OB-OA)P=--.PX AB

on voit donc que le moment d'un couple (fig. 18)

Fi?. IS.

est représenté par l'aire d'un parallélogramme ayant la force pour base et le bras de levier pour hauteur ; ou bien encore par l'aire du parallélogramme qui aurait pour bases opposées les deux forces.

PnoDLi-ME. — C'iinposer un nondjre qaelconqut de forces parallél-s ii/ipliquées à un corps solide.

Soient (fig. 19) les forces F, F', F",... appliquées

MÉCANIQUE

aux points A,B.C,D d'un corps solide. Composons d'abord les deux premières F et F' ; leur résultante Ri appliquée au point L, devra se composer avec F", ce qui fournira la résultante R, appliquée en Lj ; en continuant ainsi, on obtiendra la résultante définitive R appliquée au point L.

On voit donc que la résullanle d'un nombre ^juelconque île forces pnrnllèles et de même sens <ippliquëes à ilifférents points d'un corps solide est ■égale h leur somme, parallèle à leur direction, et <igit dans le même sens que les furces proposées.

Si les foi;ces parallèles n'étaient pas de même sens, on composerait en une seule R, les forces F, F', F", F'" qui tirent d'un coté, puis en une seule Rjles forces F,,Fi',F,",F, " qui tirent en sens contraire, et l'on aurait ainsi les résultantes partielles:

Alors trois cas peuvent se présenter : 1° les résultantes partielles Rj et R, sont inégales, elles se composeront en une seule et l'intensité de la résultante définitive sera :

le système de toutes les forces se réduira donc h une force unique.

2" Les forces Ri etRj sont égales et directement opposées; leur résultante est nulle et toutes les forces appliquées au corps se font équilibre.

3° Les forces Rj et Rj sont ésales, mais non directement opposées ; l'ensemble des forces proposées se réduit à un couple.

Centre des forces p.\r.\li.èles. — Étant donné un système de forces parallèles appliquées à un corps solide, si l'on mcline successivement toutes les forces dans différentes directions, de telle sorte qu'ellfs restent toujours punillèles entre elles et conservent leurs grandeurs et leurs points d'application, les résultantes dit système dans ces différentes positions passeront toujours par le même point. Ce point s'appelle centre des forces parallèles.

Reprenons en effet la composition des forces parallèles F,F',F". ..: la première résultante partielle R] est appliquée au point L, de AB dont la position ne dépend que des intensités de F et de F' et nullement de leur direction ; il en sera de même de la position du point L, d'application de la seconde résultante partielle Kj, et ainsi de suite. On voit donc que la position du point d'application L de la résultante définitive R restera la même, quelle que soit la direction des forces parallèles.

Définition. — On appelle centre de granité d'un «orps le centre des forces parallèles, qui sont les poids de toutes les particules de ce corps.

Moments d'un système quelconque de forces parallèles appliquées en divers points d'un corps solide. — Projetons le système de forces parallèles P,Q,S,T. et leur résultante R, sur un plan V parallèle à leur direction; elles se projetteront en vraie grandeur. Prenons un point 0 quelconque de ce plan et abaissons de ce point des perpendiculaires /), q. s, (,. . . sur les projections de P, de Q, de S...; les produits P/j, Qq,.... Rc représenteront les moments des forces P. Q... R par rapport au point 0 ou par rapport c\ l'axe OX perpendicul^iire au plan V, et l'on aura, en considérant les forces parallèles comme un cas particulier des forces concourantes,

Pp + Q-Z + Ss -(-... = Rr.

Ainsi, en donnant des signes convenables au moment, on peut dire encore ici que le moment de la résultante iCun système de forces parallèles par

rapport à un axe est égal à la somme algébrique des moments des composnnles.

On donne souvent de ce théorème un autre énoncé, qui n'en diffère pas au fond, en introduisant une définition nouvi'Ue, celle du momcril d'une force par rapport h un plan parallèle à sa direction.

On appelle moment d'une force par rapport à un plan le produit de cette force par la distance de son point d'application ii ce plan. Ainsi le moment de la force P ;fig. 20) par rapport au plan V

Fig. 20.

qui lui est parallèle est égal ^ P X Aa ; ce moment reste le même quel que soit le point du corps solide situé sur la direction de P auquel on suppose appliquée la force P.

Admettant cette définition, on peut dire que le momeyit de la résultante de plusieurs forces par rapport à un axe est égal à la somme des moments ile< composantes.

