QUATERNAIRE (TERRAIN) — 1776 — QUINQUINA, QUININE
core éteinte dans cette région, dont le sol exsude constamment des torrents d'acide carbonique.
Il est bien remarquable que l'Auvergne, cette contrée particulièrementtourmentée de la France, vienne fournir des témoignages exceptionnellement éloquents de la lenteur des phénomènes quaternaires. Les cliapeaux de basalte tertiaire ont, en effet, protégé les couches sous-jacentes contre les érosions postérieures à leur éruption, tandis que les intervalles des coulées restaient soumis h l'action corrosive des agents météoriques. Or, on trouve des coulées de ce genre à des altitudes extrêmement variées qui correspondent cliacune à l'état de dénudation du sol au moment où elle s'est produite. La conséquence est que la dénudation, loin d'être le résultat d'un violent rabotage causé par un torrent déchaîné tout à coup, a été un phénomène continu qui s'est prolongé pendant tout le temps qui nous sépare de l'époque tertiaire.
Glaciers. — Les glaciers ont laissé à l'époque quaternaire des vestiges si considérables que divers géologues ont voulu la caractériser en la nommant époque glaciaire. Cette qualification toutefois est absolument impropre, les glaciers s'étant montrés bien avant l'époque quaternaire et ayant persisté depuis.
Quoi qu'il en soit, on a reconnu d'une manière positive que les glaciers actuels ont eu à l'époque quaternaire un plus grand développement qu'aujourd'hui, et, en second lieu, que des localités maintenant dépourvues de glace ont été pendant ce même temps recouvertes de glaciers.
C'est ainsi que de toutes parts dans les Alpes on voit dans les vallées où sont les glaciers une grande hauteur de roches polies et moutonnées au-dessus du niveau de la glace. Souvent aussi à l'avant des glaciers se trouvent de vastes régions dont le sol est strié et qui présentent d'anciennes moraines.
Dans les Pyrénées on retrouve exactement le même ensemble de faits.
Un autre ordre d'observations plus frappantes encore concerne les régions où les traces glaciaires contrastent avec l'absence absolue de tou;e glace permanente. Dans le Cantal, par exemple, on trouve d'énormes moraines qui bornent des vallées, et qui même, par leurs dispositions spéciales, témoignent d'une fusion successive des glaciers qui les ont accumulées. On en conclut à l'existence de deux périodes glaciaires parfaitement distinctes. Le Jura fournit des faits tout h fait semblables et spécialement des blocs erratiques originaires des hautes régions des Alpes et qui gisent maintenant sur les sommets de calcaire secondaire. Ces blocs erratiques se continuent dans une partie de la vallée du Rhône. La Bourgogne, les Vosges sont fortement marquées du sceau des anciens glaciers. Dans cette dernière région on constate même la superposition des moraines à des alluvions fluviatiles plus anciennes, ce qui est une observation des plus importantes relativement au régime de la période qui a immédiatement précédé les temps actuels.
Conc/usion. — Comme on le voit par ce rapide résumé, l'étude de l'époque quaternaire est loin de nous la montrer comme une époque exceptionnelle, signalée par des phénomènes spéciaux. Cette époque n'a rien d'essentiel qui la distingue de celles qui l'ont immédiatement précédée ou de celles qui l'ont immédiatement suivie. Celte cojiclusion, très différente de l'opinion ordinairement professée, est aussi irapojtante au point de vue philosophique qu'au point de vue purement géologique. Elle contribue plus que tout autre fait à démontrer l'évolution coniinue dont le globe terrestre traverse réguhèrement les phases successives. [Stanislas Meunier.]
QUINQUI.NA, QUIMNE. — Chimie, XXV. — On donne communément le nom de rjuintjuîna à des écorces desséchées, d'aspect et de couleur variés, très employées en pharmacie à cause des principes amers, toniques et fébrifuges qu'elles renferment. Ces écorces proviennent d'arbres exotiques appelés quinquinas, kina-kina, « écorce des écorces » en péruvien, du genre Cinchona de la famille des Rubiacées *. Le principe actif du quinquina est un remède héroïque contre la fièvre, la gangrène, la pourriture d'hôpital, les ulcères, etc. C'est un antiseptique et un stimulant ; on l'administre sous toutes les formes, en potion, en pommades, en pilules, etc.
Les quinquinas sont des arbres toujours verts, à feuilles opposées, à fleurs roses odorantes disposées en panicules. On les trouve sur les flancs des Cordillères au milieu des forêts vierges, à des hauteurs variant de lOOOà 3000 mètres au-dessus du niveau de la mer, principalement au Venezuela, il la Nouvelle-Grenade, dans l'Equateur, au Pérou, dans la Bolivie. Les Hollandais ont introduit les quinquinas aux Indes il y a une trentaine d'années ; ils les cultivent aujourd'hui avec succès à Java. Pour les détails botaniques et historiques relatifs au quinquina, V. Rubiacées.
Principes actifs du quinquina. Quinine et Cinc/ioni/ie. — En 1820, Pelletier et Caventon purent extraire de l'écorce de quinquina deux substances, la quinine et la cinchonine, auxquelles celleci doit ses propriétés ; on leur donna, ainsi qu'à beaucoup d'autres substances semblables naturelles ou artificielles, le nom générique d' Alcaloïdes *, parce qu'au point de vue des propriétés chimiques, elles se rapprochent des alcalis minéraux. (V. Alcalis.)
La composition de la quinine peut être représentée par la formule C'^H-'Az^O* ; cette substance est solide, blanche, fort amère ; elle se dissout dans l'alcool, l'éther et le chloroforme, tandis qu'elle est extrêmement peu soluble dans l'eau. Elle cristallise en retenant de l'eau, et fond h 120° en se décomposant en partie. La quinine se combine aux acides et forme des sels à base de quinine dont le sulfate, le chlorhydrate, le bromhydrate et le valérianatesont fort employés eu thérapeutique. On obtient la quinine pure eu versant de l'ammoniaque dans une dissolution de sulfate de quinine ; moins puissante que l'ammoniaque, elle est déplacée et apparaît sous forme de précipité blanc caséux, amorphe. La quinine pure est très peu on usage.
Sulfate de quinine. — C'est le véritable agent quinifère; on consomme 100 fois plus de ce sel de quinine que de tous les autres ensemble.
Il est surtout employé contre la fièvre. Ce sel se présente sous forme de longues et minces aiguilles flexibles. Il est léger, efflorescent à. l'air, d'une saveur amère; il se dissout dans <jii parties d'alcool i froid et dans 30 d'eau bouillante, tandis qu'il est presque insoluble dans l'eau froide et dans l'éther. Vers 100° il jouit àe la. phosphorescence. Délayé dans l'eau aiguisée par de l'acide sulfurique, il se dissout et la liqueur prend une teinte bleue. Ce sulfate ramène au bleu le tournesol rouge ; mais, dissous dans l'eau acidulée, il donne un sulfate neutre beaucoup plus soluble.
Préparation du sulfate de quinine, ses utnges, ■^es suphisticalions, — Pour obtenir le sulfate basique, c'est-à-dire qui bleuit le tournesol rouge, on fait bouillir l'écorce de quimiuina pulvérisée dans 10 à 12 parties d'eau additionnées de 12 p. 100 d'acide sulfurique ou 25 d'acide chlorhydrique. On filtre la décoction et on reprend par l'eau bouillante un peu moins acidulée. Les liqueurs refroidies sont traitées par un lait de chaux ajouté par petites portions; le précipité contient la quinine, la cinchonine et la matière
RACINE
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colorante, puis un excès do chaux et du sulfate de cliaux; on le comprime après l'avoir laissé égoutter. On traite le tourteau par l'alcool, et la dissolution concentrée dépose des cristaux do cinclionine, si le quinquina était riche en cinchonine ; les eaux-mères, traitées par l'acide sulfurique, puis débarrassées de l'alcool par distillation, laissent déposer des cristaux de sulfate de quinine. On remplace souvent la chaux par le carbonate de soude, et l'alcool par d'autres dissolvants tels que l'essence de térébenthine et les huiles lourdes de goudron.
