NUMÉRATION

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NUMERATION

dernier mot se réduisit à zcra, pendant que le premier finit par désigner les neuf autres caractères; notre terme chiffre n'est autre que le mot àfra avec la prononciation italienne du c. Les Anglais ont conservé au mot chiffre [cipher] son sens étymologique de zéro ; les neuf autres caractères portent le nom de fir/ures. qu'ils ont eu longtemps aussi en français.

De ce qui précède ressort ce principe : Dans tout nombre écrit, un chiffre de ranu quelconque exprime îles unités dix fois plus grondes que celles (tu chiffre qui est immédiati'ment à sa droite.

C'est là le principe fondamental de la numération écrite.

liét/lc pour écrire les nombres. — U't éci it successivement de qauche à droite le chiffre rfes centaines, le chiffre des dizainrs et celui des unités de chaque classe (('unités prni'ipales, en coinmençunl par la classe le plus élevée et en ayant soin lie mettre un zéro à la plaie de chaque ordre inanqumit iluiis le nombre.

Soit par exemple: Irente-qunlre niillioni vingtliuit mille SIX i enl sept unités. Ce nombre contient 34 millions ; la classe dos mille n'a pas de centaines et renferme seulement 2 dizaines et 8 unités; la classe des unités simples contient (j centaines et 7 unités, mais pas de dizaines. Ce nombre s'écrira donc ainsi :

Hégle pour lire un nombre écrit en chiffres. — P-mr lire un nombre, on le divise en tranches de trois chiffres par des poirits à partir de la droite; la dernière peut n'avoir qu'un ou deux chiffrer. Chaque franche correspond ainsi aux clauses d'unités principales. La première à dioife représerite la classe des unités simples, la seconde celle des mille, etc., et dans chaque tranche le primier chiffre à droite exprime les vnitis, le second les dizaines et le troisième les centaines. On ht alois chaque tranche de gauche à droite en énonçant après chacune le nom de la classe de ses unités pri7icipales . .

Nota. — Nous n'avons pas besoin de recommander aux maîtres de commencer par des nombres n'ayant pas plus de trois chiffres, et de monter graduellement à ceux de six chiffres, puis i ceux de neuf, sans dépasser les billions. Au delii ce sont des nombres fantastiques dont les élèves n'auront jamais à faire usage.

Influence des zéros sur la drode d'un nombre entier. — Un nombre entier prend une valeur 10 fois plus grande, quand on écrit un zéro sur sa droite; lu» fois plus grande, quand on en écrit deux ; 1000 fois plus grande, quand on en écrit trois, etc.

En effet, soit le nombre 68 ; avec un zéro sur sa droite il devient 680. Dans le premier, le chiffre 8 exprime des unités simples, et dans le deuxième des dizaines ; le chiffre 6 dans le premieriexprime des dizaines et dans le deuxième des centaines : par la présence du zéro, chaque chiffre du nombre a donc pris une valeur 10 fois plus grande que celle qu'il avait auparavant.

De là. cette distinction entre la râleur absolue d'un chiffre et sa valeur rehdive, c'est-iVdire celle qu'il prend d'après le rang qu'il occupe.

Nl!Ml':HAT10N DES NOMBRES DÉCIMitlX. — Des pluS

fortes unités aux plus faibles, une unité de chaque ordre est la 10" partie de celle qui la prccc'^de immédiatement; si donc on prolonge la série des ordres d'unités au-dessous des unités simples, on a d'abord la Ki'partie de l'unité, puis la 10" partie du 10", qui est la lOO' partie de l'unité, puis la ni" partie du 100°, qui est la lOOO» partie de l'unité, etc. : c'est ce que montre de la manière la plus nette le mètre avec ses subdivisions en décimètres, centimètres et millimètres.

Ces unités fractionnaires sont appelées unités décimales (du latin decimus, dixième), parce que chacune est la 10' partie de la précédente; elles doivent être regardées comme la continuation de la série des ordres d'unités entières.

Un nombre qui exprime des unités décimales est appelé |)iO»(/j'e décimal; s'il est moindre que l'unité entière, il prend le nom de fraction décimale. Ainsi 'i mètres et 3 dixièmes est un nombre décimal; 3 dixièmes de mètre, 34 centièmes de franc sont des fractions décimales.

Règle. — Pour écrire un nombre décimal, on écrit d'ubor I la partie entière du nombre, eu la marquant par ui zéro s'il n'y a pas d'uni'és entières; à droite on place une virgule, puii au \" rang à droite de cette virgule le chiffre des dixièmes, au 2" rang le chiffre des centièmes, au 'i^ rang celui des millièmes, etc. On a soin de mettre un zéro i la place des unités décimales qui manqueraient.

Par e-aemple.poMT quatre unités trente-huit millièmes deux ceni -millièmes, on écrira 4,0.3802.

Souvent la fraction décimale à écrire est énoncée comme un nombre entier suivi du nom de la dernière unité décimale : trois mille huit cent deux cent-millièmes. Dans ce cas on l'écrit comme un nombre entier ."i la droite de la virgule, en ayant soin que le dernier chiffre à droite se trouve au rang indiqué par l'ordre de ses unités décimales. Aussi le cent-millième devant être au 5' rang, le nombre 380.' devra être précédé d'un zéro, et on écrira 0,03802.

