DOB + DOA < COB + COA
AOB < COA + COB,
ce qui est précisément le théorème énoncé.
Démontrons niaintonaiit que la somma des angles plans d'un anyU- polyèdre est moindre que i anales droits.
Pour cela coupons par un plan MN (fig. 3) l'an-
de l'angle polyèdre. Mais en considérant les angles trièdros qui ont leurs sommets aux sommets A,B, du pentagone, on a, d'après le théorème précédent, pour les angles plans qui forment leurs faces, les inégalités suivantes :
PAE + PAB < OAE -4- OAB, PBA -(- PBC < OBA + OBC, etc.
On voit par lîi que la somme des angles qui dans les triangles du pentagone sont adjacents aux côtés AB, BC, etc., est monidi-e que la somme des angles qui, dans les cinq triangles de l'angle polyèdre, sont adjacents aux mêmes cotés; par conséquent la somme des cinq angles situés autour du point P doit être par compensation plus grande que la sommo des cinq angles assemblés autour du point 0; donc la somme de» angles on O est moindre que i angles droits, valeur de la somme des angles en P.
Ani/les Irièdres symétriques. — Soit un angle trièdre OACB (fig. 4), dont l'arête OC est dirigée en
glo polyèdre peniagonal qui a son sommet en 0 ce qui déierniinc le pentagme ABCDE ; puis joignons un point quelconque P de ce polygone aux cinq sommets par les droites PA, PB etc. La somme des angles des cinq triangles assemblés autour du point P et formant le pentagone est
n^in n.»- ""'"'"'' '''"* ''"«'«' ''«^ ci"<l triangles OAB, OBC, etc., assemblés autour du sommet O
avant du plan de la face AOB. Si on prolonge les arêtes au delà du sommet O, on obtient un autre angle trièdre OA'C'B', ayant ses trois faces et ses trois angles trièdres égaux aux trois faces et aux trois angles dièdres du premier.
Cependant ces deux angles trièdres ne pourraient coïncider; car si on rabat do haut en bas le second sur le premier, en appliquant la face B'OA' sur la face AOB qui lui est égale, l'arùte OC, au lieu de tomber sur 0(;, se placera dans la position OC", l'angle C'OB étant égal à l'angle COA.
Les deux angles trièdres OACB et OA'C'B', qui ont leurs six éléments respectivement égaux, sans pouvoir coincider, sont nommés angles trièdres symétriques.
Observation. — Les angles trièdres ont une grande analogie avec les triangles ; les côtés de ceux-ci correspondant aux faces de ceux-là, et les angles plans des triangles aux angles dièdres des angles trièdres. De li des propriétés semblables, dont nous ne citerons que les deux exemples suivants :
Si deux fares d'un auf/le trièdre sont égales, les angles dièdres opposés sont égaux, et réciproquemfnt;
Deux angli'S trièdres sont égaux dans toutes leurs parties, quand ils ont leurs trois faces respectiueme/it égales, et réciproquement.
II. — Polyèdres ou solides. — 1. On donne le nom de polgèilre à un corps qui est limité par des f'ici's planes. Ces faces sont des polygones; leurs côtés sont les arêtes, et les extrémités des côtés ont les sommets du polyèdre.
Parmi les polyèdres il faut distinguer les prismes et les pi/nit/iides.
2. — Pristr.es. — On nomme prisme un polyèdre dans lequel deux faces opposées sont des polygones égaux et parallèles, et dont les autres sont dos pariillélogramrni's.Les deux polygones égaux sont considi'i-és comme lesiascs; les autres faces sont les faces lalérules.
POLYEDRES
POLYEDRES
Soit par exemple le pentagone A'B'C'D'E' (fig. 5). Si des sommets A', B'.,., etc., on mène, dans une
direction quelconque, des droites A'A,B'B,C'C, etc. égales et parallèles entre elles, et qu'on joigne deux à deux leurs extrémités, on forme des parallélogrammes A'ABB' B'BCC, etc. Les côtés AB, BC, etc., étant parallèles aux côtés A'B', B'C'...du polygone A'B'C'D'E', sont parallèles au plan île ce polygone et sont par conséquent dans un même plan. Le polygone AB(>DE, ayant ses côtés et ses angles égaux h ceux du polygone A'B'C'D'E', lui est égal, et le polyèdre ainsi construit est un prisme.
l.a liautfur d'un prisme est la perpendiculaire MM' menée d'un point de la base supérieure sur le plan de la base inférieure.