Le sulfate de quinine coûtant fort cher est souvent sophistiqué ; on y mélange du gypse, du sucre, de l'acide stéarique, de l'amidon, de l'acide borique. On reconnaît qu'il contient une substance minérale quand il laisse un résidu par l'incinération. Les matières solubles dans l'eau, comme la gomme, le sucre, restent dans la liqueur quand on en a précipité la quinine par la baryte.
Emploi (lu sulfate de quiiune en médecine. — Le sulfate de quinine est le fébrifuge par excellence ; 25 5. 40 centigrammes coupent rapidement l'accès d'une fièvre intermittente bénigne, mais il faut une dose de 1 à 2 grammes pour combattre efficacement les fièvres pernicieuses des pays chauds (VVurtz). Le sulfate de quinine s'administre aussi contre certaines névroses, puis contre la goutte, le rhumatisme articulaire, la fièvre typhoïde. On peut le prendre en potion ; pour cela
on le dissout dans de l'alcool légèrement acidulé par de l'acide sulfuriciue.
Action des composés de la quinine sur l'économie. — A faible dose, 15 à 20 centigrammes, toutes les préparations contenant de la quinine agissent comme des excitants et activent la respiration et la circulation. A dose plus élevée, elles produisenr des troubles de la vue, des bourdonnements d'oreille et un état général d'ivresse avec douleur de tête. Il peut ensuite arriver du délire, des convulsions, l'anéantissement de toutes les forces, le coma et la mort. Un malade qui échappe dans ce cas se guérit difficilement, et souvent il ne recouvre pas l'usage de l'ouie ou de la vue.
Vin de quinquina. — On consomme aujourd'hui une très grande quantité de vin dit de quinquina, qu'on peut préparer soi-niôme de la manière suivante : On prend du quinquina gris qui est riche en tannin, on le concasse finement, puis on en met 30 à 4» grammes au fond d'un litre en l'arrosant de (;0 grammes d'alcool à 20° ; on bouche le flacon et on laisse séjourner 24 heures en agitant de temps en temps. On remplit ensuite le litre avec du vin blanc de Bourgogne ou du Bordeaux ou du Malaga ; on ferme et on laisse reposer plusieurs jours ; le vin soutiré est tonifiant et fortifiant ; il ne faut pas cependant en abuser. Si on voulait obtenir un vin antifébrile, il faudrait augmenter la dose de quinquina.
[Alfred Jacquemart.]
UACKS 1IUMA1.\ES. — V. au Supplément.
RACLMÎ. — Botanique, V. — Etym. : Le mot racine vient du latin radix qui signifie racine.
DépnHiiin. — On désigne généralement sous le nom de racine la partie du végétal plongée dans le sol, qui sert à ce végétal à puiser les matières nutritives dissoutes dont il a besoin, et qui lui sert aussi à le fixer au sol. Un peu plus loin nous aurons occasion de donner une définition plus précise de la racine; mais il nous faut pour cela connaître certaines particularités de son organisation.
Extérieur et nomenclature de la racine. — Lorsqu'une graine a été placée dans des conditions favorables pour provoquer sa germination, on voit la région inférieure de l'embryon, ou axe ht/pocotylé, percer les téguments séminaux, et, ou bien se poser simplement sur le sol en s'épatant pour ainsi dire, ou bien plus généralement pénétrer dans l'iniorieur du sol et s'y enfoncera une certaine profondeur. Cette région inférieure de l'embryon a reçu le nom de radicule (petite racine), parce que pendant longtemps on a cru que c'était elle qui en s'allongeant donnait effectivement naissance à la première racine. Depuis lors, il a été reconnu que la première raciiie, comme toutes celles qui la suivront, prend naissance dans l'intérieur des tissus des organes existants, et cela eu n'importe quel point de la plante.
La première racine apparaît généralement dans l'intérieur des tissus de la région inférieure de l'axe hypocotylé; son point d'insertion est très variable d'une plante à l'autre; il est toujours très large. Le point d'attache de la racine sur un organe s'appelle tise de la racine. Par suite même de sa naissance dans l'intérieur des tissus, la racine est obligée de déchirer les tissus superficiels qui la recouvrent ; il en résulte comme une collerette autour de sa base. Cette collerette a reçu
2'^ l'AliTIE.
le nom de coléorhize. Le célèbre botaniste français Richard considérait la présence ou l'absence de coléorhize, à la base do la racine principale ou première racine, comme un caractère distinctif d'une très grande valeur, et équivalant au caractère fourni par le nombre des cotylédons de l'embryon. Richard, croyant avoir consulté que les végétaux monocotylédonés présentaient seuls une coléorhize à la base do leur première racine, les qualifia d'emlorhizés, ou végétaux dont les racines naissent à l'intérieur des autres organes. Aux endorliizos ou monocotylédonés, Richard opposait les exiirhizés ou dicotylédones chez lesquels il supposait que la première racine provenait de l'élongation directe de la radicule de leur embryon, lin réalité monocotylédonés et dicotylédones sont endorhizés.
Le S'immtt de la racine, ou extrémité libre de celle-ci, est le point par lequel cet organe s'accroît en longueur. Le sommet de la racine est formé de tissus délicats qu'il importe beaucoup à la plante de conserver intacts, etdepréservercontre leschocs extérieurs. A cet effet, ce sommet est entièrement recouvert d'une couche subéreuse ou liège. On donne à cette enveloppe protectrice le nom de coilTe ou pi/orhize. Elle détermine à l'extrémité des racines un léger renfiement que l'on désignait autrefois sous le nom de spongioles, parce qu'on supposait que cette partie de la plante puisait dans le sol les matières nécessaires à son alimentation. La pilorhizH présente sa plus grande épaisseur au sommet môme de la racine ; c'est dans cette région, du reste, qu'elle s'accroît et augmente constamment d'épaisseur. De très bonne heure sa surface extérieure s'exfolie, et souvent on la voit former des niasses gélatineuses que l'on a regardées comme des excrétions végétales. C'est mime la croyanci' erronée à une excrétion, ayant pour voie de sortie les racines, qui a servi de base lire-
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mière à la théorie des assolements ou rotation des cultures sur un sol déterminé, théorie qui a une si grande importance en agriculture, mais dont la véritable raison d'être est tout autre. On supposait, en effet, que les excrélions d'une plante viciaient peu à peu le sol et le rendaient impropre à la culture de cette même plante, tandis qu'elles favorisaient le développement de certaines autres plantes. De là, la nécessité de varier les cultures sur un même sol ; de lii des plantes sympathiques dont la culture successive était prospère, tandis que la culture de ces mêmes plantes devenait impossible lorsqu'elles étaient précédées par certaines autres plantes non sympathiques. En réalité la théorie des assolements repose sur deux faits : 1» la dimension et la forme des racines des végétaux cultivés ; 2° la nature des matières absorbées par ces mêmes végétaux. Supposons en effet que l'on ensemence de blé un sol disposé h l'avance pour cela. Tout le monde sait que les racines du blé (qui appartiennent au groupe des racines fasciculées) s'enfoncent peu profondément dans le sol, qu'elles s'étalent à peu de distance de la surface de ce dernier. La récolte du blé étant faite, les matières nutritives contenues dans le sol n'ont été épuisées que dans les couches superficielles ; au-dessous de la zone où ont vécu les rai ines du blé, le sol est demeuré intact. Que l'on sème alors des navets, plantes qui sont pourvues d'une racine (dite pivotante) qui s'enfonce assez profondément dans le sol; ces navets trouveront aisément leur nourriture dans les régions où les racines du blé n'ont pas pénétré. La culture du navet réussira donc fort bien après celle du blé ; la principale raison pour laquelle ces deux plantes sont sympathiques, c'est que leurs racines vivent, dans le sol, à des profondeurs différentes.