Observation. — A propos do la virgule, nous devons profiter de cette occasion pour protester contre la détestable habitude prise par les imprimeurs d'employer la virgule à séparer les nombres en tranches de trois cliiffres. et de l'omettre à la place qui lui appartient. Sous prétexte de faciliter la lecture du nombre, ils le rendent inintelligible, comme le montre cet exemple extrait du compte rendu d'un journal financier: Les recettes des Tramwnys-Nnrd sont de 54,128; celles de la semaine précédente n'avaient été que de 50,469.

C'est aux auteurs qu'il appartient de combattre cet abus; nous le signalons particulièrement aux rédacteurs des Bulletins départementaux de l'instruction primaire, où cette confusion se montre trop souvent dans les énoncés des problèmes. Conservons k la virgule son emploi traditionnel, et, pour contenter tout le monde, séparons par un petit espace blanc les tranches de trois chiffres.

Règle. — Pour lire un nombre décimal, on lit d'abord la partie entière, piii< la partie décimale en la faisant suirre du 7iom de l'unité décimale du dernier chiffre à droite. Soit par exemple le nombre 237. 40658. On dira : 23" unités 40 mille 658 cent-millièmes. On peut dire aussi : 237 unités 406 millièmes 58 cent-millièmes; ou 237 unités 40 centièmes 658 cent-millièmes, etc.

Remarque. — On peut même lire le nombre décimal, sans faire attention à la virgule, comme si c'était un nombre entier exprimant des unités marquées par le rang qu'occupe le dernier chiffre à droite de la virgule.

Par exemple, le nombre 4,35 se lirait 435 centièmes.

Observation. — Il importe que les élèves s'habituent k envisager le nombre décimal comme un nombre entier. C'est en se mettant à ce point de vue qu'il est facile de faire marcher de pair l'étude des opérations sur les nombres décimaux avec celle des nombres entiers. Les commençants, sans y rencontrer plus de difficulté, y trouveront l'avantage de pouvoir résoudre de petits problèmes oiii ils pourront opérer sur des fractions décimales du franc et du mètre, par exemple, aussi bien que sur les unités entières.

De ta présence des zéroi sur lu droite d'une frat-

NUMERATION

NUTRITION

tion (léi-imale. — On peut, écrire ou supprimer des zéros sur la droite d'une Iraclion décimale sans altérer sa valeur.

En effet soit 2,:i'(,c'03t-à dire 2 unités 34 centièmes: en mettant un zéro adroite, on obtient 2, -UO.

La partie entière, 2 unités, n'a pas changé ; mais il la partie décimale, 34 centii'nics a été remplacé par 310 millièmes; le nombre des unités décimales est devenu dix fois plus grand, et en môme temps les unités sont devenues dix fois plus petites : la valeur de la fraction décimale n'a donc pas clianc;é.

Déplnoement de In virgule. — Si dans un nombre décimal on avance la virgule vers la droite d'un rang, sa valeur devient dix fois plus grande; de deux rangs, cent fois plus grande; de trois rangs, mille fois plus grande.

Par exemple, si dans le nombre 4,728 la virgule est avancée de deux rangs à droite, ce qui donne 472,8, chaque chiffre prend une valeur cent fois plus forte : 4, qui dans le premier nombre exprime des unités simples, exprime dans le second des centaines; 7, qui exprime dans le premier des dixièmes, exprime dans le second des dizaines, et la dizaine vaut lOn dixièmes; etc.

Réciprijqu'ment, si l'on recule la virgule h gauche, le nombre devient dix foi* plus faible pour un rang, cent fois plus faible pour deux rangs, etc.

Des aulr-s si/stémes de numération. — Le système décimal a pris sans doute naissance dans le nombre des doigts des deux jnains; mais il est évident qu'on aurait pu adopter comme base tout autre nombre. Nous en trouvons un exemple dans l'usage populaire de rompter par doazdiws; il provient aussi de l'habitude de compter sur les quatre doigts, qui, avec leurs trois phalanges, forment un groupe de quatre fois trois ou douze. La douzaine est donc l'unité du second ordre ; celle du troisième vaudrait douze douzaines; elle est encore usitée dans le commerce sous le nom de grosse : une! groise d'écheveaux de fil pour dire douze douzaines d'écheveaux. Ce système de numération dundédmrile se retrouve dans les subdivisions des anciennes unités de longueur : le pi'd, qui se divisait en 12 pouces; le pouce, en 12 lignes; la ligne, en 12 points. Pour écrire des nombres dans ce système, il faudrait employer onze chiffres plus le zéro.

Le système qui exigerait le moins de chiffres est celui où une unité de chaque ordre serait compo^oededeux unités de l'ordre immédiatement inférieur : c'est le .système binnire. 11 n'a d'autres chiffres que I et 0. Dans ce Système l'expression 10 indique 1 unité du T ordre ou 2 unités simples ; l'expression lOJ indique 1 unité du 3» ordre, ou 2 unités du 2" ordre, ou 2 fois 2 unités du 1"', c'est-à-dire 4 unités simples, etc.

Numération romaine. — Nous ne devons pas finir cet article sans exposer la numération romaine, qui est encore en usage aujourd'hui pour les inscriptions gravées sur les monuments, pour les chapitres et les divisions d'un livre, et souvent sur les cadrans des horloges.

Tout ce système repose sur les sept nombres : 1 S 10 .'iO 100 500 1000 qui sont désignés par les lettres suivantes : I V X L C D M.

Pour représenter deux ou trois unités de l'un

des quatre premiers ordres, on répète la lettre

correspondante à cette unité deux fois, trois fois :