F.n effet, prenons le cas de deux forces parallèles de même sens P et Q ; soit O le point de rencontre du plan V avec la ligne AB qui joint les points d'application, nous aurons, en prenant le moment des trois forces par rapport au point O :

RxCO = PXAO + QxBO;

mais les triangles semblables OAc, 0B4, OCc, fournissent les valeurs :

0B = 0Cx5^ Ce

et en substituant ces expressions dans la première égalité, on trouve, après avoir chassé le dénominateur :

RxCc = PXA« + QxBé.

On étendrait facilement cette proposition au cas d'un nombre de forces parallèles.

Il faut bien remarquer que ces moments par rapport au plan V ne sont autre chose que les moments des forces par rapport à un axe situé dans le plan V et perpendiculaire à la direction commune aux forces P.Q...En eft'et,si nous menons un planU perpendiculaire à V et parallèle aux forces, les distances Aa, Bé, Ce, se trouvent reportées parallèlement à elles-mêmes sur le plan U aussi bien que les forces P et Q, quand on projette toute la figure sur ce nouveau plan U. Les distances An, B6, sont donc précisément les distances d'un point quelconque de l'intersection des plans U et V aux projections des forces P, Q..., sur le plan U, et l'on voit que les moments par rapport k un plan ne sont autre chose que les moments par rapport à un axe. La distinction nous parait donc assez inutile; elle nous semble même fâcheuse parce qu'elle fait perdre de vue la généralité de cette proposition de géométrie qui s'applique aussi bien aux forces parallèles qu'aux I forces concourantes, qu'aux forces dirigées arbi-

MECANIQUE

traii-oment dans l'espaco : si l'on projette sur un plan un système qu<'lcoiK|UO de forces et sa résultante, le triangle qui a pour sommet un point quelconque de ce plan et pour base la projection de la résultante est équivalent h la somme des triangles ayant môme sommet et pour bases les projections dos composantes.

Applications. — 1° Déterminer la position de la résultante d'un système de forces parallèles à l'aide du tliénréme des moments.

Si l'on mène un premier plan V parallèle à la direction de ces forces P, Q, S, et si l'on mesure leurs distances ;y, r/, s, au plan V, on aura pour le moment de la résultante :

nr = Pi, + Q.j + Ss,....

et l'on en tirera :

Décomposition d'une force en d'autres forces parallèles. — Soit U la force donnée appliquée ig. 13), il s'agit de la décomposer en deux

eji I

autres forces parallèles appliquées aux points A et B situés sur la droite AIE et de part et d'autre du point I. Soient P et Q ces composantes inconnues ; nous avons déjà trouvé la relation

AB~m~AI'

elle fournit pour los intensités P et Q des composantes qui sont alors de môme sens que R :

La résultante sera donc située dans un plan parallèle à V situé à la distance r. Si l'on mène maintenant un second plan V parallèle aux forces, on aura pour la distance ;■' de la résultante ii ce plan V :

La résultante R sera donc aussi comprise dans un plan parallèle à V et situé i la distance r'; R se trouvera doue à l'intersection de ces deux plans.

2° Déterminer la position du centre des forces parallèles ou du centre de gravité d'un corps.

Soient A, B,C,... les points d'application des forces parallèles F, F', F",...etL le centre des forces parallèles; rapportons le système à trois plans de coordonnées rectangulaires XOY, XOZ, YOZ, et désignons para, A, c les coordonnées du point A, par a', b', c' celles de B par x, y, z les coordonnées inconnues de L; nous aurons, en prenant les moments de F, F', F",... et de leur résultante U par rapport aux plans 'iOZ, XOZ, XOY :

Si le point I était sur le prolongement de AB (fig. U), 1 les deux composantes seraient de sens contraires ; j la plus grande serait appliquée en A, qui est le plus 1 voisin de I, et l'on aurait pour les intensités de i ces forces les mêmes expressions (|ue plus baut. On peut se proposer de décomposer une force V ! eu trois autres parallèles V", F", F'" (fig. 21), dont

Fo + FV,

F -f. F F* + F'tj

Fc + FV

Si nous supposons un corps pesant de poids P formé de n particules de poids égaux à p, nous aurons pour les coordonnées.du contre de gravité :

ses coordonnées sont les moyennes arithmétiques entre les coordonnées de ses différentes particules.

On en déduit :

1° Que le centre de gravité d'un corps qui a un centre de symétrie est précisément ce centre de symétrie ;

2° Que le centre de gravité d'un triangle est au point de rencontre de ses trois médianes ;

3° Que le centre de gravité d'une pyramide est sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base et au quart de cette ligne à partir de la base.