Lapilorhize, en s'exfoliant, meta nu une partie des tissus de la racine les plus nouvellement formés. Ceux-ci donnent alors naissance à des sortes de poils que l'on appelle poils radicaux et qui sont les principaux organes d'absorption de la racine. Ces poils radicaux n'ont qu'une existence extrêmement courte, en accord, du reste, avec leur rapide renouvellement; car les parties nouvellement découvertes par la chute de la pilorhize produisent constamment de nouveaux poils radicaux.
Lorsciue la première racine s'allonge beaucoup, prend un grand développement, et persiste pendant longtemps, on l'appelle ia:ine principale ou pivot. Si la prédominance du pivot est très marquée, les plantes sont dites à ra ines piv dan tes. Au contraire, on appelle plantes à racines fasciculées celles chez lesquelles la racine principale, s'allongeant peu, donne immédiatement naissance à plusieurs racines grêles, sensiblement égales entre elles.
On appelle racnvs secondaires les racines qui naissent sur la racine principale ; elles sont d'autant plus jeunos qu'elles sont plus rapprochées du sommet de la racine principale ; elles peuvent porter des racines de troisième ordre ; celles-ci à leur tour peuvent en porter d'autres plus jeunes qu'elles. L'ensemble de toutes ces racines forme le chevelu.
On appelle racine adventice toute racine développée en un point quelconque du végétal. Lorsque ces racines adventives doivent séjourner dans l'air, elles s'entourent d'une sorte de voile, le velamen, et portent alors plus spécialement le nom de ruciyies aéricyines. Le velamen est formé par un tissu qui est une sorte de liège. Ce tissu est ordinairement rempli d'air.
Stracture de la racine. — La racine ne présente qu'un seul faisceau primaire à plusieurs centres de développement ligneux symétriquement disposés autour de l'axe de ce faisceau. Cet axe du faisceau colacide d'ailleurs avec l'axe de la racine
elle-même; il en résulte que le bois primaire se présente sous forme de lames rayonnantes allant de la périphérie du faisceau jusque près de son centre. Ces lames sont formées d'éléments ligneux qui vont en augmentant de volume de la périphérie vers le centre du faisceau. Les éléments ligneux formés les premiers, c'est-à-dire ceux qui avoisinent la périphérie du faisceau, sont des trachées très grêles; ceux qui suivent, en se rapprochant du centre du faisceau, sont des trachées d'un volume de plus en plus considérable et qui présentent des spires d'épaississement plus nombreuses à mesure qu'elles deviennent plus grosses. Entre ses lames ligneuses, le faisceau de la racine présente toujours des îlots libériens constitués à l'origine par des cellules grillagées et du parenchyme libérien. C'est par le tissu libérien que s'effectue la circulation de la sève élaborée ; c'est au contraire exclusivement par le bois que l'eau, absorbée par la racine, pénètre dans la tige pour se rendre de là dans les diverses parties de la plante.
Toute la périphérie du faisceau est occupée par une zone de cellules spéciales, caractérisées par des épaississement plissés particuliers à ces cellules. Cette zone a reçu le nom de gaine protectrice du faisceau; elle sépare le faisceau du reste des tissus de la racine.
D'une manière générale, le nombre des centres du faisceau des racines va en diminuant : de la base au sommet de la racine principale; de la racine principale aux racines secondaires, tertiaires, etc. En général aussi, le nombre des centres du faisceau de cha(|ue racine adventive. née en un point quelconque de la tige, est plus élevé que celui des centres du faisceau de chaque racine secondaire née sur la racine principale.
Dans les Cryptogames vasculaires et dans les Monocotylédonées, la structure que nous venons de décrire pour la région centrale de la racine demeure invariable, quel que soit l'âge, quelles que soient les dimensions de cette racine.
Dans les Dicotylédonées, au contraire, on voit s'interposer, entre les massifs ligneux et libérions, des arcs de cambnim, c'est-à-dire des arcs d'un tissu jeune dont les éléments se cloisonnent radialement. Chaque zone cambiale se développe à la face interne d'un massif libérien, entre ce massif libérien et les deux lames ligneuses qui l'enferment. Chacune de ces lames cambiales produit du bois secondaire vers les massifs ligneux qu'elle avoisine, et du liber secondaire vers le massif libérien dont elle recouvre la face interne. Le bois secondaire est formé de fibres ligneuses, de gros vaisseaux ponctués ou réticulés, de cellules ligneuses à parois épaissies et de parenchyme ligneux à parois minces. Le liber secondaire est composé de grandes cellules grillagées, de parenchyjue libérien et d'éléments auxquels leur nondifférenciation a fait donner le nom de fibres primitives.
Tout le tissu compris entre la surface de la racine et son faisceau est formé par de grandes ceU Iules à parois minces; celles de ces cellules qui sont les plus voisines de la gaine protectrice ne sont qu'une expansion do celle-ci ; les autres doivent leur origine à une zone génératrice superficielle. Celte zone fournit vers l'intérieur ces grands éléments à parois minces dont il est qiicstion ci-dessus, et vers la surface libre de la racine, i un tissu protecteur qui joue le rôle de lièqe. La : surface de la racine est donc toujours formée par un tissu de nature subéreuse dont la partie agee ^ s'exfolie rapidement.
C'est également un tissu de nature subéreuse qui donne la pilorhize; quand celle-ci s'exfolie, la zone génératrice de ce tissu est mise à nu et, par prolifération de ses élcuionts, elle les orne de
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prolongements superficiels comparables à dos poils. Ce sont ces organes qu'on appelle poils radicaux.
On appelle assise rhizoyrne la partie des tissus d'une racine où prennent ordinairement naissance les racines qui naissent de celle-ci.
Chez les Cryptogames vasculaires, l'assise rliizogène se confond avec la gaine protectrice. Chez Ses prèles ou equisetum, la gaine protectrice est divisée en deux couches dont l'extérieure remplit les fonctions de gaine protectrice et l'intérieure joue spécialement le rôle d'assise rhizogène. Chez toutes los cryptogames vasculaires, c'est toujours une seule cellule de l'assise rhizogène, placée en regard d'une lame ligneuse, qui forme une nouvelle racine.
Chez les Phanérogames , l'assise rhizogène est formée par le rang des cellules les plus extérieures du faisceau de la racine, par conséquent par celles qui touchent la gaine protectrice. Les nouvelles racines naissent dans cette assise rhizogène par la segmentation répétée d'un groupe de ses cellules placées en regard des lames ligneuses primitives de la racine.
Les difl'érentes racines successives sont mises en rapport par des diaphragmes aquifères, c'est-idire des massifs ligneux composés d'éléments courts, gros, spirales, qui sont appelés à régulariser le courant liquide qui marche de la surface absorbante des racines vers les tiges et les feuilles.
Physiologie de la racine. — Le premier rôle des racines est de fixer la plante au sol ; ce qu'elles font en traversant le sol en tous sens, s'y ramifiant beaucoup, et contractant avec lui des adhérences nombreuses par les poils radicaux dont elles sont couvertes.
