille en même temps que lui; l'extrémité de cette aiguille parcourt un petit arc de cercle gradué, et le zéro ■de la graduation correspond k la position verticale -de l'aiguille et par suite k la position horizontale du fléau.

Pour faire une pesée, on place le corps dans ■un des plateaux, et des poids marqués dans l'autre jusqu'à ce que l'aiguille revienne librement au .zéro. Quand ou a par tâtonnements obtenu cet ■état d'équilibre, la somme des poids marqués •donne le poids du corps.

CONDITION.S DE JUSTESSE o'UNE BALANCE. — Il faUt :

1° que le centre de gravité de la partie niuhil-', c'est-à-dire du fléau et des bassint, soU situé stir iaperpendici'laie n la liine droite AOli qui joint les trois points de. 'uspension; 2° qm- les de" x liras ■de lever du fliau soient rigoureusement éiaur.

VÉRiFicvTioN d'une BALANCE. — On l'abaudonne à elle-même, les plate.iux étant vides; si, après quelques oscillai ions, l'aiguille vient se placer au zéro, la première condition de justesse est remplie et le centre de gravité du iléau est convenablement placé. S'il n'en est pas ain,si, on corrige ce défaut en roulant une petite feuille do plomb ou d'étain amour du bras de levier .-jui est trop léger.

On place ensuite dans les plateaux doux poids que l'on règle de telle sorte que l'aiguille s'arrête au zéro. L'équilibre étant établi, on transporte dans le plate^ju de droite le poiils qui éiaità gauche et vice vrsn; si l'aiguille est encore au zéro, on peut affirmer que les bras de levier sont égaux

MÉTHODE DES DOUBLES PESÉES. — On peut avec une balance qui n'est pas juste faire une pesée ■exacte, en procédant comme il suit :

On place le corps à peser dans l'un dos plateaux et on lui fait équilibre avec de la grenaille de plomb placée dans l'autre ; on enlève le corps et on le remplace par des poids marqués jusqu'à ce que 1 aiguille revienne au zéro. Alors la somme de 1' Partie.

ces poids marqués représente exactement le poids du corps.

2» Tour ou Treuil- — Le tour est un cylindre horizontal (lig. '."J) mobile autour do deux tourillons

qui reposent sur des coussinets. Une corde enroulée sur le cylindre porte à l'une de ses extrémités un poids, et, pour faire monter le poids, il suffit de faire tourner le cylindre de manière à enrouler la corde qui le soutient. A cet effet le cylindre porte une roue de rayon beaucoup plus grand, et l'on tire sur une corde qui passe dans la gorge de cette roue. Dans le treuil des puits {fig. aO), l'axe de l'un des

Fig. 30.

tourillons se prolonge, se coude deux fois à angle droit et forme la manivelle à laquelle est appliquée la force de traction des mains de l'homme. Dans le treuil des carriers (fig. 31 et »2), la grande roue est

MECANIQUE

munie de chevilles sur laquelle montent les hommes de la manœuvre ; la force motrice est le poids de leur corps.

Condition D'ÉQUiLisnE. — Pour qu'une force motrice F appliquée à un treuil tienne en équilibre un poids P, il iaut qu'en muliipliant F par le rayon de la roue et P par le riiyon du cylindre, on obtienne d(U\ produits égaux. En d'aulrns termes : la force motrice doit être au poids soulevé comme le rai/O'i iln c/lindre Càt au rayon de la roue ou de lu tuanivelle.

En effet, un treuil est un corps solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe,- il faut donc pour l'équilibre que la somme des moments des forci s appliquées, par rapport à cet axe. soit égale à zéro. Soit li le rayon de la roue, )• celui du cylindre, on doit avoir:

P/ =FxR,

et l'on voit que dans les roues de carriers le poids de deux ou trois hommes peut suffire pour faire équilibre à celui de pierres énormes.

La résultante des forces P et F rencontre l'axe et est détruite par cet axe. Si on la décompose en deux autres appliquées aux points m' et m", railieux des tourillons (fig. 2!)), on a la charge qu'ils supportent, et les forces R' et R" éga'es et oppose es sont les réactions do ces tourillons; ces forces ■ !• tiennent lieu et le treuil supposé libre est en équilibre sous l'action des forces P, F, R' et R" auxquelles il convient d'ajouter le poids H de l'appareil appliqué en son centre de gravité G et qui n'est pas du tout négligeable.

3° Plan incliné — Cette machine simple est formée d utie surface plane résistante inclinée à l'Iiorizon et sur laquelle un corps est assujetti Ji se mouvoir.

Soit AB (fig. .3.3) la ligne de plus grande pente du plan incliiié, c'est-à-dire la perpendiculaire aux horizontales de ce plan, AH la projection horizontale de cette ligne, BH le fil à plomb mené par l'extrémité la plus élevée ; on dit que :

AB est la longueur du plan AH est la base —

BH est la hauteur —

et l'on appelle inclinaison du plan l'angle BAH que fait avec l'horizontale la ligne de plus grande pente.

Considérona seulement le cas le plus simple,

celui d'un corps MiV de poids Q tenu en équilibre par une force P parallèle au plan incliné : nous pouvons décomposer le poids Q en deux autres forces, l'une normale au |i|an incliné, l'autre parallèle à sa longueur; QQ", qui est la composante normale.

Fig. 33.

sera détruite par la résistance du plan, et la force de traction P devra seulement faire. é(|nilibre à la normale composante IQ" parallèle au plan. — Calculons donc IQ" : Les triangles semblables IQQ" et ABH fournissent la proportion

qui donne

1 Q^' IQ

BH 'ÂÏÏ

IQ"=Qx

On doit donc avoir pour l'équilibre BH.