Nous ne pouvons indiquer ici tous les théorèmes remarquables sur les centres de gravité des surfaces et des volumes définis géométriquement: nous renvoyons pour les énoncés et les démonstrations aux traités de statique.

les points d'ai)plication sont B, Ll, U. Soit A le point où la force F coupe le plan BCD ; nous supposerons d'abord ce point dans l'intérieur du triangle BCD. Joignons AB et décomposons F en deux forces, l'une F' appliquée en B, l'autre R au point E où aB rencontre le coté DC. Nous décomposerons ensuite la seconde force R eji deux autres F" el F'" appliquées aux points C et D. Comme toutes ces forces sont de même sens, nous devrons avoir :

Lorsque la force F perce le plan du triangle BCD en un point A' situé en dehors du triangle, les trois composantes ne sont plus dirigées dans le môme sens.

Coiuposition d'un nombre quelconque de forces situées dans le n.ême plan. — PiiopOSITION. — Un .siiattiiw de forces diri,/érs iirhitrairement dans un iiii/iur plan se réduit l"U/ours il une force résvttiintt' iinii^uc nu ii un seul i ouple.

Soiuiit, en elVct (lig. Tlj, les forces F, F', F"... ap-

pliquées aux points M, M', M".... d'un plan , choisissons arbitrairement dans ce plan deux points A et B, et joignons-les au point M; nous pouvons décomposer la force F en deux autres /' et /'i , dirigées

MECANIQUE

la première suivant MA, la seconde suivant MB; <le même, joignant M'A, MB, nous décomposerons F' en deux autres /" et fi , et ainsi de suite jusqu'à ce que cliacune des forces proposées ait été ainsi décomposée en deux autres passant l'une par le point A, l'autre par le point B. Le système proposé sera alors remplacé par deux groupes de forces ; le premier composé des forces

f, /"i r •••• appliquées au point A,

le second des forces

Ai A'i A" — ■ appliquées au point B.

Le premier groupe donnera une résultante unique Rj, le second la résultante Rj, et il ne restera plus qu'à composer ces deux résultantes partielles R, et Rj : si elles ne sont pas parallèles et de sens contraire, elles se composeront en une seule R qui sera la résultante unique du sj'stème proposé ; si elles sont parallèles et de sens contraire, elles donneront un couple; enfin, si les •deux forces Rj et Rj sont égales et directement ■opposées, les forces proposées se feront équilibre.

Retnurque. — La décomposition précédente de chacune des forces proposées en deux autres / et /i n'altère ni la somme des projections de ces forces sur un axe quelconque, ni la somme de leurs moments par rapport à un point quelconque du plan. — De même, lorsque l'on compose en une seule toutes les forces appliquées aux points A et B, la somme des projections et la somme des moments est conservée ; on conclut de là les deux propositions suivantes ;

1» Lorsque l'on a réduit à une seule force ou à un couple l'ensemble de plusieuis forces situées dans un même plan, la projection de la résultante ou du couple résultant sur un axe quelconque est égale à la somme algébriqne des projections des forces proposées sur ce même axe ;

2" Le moment de la résultante ou du couple résultant par rapport à un point quelconque du plan des forces est égal à la somme algébriqne des moments des forces proposées.

Problème I. — Déterminer la résultante unique d'un système de forces dirigées dnns le même /da/i.

On tracera dans leur plan deux axes rectangulaires OX, OY, et l'on déromposera chacune des forces en deux autres dirigées p.irallèlement à ces ^xes; la somme algébrique de ces projections suivant OX, sera :

X] = F cos ot + F' cos a' + ...

/;elle dos projections suivant OV sera

Y) = F sin a -|- F' siii a' + ...

et la grandeur de la résultante U sera

en équilibre, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient à la fois remplies :

i" Que la somme alyéhrique des projections de toutes les foi-ces sur deux axes quelconques tracés dans ce plan soit nulle pour chacun de ces axes;

2" Que la somme des moments de ces forces par rapport au point de rencontre de ces axes soit égale à zéro.

En effet, pour que le corps soit en équilibre, il faut et il suffit que les forces appliquées se réduisent à deux forces égales et directement opposées; et lorsque ceci a lieu, la somme des projections et la somme des moments est nulle. Ces conditions sont de plus suffisantes, car si la première est remplie, les forces ont une résultante nulle ou se réduisent à un couple ; mais si la seconde condition est aussi remplie, les forces ne peuvent se réduire à un couple; par conséquent, si les deux conditions précédentes ont lieu à la fois, la corps est en équilibre.

Composition d'un nomJsre quelconque de forces dirigées arbitrairement dans l'espace. — Proposition 1. — U?i nombre quelconque de forces peut toujours se réduire à trois forces appliquées en trois points donnés à volonté dans le corps.

En effet (fig. 23) soit F l'une des forces données