Le second rôle des racines, c'est d'absorber les liqueurs salines que le sol contient. Grâce à sa perméabililé, la surface des racines absorbe par endosmose les solutions salines très aqueuses contenues dans le sol. Les parties jeunes des racines sont en effet gorgées de matières albuminoides très hydratées, liquides ; ces matières sont séparées des liqueurs salines très aqueuses que le sol contient par une mince membrane qui n'est autre chose que la paroi des poils radicaux ; les liqueurs aqueuses du sol traversent alors tout naturellement cette membrane et viennent augmenter l'hydratation de la matière albuminoide. C'est à ce phénomène que l'on donne le nom d'endosmose. Si l'eau qui a pénétré dans les matières albuminoides des cellules du tissu superficiel de la racine, restait dans ces matières, l'absorption s'arrêterait. Deux phénomènes interviennent pour enlever cette eau ; le premier est la capillarité, qui permet à l'eau de s'élever dans les éléments ligneux jusqu'à une assez grande hauteur; le second est la transpiration de la plante, qui a pour effet de venir en aide à la capillarité et de permettre à la plante de rejeter au dehors l'eau qui lui est inutile. C'est grâce à cette série de phénomènes qu'il y a un courant d'eau, pour ainsi dire ininterrompu, du sol dans les poils radicaux, de ceux-ci dans le bois de la racine, et de ce dernier dans le bois delà tige et les feuilles. La puissance même de l'absorption est cause de l'usure et de la mort rapide des poils radicaux qui doivent sans cesse être renouvelés.
L'élude de l'absorption des racines a fait con- - naître plusieurs propriétés de ces racines entrevues pour la première fois par de Saussure, et dont la démonstration rigoureuse a été donnée ■par M. J. Vesque. Voici les principales:
Les racines des plantes sont très sensibles aux variations de composition du milieu qui les environne. Lors(|u'on laisse agir pendant longtemps le même milieu, l'absorption de la racine va diminuant aussi bien pour l'eau que pour les sels.
Pour que cotte absorption soit le plus grande possible, il faut que le milieu environnant varie de composition. Ces variations sont réalisées dans la nature par les alternances de pluie et de sécheresse.
La racine possède la faculté de choisir entre les diflférentes matières salines celles qui lui conviennent le mieux.
Les racines jouent souvent le rôle d'organes de réserve, d'organes d'hibernation, et d'organes de dissémination; pour cela elles >e tubérisent^c'eslà-dire qu'elles gorgent leurs tissus de matières nutritives; c'est ce qui a lieu chez la ficaire, le dahlia, le topinambour, le caruin bulbo-castanum, les orchidées, etc.
Plus rarement, les racines jouent le rôle d'organes de défense, comme cela se voit chez le palmier nommé Thrinax stauracanthn, où toutes les racines adventives qui naissent à la surface de la tige, grâce à l'humidité retenue par le revêtement que forment les vieilles feuilles, se sèchent dès qu'elles arrivent dans l'air, et s'y transforment en dards extrêmement acérés.
Dans un certain nombre de végétaux, les racines coupées en fragments sont employées pour bouturer ou multiplier la plante.
Chez la plupart des végétaux, l'ablation du sommet de la racine en interrompt le développement en longueur, mais provoque à sa surface le développement de nombreuses racines secondaires. Dans le jardinage, cette opération très usitée s'appelle rafraîchissement des racines. Elle a pour but d'assurer à la plante un système radiculaire puissant, mais qui ne s'étend pas très profondément dans le sol. Cette opération est toujours employée lorsque des arbres provenant de semis doivent être déplacés après quelques années. Ce rafraîchissement des racines ou repiquage de la plante réussit d'autant mieux que les racines sont plus jeunes.
La racine n'existe que chez les plantes pourvues de faisceaux; ce qui s'accorde bien avec son rôle d'appareil chargé de mettre en communication avec le sol, le bois ou appareil aquifère de la plante.
La racine fait défaut chez quelques orchidées et quelques lycopodiacées où elle est remplacée par des tiges couvertes de poils radicaux. Chez les Salvinia, plantes flottantes qui croissent en abondance dans les fossés des environs de Bordeaux, le rôle de racines est confié à des feuilles submergées. Chez les Sélaginelles, ce sont des appendices secondaires de la surface du stipe appelés porle-racmes qui jouent le rôle de racines.
[C.-E. Bcrtrand.l RACINE (Jean). — Littérature française, XV. — Le plus parfait des poètes tragiques du grand siècle classique de notre littérature, qui, en mêirie temps qu'il traduisait sur le théâtre les passions les plus humaines. Corneille s'étant réservé le plus héroïques, donnait à leur langage des qualités si rares dans leur union : l'élégance et la force, la correction et l'aisance, la dignité et le naturel, la précision sans sécheresse, tous les mérites qui rendent la prose durable joints aux charmes d'une poésie, sinon la plus haute, — Sophocle, Shakespeare et Goethe l'ont portéo à des régions supérieures, — du moins la plus tendre, quand s'exhalent les plaintes résignées de ladouce Iphigénie ou les regrets d'Andromaque éplorée, la plus passionnée, avec HermioneetPhèdre, laplusnoble, avec Agrippine et Athalie.
Né il la rerté-Milon, le 21 décembre IG^iO, non loin de La Fontaine, et dans ce pays de l'Ile-de- France, qui est la province de Paris, Racine, fils de bourgeoisie noble, demeura, dès sa quatrième année, orphelin de père et de mère, et fnt élevé sous la tutelle d'un oncle maternel. On peut dire
RACINE (JEAN
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que sa première jeunesse se passa à l'ombre du sanctuaire, où devaient mourir les derniers accents de sa muse, purifiée des passions profanes. Destiné à l'état ecclésiastique, élevé par les « Messieurs de Port-Roynl », les plus savants éducateurs du xvii" siècle, réservé, par un oncle chanoine, pour un bénéfice, il manifesta de bonne heure son défaut do vocation, soit dans la pieuse retraite de Port-Royal, où il lisait en cachette les u Amours de Théagène et de Chariclée, « soit, pendant son séjour en Languedoc, cliez le chanoine son parent, d'où il envoyait h La Fontaine une description enthousiaste des « beautés de cette province. «
Quelques années après, le siècle et bientôt la gloire le possèdent tout entier; il devient l'auteur déjà applaudi des Frères ennemis (ICti-i) et d'Alexandre (lCG5),deux tragédies qui annoncent quelque chose du grand écrivain, mais ne font pas encore présager le grand poète. Aussi Corneille, i ce momeut, lui conseille de quitter le genre dramatique. Racine répond par le grand succès à'Andromaque (16G7), que suit la johe comédie des Plaideurs ^lOUS), imitée d'Aristophane, et plus tard (1669) par ISrilannicus, u la pièce des connaisseurs », au dire de Voltaire. Bérenicr (IG"U), une idylle tragique, écrite, à la demande de la duchesse d'Orléans, d'après deux mots de Suétone et toute une délicate intrigue de cour, mar<iue son triomphe sur Corneille, qui s'est exercé sur le même sujet et n'est pas « honoré de tant de larmes. » Après avoir donné, coup sur coup, Bajazel (1672), Mithridate (16i3), Iphigénie en Aulide (1674,, Phèdre (1()77), le poète renonce brusquement au théâtre. Douze ans plus tard, toutefois, i la demande de M°" de Maintenon, il écrit pour les jeunes pensionnaires de Saint-Cyr la tragédie biblique d'Esther (16S9), suivie bientôt après d'Athalie lliid\).