Quand les arêtes latérales A'A, B'B... etc., sont perpendiculaires à la base, elles sont elles-mêmes la hauteur; le prisme est dit prisme droit. Dans ce cas, les faces latérales sont des rectangles.
Lorsque les arêtes latérales ne sont pas perpendiculaires aux bases, on dit que le prisme est oblique.
Un prisme est triangulaire, quand il a pour base un triangle; quadra?igu/aiie, ijuand il a pour base un quadrilatère quelconque ; ptnlagonal, quand il a pour base un pentagone, etc.
3. — Paral/clipipcde. — Vn prisme dont la base est un parallélogramme est appelé parallélipipède (fig- Uj.
Les six faces sont toutes des parallélogrammes.
Lorsque le parallélipipède est droit et que ses bases sont des rectangles, toutes ses faces sont des rectangles ; il est dit pm-atlélipipède rectangle. Telle est la forme d'une caisse à six faces planes d'une brique, d'un bassin à quatre côtés, etc. '
Si la base est carrée et la hauteur égale au côté de la base, le parallélipipède s appelle cube. Le cube est donc un corps formé par six carrés égaux, l'ne boite dont la longueur, la largeur et la hauteur sont égales est un cube.
4. — Propriétés du parallclipipède. — Le parallélipipède est parmi les polyèdres ce qtfe le parallélogramme est parmi les polygones; plusieurs propriétés de l'un sont analogues aux propriétés de 1 autre. Nous citerons les suivantes, en démontrant seulement les plus importantes.
Théorèmes. — j' Dan^ zm parallélipipède, les deux faees Opposées sont égales et parallèles.
Soit le parallélipipède (fig. C) qui a pour bases les parallélogrammes égaux ^BCD et A'B'C'D'.
Les deux parallélogrammes A'ADD'et B'BCC ont leurs côtés respectivement égaux et parallèles, A'A et B'B, AD. et BC, etc. ; leurs angles sont aussi égaux; par conséquent, ces parallélogrammes sont égaux et parallèles.
De là il résulte qu'on peut prendre pour bases dans un parallélipipède deux faces opposées quelconques.
2" Deux angles dièdres opposés d'un parallélipipède sont égaux.
En effet, ils ont leurs faces parallèles et dirigées en sens inverse.
3° Deux angles irièdres opposés sont symétriques, c'est-à-dire qu'ils ont leurs parties respectivement égales, mais ne peuvent pas être superposés.
4° Les quatre diagonales se coupent en un même point, qui est le milieu de chacune d'elles.
En effnt, dans le parallélipipède ABGDHEFG (fig. 7), tirons les droites H.\ et GB, ce qui forme
un parallélogramme HABG. Les diagonales GA et HB du parallélipipède sont en même temps les diagonales du parallélogramme HABG ; donc elles se coupent et le point d'intersection 0 est le milieu de chacune d'elles.
On verrait de même que la diagonale EC coupi' la diagonale GA en son milieu 0, parce qu'elles sont toutes deux les diagonales du parallélogramme EACG.
5" Dans un parallélipipède rectangle les quatre diagonales sont égales.
5. — Prisme régulier. — Un prisme droit qui a pour base un polygone régulier est nommé prisme régulier.
Par exemple, une règle terminée à ses deux extrémités par deux carrés égaux, les carreaux do brique à six côtés employés dans le dallage, sou; des prismes réguliers.
Dans ce prisme, toutes les parties de même espèce sont égales. Ainsi, les faces latérales soin des rectangles égaux ; les angles dièdres formés par deux faces latérales sont égaux ; les angle-trièdres qui ont leurs sommets sur les somniei» des bases sont tous égaux, etc.
La droite qui joint les centres des deux bases est l'axe du prisme régulier.