Il faut s'arrêter, dans cet article d'un Dictionnaire de pédagogie, aux origines d'Est/ier et d'^ltUalie, composées toutes les deux pour une maison d'éducation. Nous verrons plus loin quel parti peut aujourd'hui tirer de l'œuvre de Racine, non plus une élite de jeunes filles nobles, rassemblées dans une école quasi-royale, mais la masse des enfants de toute la nation que l'État veut instruire dans la connaissance de la langue française et même de ses chefs-d'oeuvre. Voyons d'abord quel intérêt « pédagogique « ces deux tragédies ont eu autrefois, puisqu'elles ont été écrites pour des élèves, et par quel maître!
Ces chefs-d'œuvre, l'un de délicatesse, l'autre de force poétique, ont été composés pour l'instruction autant que pour l'amusement. Les jésuites, sous la direction desquels était en réalité placée la maison de Saint-Cyr, par l'intermédiaire de M""^ de Maintenon et du père de La Chaise, ont toujours été partisans des représentations théâtrales, dans leurs collèges. « Madame de Brinon, première supérieure de Saint-Cyr, aimait les vers et la comédie ; et, au défaut des pièces de Corneille et de Racine, qu'elle n'osait faire jouer, elle en composait de détestables... M'"" de Slaintenon lui conseilla de faire représenter par ses élèves plutôt quelque belle pièce de Corneille et de Racine, choisissant seulement celles où il y aurait le moins d'amour. Ces petites filles représentèrent Cinna, assez passablement pour des enfants qui n'avaient été formées au théâtre que par une vieille religieuse. Elles jouèrent aussi yl«</i-o»ia'/He,- et, soit que les actrices en fussent mieux choisies, ou qu'elles commençassent à prendre des air^ de la cour, dont elles ne laissaient pas de voir de temps eu temps ce qu'il y avait de meilleur, oeito pièce ne fut que trop bien représentée au gré de M""^ do Jlainteiion, et elle lui fit appréhender que cet amusement ne leur insinuât des sentiments opposés h. ceux qu'elle voulait leur inspirer. Cependant,
comme elle était persuadée que ces sortes d'amusements sont bons à la jeunesse, qu'ils donnentde la grâce, apprennent à mieux prononcer, et cultivent la mémoire, elle écrivit i M. Racine, après la représentation d'A/idromague : « Nos petites filu les viennent de jouervotre Andromaque, et l'ont » si bien jouée, qu'elles ne la joueront de leur vie, )) ni aucune de vos autres pièces. « Elle le pria, dans cette même lettre, de lui faire, dans ses moments de loisir, quoique espèce de poème moral ou historique, dont l'amour fût entièrement banni, ajoutant qu'il lui importait peu que cet ouvrage fût contre les règles, pourvu qu'il contribuât aux vues qu'elle avait de divertir les demoiselles de Saint-Cyr en les instruisant. » {Souvenirs de M"' de Caylus.j C'est pour obéir à ce désir que Racine écrivit Esther, en la faisant précéder d'une préface, qui a bien un air de pédagogie modeste et simple et le ton d'un homme que les sujets d'éducation intéressent, non seulement quandil s'agit de son fils comme nous le verrons plus loin. « Pour polir l'esprit de ces demoiselles et leur former le jugement, dit-il, on a imaginé plusieurs moyens qui, sans les détourner de leur travail et de leurs exercices ordinaires, les instruisent en les divertissant; on leur met pour ainsi dire à profit leurs heures de récréation ; on leur fait faire entre elles, sur leurs principaux devoirs, des conversations ingénieuses qu'on leur a composées exprès, ou qu'elles-mêmes composent sur-lechamp ; on les fait parler sur des histoires qu'on leur a lues, ou sur les importantes vérités qu'on leur a enseignées ; on leur fait réciter par cœur et déclamer les plus beaux endroits des meilleurs poètes ; et cela leur sert surtout à les défaire de quantité de mauvaises prononciations qu'elles pourraient avoir apportées de leurs provinces ; on a soin aussi de faire apprendre à chanter à celle» qui ont de la voix et on ne leur laisse pas perdre un talent qui peut les amuser innocemment. » N'y a t-il pas làcommeune partie d'un programme d'bcole normale? Et c'est pour cet amusement innocent, cet enseignement du chant et cet exercice de bonne prononciation qu Esther fut écrite, 0 les plus excellents vers de notre langue, dit encore Racine sans songer qu'il fait penser à lui, ayant été composés sur des matières fort profanes, et nos plus beaux airs étant sur des paroles extrêmement molles et efl'éminées, capables de faire des impressions dangereuses sur de jeunes esprits. '1 II parait qu'Estlier eut quelque peu à Saint-Cyr la destinée d'A7idro)naque, sa sœur en poésie; on la joua si bien que M"' de Maintenon n'osa pas faire représenter ouvertement Alhalie par ses jeunes élèves, pour lesquelles Racine l'avait aussi écrite.
Si nous ne proposons plus aujourd'hui de faire représenter les tragédies de Racine, pour aider dans nos écoles à la prononciation et au chant, nous ne craindrons pas de recommander à nos instituteurs, aux mtiitres et maîtresses de nos écoles normales d'y chercher les meilleurs piodèlesde l.i langue. Le vers de Racine, d'une facilité si soignée et d'une aisance savante, recèle tout ceque la pensée peut demander à la parole pour se produire sous toutes ses formes. La science des Il figures D et les secrets de la syntaxe, on les trouvera dans cette phrase racinienne, imagée et logique, et d'une correction qui ne nuit jamaisau libre génie de la langue. Ce sera là la grande supériorité de Racine, dans l'école, quand une fois le maître se sera rendu compte, par une analyse exacte et minutieuse qu'il est aisé de faire, le crayon à la main, du mécanisme ingénieux et brillant de ce style, patiemment élabore par le plus grand artiste en l'art de dire avec élégaiice et justesse. Il n'y a pas de règle de la grammaire ou de la construction des mots qui ne puissent
RACINE (JEAN
RACINE (JEAN
s'appuyer de la pratique de Racine. On trouverait, dans une seule de sfts tragédies, des modèles frappants de toutes les qualités de langage qui doivent être recommandées aux meilleurs des élèves de nos classes primaires. Sans parler de la clarté, cette première vertu du style, la netteté du terme, sa propriété, sa convenance, son élégance, surtout sa correction peuvent se relever au hasard des pagcs^ et des chefs-d'œuvre. Corneille, dont l'inspiration est parfois plus haute, n'est pas un si bon maître dans l'art do bien dire. L'obscurité où tombe si souvent son sublime, la tautologie, l'affectation, la lourdeur provinciale, inconnue à La Fontaine et à Racine, l'incorrection d'une plume impatiente, font de ses œuvres un recueil de beaucoup moins riche en enseignements de grammaire exacts et précis.
Le souci de l'exactitude et de la correction du style est aussi marqué dans plus d'un passage de la correspondance de Racine avec son fils aine. On y voit le grand poète diriger la plume du jeune Jean- Baptiste et la reprendre quand elle commet des néologismes ou dessolécismes : « Mon cher fils, vous me faites plaisir de me mander des nouvelles: mais prenez garde de ne les pas prendre dans la Gazette de Hollande; car, outre que nous les avons comme vous, vous y pourriez apprendre certains termes qui ne valent rien, comme celui de recruter dont vous vous servez : au lieu de quoi il faut dire faire des recrues. » Il y a longtemps que recruter njest plus un néologisme 1 Et ailleurs il le reprend d'une faute qui est encore fréquente aujourd'hui : «1 Vous voulez bien que je vous fasse une petite critique sur un mot de votre dernière lettre. // en a agi avec toute In politesse du monde; il faut dire : // en a usé. On Jie dit point : // en a bien agi, et c'est une mauvaise façon de parler ». En un autre endroit il le met en garde contre la répétition des mêmes termes, qui reviennent si souvent sous la plume des enfants et échappent même à des personnes plus exercées. Mais c'est devant Boileau-Despréaux que ces lettres du jeune Racine sont lues, devant Boileau, qui guette au passage les mots et les syllabes. « M. Despréaux est fort content de tout ce que vous écrivez du roi d'Angleterre. 'Vous voulez bien que je vous dise en
suite à son esprit et le conquiert. Mais les enfants de nos écoles comprendront-ils quelque chose aux tendresses élégantes des Monime et des Atalida, aux airs de dameret passionné que prennent Achille lui-même et le tragique Britannicus? Suivront-ils bien, même lorsqu'on les aura expliquées, sous cette trame discrète et délicate de la langue de Racine et dans le caractère de ses personnages, les allusions à l'iiistoire de la cour, qui est alors l'histoire de France, et à celui qui la remplit tout entière, le « grand roi? a Pourront-ils comprendre que ce qui a fait le succès de Racine, en son temps, la peinture fidèle, et séduisante alors pour tous, des mœurs de ses contemporains, dont nous ne sommes plus autant touchés aujourd'hui, est digne d'une sorte d'admiration rétrospective et excite d'autant plus d'émotion, qu'on a à la fois plus de sensibilité, d'érudition et de goût? Non, il faut le dire, ce théâtre de princes et de princesses, où la nature ne se découvre pas à tous les yeux, sous l'étiquette et la pompe, n'est pas fait pour toucher l'enfance. Il faut que le maître choisisse là où la passion, qui ne peut pas troubler le cœur de son élève, lui parlera toutefois clairement et noblement; et il verra que ce qui, dans les chefs-d'œu vre de Racine, convient le mieux à l'enfance, ce sont précisément les endroits qui portent le plus l'empreinte de sa force ou de la maturité de son génie, les scènes les plushéroïques d'Aiidromaque et à'Iptiigénie, celles où il est question da patiio et de gloire, la douleur de Burrhus, la colère d'Agrippine, les imprécations d'Atlialie.
Le caractère de Racine ne parait pas avoir été h la hauteur de son génie. Ce n'est que dans le monde du théâtre et, plus tard, dans le cercle étroit et même claustral de sa famille qu'il nous met à même de juger son cœur. Et ce cœur qui eut des oublis fâcheux, qui manqua de reconnaissance pour Molière et de déférence pour Corneille, se révèle dans les derniers temps avec d'étranges duretés ou des susceptibilités non viriles.
En IG99, Racine, qui était devenu successivement historiographe du roi, gentilhomme ordinaire de la chambre, et trésorier de la généralité de Moulins, ce qui lui donnait le titre de chevalier
vnfio» »''"?.' ■''"■"'î,.-'® '"' "l qy.sliu'u'ie de et « la satisfaction honorable d'êtr
vos lettres, j'ai soin d'en retrancher les mots d'ic, de là, de ci, que vous répétez jusqu'à sept à huit fois dans une page. Ce sont de petites négligences qu'il faut éviter et qui sont même aisées à éviter.» Et ce n'est pas seulement dans ces lettres d'un père à son fils que se rencontrent de ces remarques scrupuleuses sur la langue, que la sollicitude paternelle pouvait dicter autant que le sentiment de la correction et de l'élégance. On trouvera dans les nombreuses notes critiques dont Racine a fait suivre la courte Epitre dédicatoire du dictionnaire de l'Académie française par Ch. Perrault, les leçons les plus précises et les plus nettement raisonnées de propriété, de justesse, de convenance, de clarté et d'élégance dans l'expression.
Mais, si plus que dans Corneille, qui fait désirer la perfection dans les œuvres même où son génie éclate, plus que dans .Molière lui aussi, qui a de ces « brusques fiertés » d'expression dont le goût plus prudent de Fénelon et de La Bruyère s est quelque peu eff'arouché, il est aisé de trouver dans Racine dos leçons de langue et de style à la portée des enfants de nos classes primaires ; peutil servir autant que ses deux grands contemporains à l'éducation des esprits et des caractères '' ba pensée peut-elle frapper autant leur intelligence? La férocité héroïque d'Horace, la clémence majestueuse d'Auguste ont certainement une grandeur à laquelle est promptement sensible l'âme de 1 enlant. Il est étonné et il admire. La franchise tiu gonie de Molière se découvre aussi tout de
-- e enterre avec
des éperons dorés », mourait d'une maladie de foie, aggravée, dit-on, par le chagrin d'avoir déplu à Louis XIV. [Charles Loiret.]
Nous donnons ci-dessous quelques jugements littéraires sur Racine. On trouvera à l'article Théâtre classique une appréciation détaillée de ses principaux chefs-d'œuvre.
Pakallêle entre Corneille et Racine. — Corneille ne peut être égalé dans les endroits où il excelle ; il a pour lors un caractère original et inimitable ; mais il est inégal. Ses premières comédies sont sèches, languissantes, et ne laissaient pas espérer qu'il dût ensuite aller si loin ; comme ses dernières font qu'on s'étonne qu'il ait pu tomber de si haut. Dans quelques-unes de ses meilleures pièces, il y a des fautes inexcusables contre les mœurs ; un style de déclamateur qui arrête l'action et la fait languir; des négligences dans les vers et dans l'expression, qu'on ne peut' comprendre en un si grand homme. Ce qu'il y a eu en lui de plus éminent, c'est l'esprit qu'il avait sublime, auquel il a été redevable du certains vers, les plus heureux qu'on ait jamais lus ailleurs, de la conduite de son théâtre qu'il a quelquefois hasardée contre les règles des anciens, et enfin de ses dénouements ; car il no s'est pas toujours assujetti au goût des Grecs et à leur grande simplicité : il a aimé, au contraire, à charger la scène d'événements dont il est presque toujours sorti avec succès ; admirable surtout par l'extrême variété et le peu de rapport qui se
RACINE (JEAN
— 1782 — RACINE (JEAN
trouve pour le dessein entre un si grand nombre de poèmes qu'il a composés. Il semble qu'il y ait plus de ressemblance dans ceux de Racine, et qu'ils tendent un peu plus à une même chose ; mais il est égal, soutenu, toujours le même partout, soit pour le dsssein et la conduite de ses pièces, qui sont justes, régulières, prises dans le bon sens et dans la nature ; soit pour la versification qui est correcte, riche dans ses rimes, élégante, nombreuse, barmahieuse : exact imitateur des anciens, dont il a suivi scrupuleusement la netteté et la simplicité de l'action, à qui le grand et le merveilleux n'ont pas même manqué, ainsi qu'à Corneille, ni le touchant, ni le pathétique. Quelle plus grande tendresse que celle cjui est répandue dans tout h; Cid, dans Polyeucte et dans les Horaces ? Quelle grandeur ne se remarque point en Mithridate, en Porus et en Burrhus? Ces passions encore favorites des anciens, que les tragiques aimaient à exciter sur les tlié&lres, et qu'on nomme la terreur et la pitié, ont été connues de ces deux poêles : Oreste, dans VAndrom-ique rie Racine, et Phèdre du même auteur, comme l'Œdipe et les Horaces de Corneille, en sont la preuve. Si, cependant, il est permis de faire entre eux quelque comparaison, et de les marquer l'un et l'autre par ce qu'ils ont de plus
caché à lui-même, sort tout à coup un de ces mots simples où se révèle la mère, l'épouse, l'amante, un de ces accents que l'on prendrait pour le son même de l'âme. Racine est le Raphaël du drame. Expression, dessin, couleur à la fois brillante et sobre, il réunit toutes les qualités distinctives de ce grand maître, en qui le sentiment du beau antique se mêlait au génie chrétien, affaibli cependant et moins naif que dans le moyen âge. (Lamennais.)
— Ce qu'il ne faut jamais perdre de vue quand en juge Racine aujourd'hui, c'est la perfection, l'unité et l'harmonie de l'ensemble, ce qui en fait la principale beauté. A prendre les choses isolément et par parties, on se tromperait bientôt ; le caractère essentiel échapperait, et l'on prononcerait à côté. Au contraire, à bien sentir cette perfection de l'ensemble, cela devient une lumière générale qui réfléchit sur chaque détail et qui l'éclairé.
Racine est un grand dramatique, et il l'a été naturellement par vocation. Il a pris la tragédie dans les conditions où elle était alors, et il s'y est développé avec aisance et grandeur, en l'appropriant singulièrement à son propre génie. Mais il y a un tel équilibre dans les facultés de Racine, et il a de si complètes facultés rangées sans tumulte sous sa volonté lumineuse, qu'on se figure
propre, et par ce qui éclate le plus ordinairement aisément qu une autre quelconque de ses facultés d.nns leurs ouvrages, peut-être qu'on pourrait par- î eût donné avec avantage également et gloire, et
pourrait parler ainsi: Corneille nous assujeitit à ses caractères et à ses idées ; Racine se cunforme aux nôtres ; celui-là peint les hommes comme ils devraient être, celui-ci les peint tels qu'ils sont. Il y a plus dans le premier de ce que l'on admire, et de ce que l'on doit même imiter; il y a plus dans le second de ce que l'on reconnaît dans les autres, de ce qu'on éprouve soi-même. L'un élève, étonne, maîtrise, instruit; l'autre plaît, remue, touche, pénètre. Ce qu'il y a de plus beau, de plus noble et de plus impérieux dans la raison, est manié par le premier; et par l'autre, ce qu'il y a de plus flatteur et de plus délicat dans la passion. Ce sont dans celui-là des maximes, des règles, des préceptes, et dans celui-ci du goût et des sentiments. L'on est plus occupé aux pièces de Corneille ; l'on est plus ébranlé et plus attendri à celles de Racine. Corneille est plus moral ; Racine, plus naturel. Il semLile que l'un imite Sophocle, et que l'autre doit plus à Euripide. (La
BllDYÈRE.^
— Il peignit la nature humaine, immuable en soi, variable, selon les époques et les lieux, dans ses manifestations. 11 dut se conformer, sous ce dernier rapport, aux habitudes, aux exigences du monde au milieu duquel il vivait. De là vient que
sans que l'équilibre eût été rompu.
Racine est tendre, dit-on, c'est un élégiaque dramatique. Prenez garde ! Celui qui a fait la scène du troisième acte de Mithriilate et Bitannkus, le peintre de Burrhus, est-il gêné à manier la tragédie d'Etat et à tirer le drame sévère du coeur de l'histoire ?
Ainsi de tout pour Racine : il serait téméraire de lui nier ce qu'il n'a pas fait, tant il a été accompli sans effort dans tout ce qu'il a fait I Pour moi, je me le figure à merveille dans d'autres genres que la tragédie ; par exemple, donnant un poème épique, dans le goût de celui du Tasse ; desépigiammes comme celles de Lebrun ; des comédies comme les Planteurs en pouvaient promettre. Des odes, il en a fait ; des Petites Let'res comme Pascal, il en a trop bien commencé. Orateur académique, il l'a été, et avec éclat. Et toujours et partout on aurait le même Racine, avec ses traits nobles, élégants et choisis, recouvrant sa force et sa passion; toujours quelque chose de naturel et de soigné à la fois, et d'accompli, toujours l'auteur sans tourment,au niveau et au centre de son genre et de son sujet...
Boileau, certes, assista et servit Racine dans toute son œuvre d'une façon qui no se saurait
ae» personnages en parlent tous plus ou moins le t apprécier. Racine, on le voit par ses premières langage. Dans son plus extrême abandon, dans sa i lettres, avec tant de qualités qui, ce semble, auplul grande violence, la passion chez eux con- j raient pu se suffire à elles-mêmes, était ne docile, serve toujours une certaine retenue, une certaine I Xi réclamait un juge de ses vers. Dès quil leut bienséance que les mœurs alors commandaient, I reconnu dans Boileau, il s y confia et ne s en déet l'on y discerne surtout une influence de 1 esprit i partit plus. Boileau dut hâter dans «acine cette chrétien, très sensible aussi dans Corneille ; j saison d'entière maturité, qui est celle de toutes carie poète lui-même est toujours individuelle- i ses œuvres depuis AndromaquejWaM lui apment un reflet de son siècle. Celui que Racine i prendre à sacrifier sans pitie le détail trop joU et illustra imposait à l'art des conditions particuliè- j trop fin à l'efl'et plus sur de 1 ensemble... res dont il lui éiait impossible de safi'ranchir. La i Boileau avait conscience du genre de service tragédie, sous Louis XIV, ne pouvait pas plus i qu'il avait rendu à Racine, lorsqu il lui échappa être la tragédie antique, ou le drame de Shake- 1 de dire un mot qui a ete cite souvent, qu on a speare, que l'épopée n'aurait pu être l'épopée ! voulu quelquefois contester, mai.s qu il a dit Dien d'Homère ou de Milton... Le travail, l'efl'ort ne se i certainement et répété en plus dune rencontre, sent nulle part dans ce vers si savant où l'art, Interrogé dans sa vieillesse par Falconnet, par porté à son dernier terme, redevient la nature, i Boindin, par La Motte, sur ceux qu il considérait la nature idéale que l'esprit contemple avec ra- ' vraiment comme les génies do son siècle : « Je vissement. Et quel regard jeté dans les abimes 1 n'en connais que trois, disait-il sans marcnanaer. du cœur! Comme il en pénètre les mystères, en I Corneille, Molière ... et moi. » — « Lt Racine. » démêle les contradictions, les ruses secrètes, les i demandait l'interlocuteur un peu étonné. — « Kamouvements variés, les soudains élans et les ' cine, répliquait Boileau, n'était qu un ^rest/c! esbrusques retours ! Puis, de ce cœur si mobile, si | prit à qui j'ai appris à faire difficilement des vers
RACINE CARRÉE
RACINE CARRÉE
faciles. >> Oui, Haciiie est un très bel rspril, qui connaissait la marclu^ du cœur liumain, et qui savait en mettre en jeu tous les ressorts. Voilà pourquoi il n'est pas inégal; il était toujours lui, il avait «le la force quand il le fallait. Il savait toujours où il en était. Corneille et Molière ont eu cliacun leur démon ; La Fontaine, oublié par Boileau, on avait un ; Boileau lui-même avait le sien, ot qui avait ses quintes. Racine, lui, n'avait pas un démon détermine. C'est ainsi que j'entends et que je traduis le mot un peu singulier, et pourtant bien authentique, de Boileau. (Sainte-Beuve.)
— Le théâtre de Racine n'offre aucune de ces hardiesses familières à Corneille. Racine est contemporain et ami de Boileau ; il a le goùi de la règle et de l'autorité. Sa dernière passion fut pour Louis .\IV, et il en mourut. De plus, ce n'est pas un de ces génies énergiques et féconds qui ne vivent que pour leur art, s'y absorbent, bravent les injustices et les dégoûts, et luttent jusqu'i ce qu'ils tombent épuisés, comme le vieux Corneille, comme Molière. A trente-huit ans, dans l'épanouissement de son génie, il quitte brusquement le théâtre. L'insuccès de P/iciIre l'a blessé au cœur. Passionné et faible, il songe d'abord à expier cette gloire profane qu'on lui dispute : il veut se faire chartreux. Son confesseur, plus sage, lui conseille un remède moins violent, le mariage. Il se marie, et oublie si complètement ce qu'il a été que sa femme ignore même les titres des tragédies de son mari.
Le théâtre de Racine est le triomphe d'un art consommé : il charme encore aujourd'hui les connaisseurs, le seul public auquel il désirait plaire. Le peuple ne goûte guère ces beautés délicates, tandis que Corneille le transporte toujours. Les tragédies de Racine furent le modèle, le type sur lequel se réglèrent tous les poètes qui vinrent après lui. Pas une infraction aux lois admises ; pas un détail familier; pas de spectacle excessif ou choquant. Mesure, bienséance, analyse pénétrante, style d'une élégance et d'une noblesse soutenues, œuvre essentiellement aristocratique, faite pour charmer, non pour enlever, ni mettre hors de soi, ce qui serait malséant. Mais la scrupuleuse obéissance aux règles impose au poète plus d'un sacrifice, ou des expédients bien froids. Que dire de ces tristes confidents, sans caractère, sans personnalité, créés uniquement pour fournir à leur maître l'occasion d'une tirade? et ces scènes de remplissage pour parfaire les cinq actes réglementaires'? et cette galanterie fade mêlée h tout? N'insistons pas sur ces critiques qu'on ne peut taire cependant. Ce qui importe, c'est de constater qu'à partir de l'année 1670, la tragédie française fut définitivement arrêtée dans sa forme, son esprit, son langage. Il ne fut plus permis d'ignorer comment on faisait et devait faire une tragédie ; la recette avait été donnée ; les procédés étaient parfaitement connus ; le style même était convenu; c'était un genre fixé. Pendant plus de quarante ans les héritiers et les continuateurs de Racine firent représenter toujours la môme tragédie avec des difTérences peu appréciables; la poésie dramatique était peut-être fixée, j'aimerais mieux dh-e qu'elle était figée. (Paul Alcebt.)
Il.iClAE CARUÉE. — Arithmétique, XLVIl et
1. — La racine carrée d'un nombre est un deuxième nombre dont le carré est égal au premier (V. Carré) ; on l'indique par le signe V i sous lequel on place le nombre donné; ce signe porte le nom de radicul. Ex. : La racine carrée de i'J est " ; car le carré de 1 est 'iS. On peut écrire ce résultat de deux manières différentes :
V49 = 7, ou 72=49; ces deux égalités sont équivalentes.
2. — s; un nombre entier n'est pas le carré d'un autre nnmhre entier, il n'eUpas non plus le carri d'une fraction, et par conséquent, il n'a pas de ra'ine carrée.
Le nombre 4(1, par exemple, est compris entre 0^ ou 36 et 'i- ou 49; donc il n'y a pas de nombre entier dont le carré soit égal k 40 ; je dis qu'il n'y a pas non plus de nombre fractionnaire dont le carré soit égal h W. En effet, un nombre fractionnaire peut toujours être mis sous la forma d'une fraction à deux termes, et cette fraction ellemême peut toujours être réduite à sa plus simple
expression (V. Fraction'!, 3 et 8). Soit TCettefrac-
a^ tion irréductible ; son carré sera — ; mais les deux
nombres a et b étant premiers entre eux, leurs carres o^ et 4'^ le sont aussi (V. Diviseurs, 23) ,
donc la fraction est irréductible, et par conséquent, ne peut pas être égale à un nombre entier. Ainsi, le nombre 40 n'est le carré d'aucun nombre, ni entier, ni fractionnaire ; en d'autres termes, il n'a pas de racine carrée.
Lorsqu'un nombre n'a pas de racine carrée, c'est-Ji-dire quand il n'est pas un carré parfait, on appelle racine carrée de ce nombre à une unité près, la racine carrée du plus grand carré entier qui y est contenu, ou ce qui revient au même, le plus grand nombre entier dont le carré est contenu dans le nombre donné. Ainsi, la racine carrée do 40 à une unité près est 6, parce que le plus grand carré entier contenu dans 40 est 36, dont la racine carrée est 6 ; ou encore, parce que 6 est le plus grand nombre entier dont le carré soit contenu dans 40 ; le nombre donné 40 est, en effet, compris entre le carré de 6 et le carré de 7, ce qu'on peut exprimer par la double inégalité :
Nous allons indiquer successivement comment on extrait h une unité près la racine carrée d'un nombre entier et celle d'un nombre fractionnaire; puis nous définirons la racine carrée approchée, non plus à une unité près, mais avec une approximation quelconque, et nous apprendrons à la calculer.
3. — Racine carrée d'un nombre entier à une unité p' es. — Nous distinguerons deux cas, suivant que le nombre donné est inférieur ou supérieur à 100.
1" Cai. Le nombre donné est plus petit que 100. — La racine carrée d'un nombre plus petit que 100 est plus petite que 10; car l(j0 est le carré de 10. Il suffit alors de se reporter à la table des carrés des neuf premiers nombres, que nous reproduisons ici :
Nombres 12 3 456789 Carrés.. 1 4 9 16 25 36 49 64 81
Si le nombre donné est égal à l'un de ces carrés, on a immédiatement sa racine carrée exacte; ainsi, VCi = 8 ; SjVo = 5 ; etc. Si le nombre donné n'est pas un carré parfait, on cherche dans la table précédente le plus grand carré contenu dans ce nombre; la racine carrée de ce carré est, par la définition même, la racine carrée à une unité près du nombre donné. Ux. : Soit 58 le nombre donné ; le plus grand carré entier contenu dans 58 est 49 dont la racine est 7 ; ce nombre 7 est donc la racine carrée de 5'i à une unité près.
4. R'ste. — Lorsqu'on extrait à une unilé près la racine carrée d'un nombre qui n'est pas un carré parfait, on appelle reste de l'opération l'excès du nombre donné sur le plus grand carré entier qui y est contenu. Ainsi, dans l'exemple précédent, le reste est 58 — 49 = 9.
RACINE CARREE
RACINE CARREE
Le" reste ne peut pas siirpnsser le dotihle du nomhre tionvé à la racine. — Supposons, pour fixer les idées, que le nombre donné soit compris entre le carré de 15 et le carré de IH ; sa racine carrée à une unité près sera 15, et le reste, qui est l'excès du nombre donné sur 15', sera évidemment plus petit que 16* — 15-. Or cette différence est égale h 15 X 2 + 1 (V. Carré, I.Rem.); donc le reste est au plus égal à 15 X 2i c'està dire au double du nombre trouvé à la racine ; c. q. f. d.
5. — 2' Cas. Le nombre donné est plus grand que 100, — La racine carrée cherchée est alors plus grande que 10, c'est-à-dire qu'elle a plusieurs chiffres. La théorie de l'opération npose tout entière sur les deux principes suivants :
l. Le carre d'un nombre composé de dizaines et d'unités se compose du carré des dizaines, de deux fois le produit des dizaines par les unités, et du carré des tmiiés (V. Carré, 1).
IL La racine carrée du plus çrnnd carré entier contemi dani le nombre des rentmnes d'un nombre donné plus grand que 100, est éqale nu nombre des dizaines de la racine carrée de ce nombre. — Prenons, par exemple, le nombre 15S64, qui contient 158 centaines ; la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 158 est 12: car 158 est compris entre W ou 144 et l.l' ou 169 ; je dis que la racine carrée de I586i à une unité près contient 12 dizaines et n'en contient pas davantage. Rn effet, le carré de 12 est, par hypothèse, au plus égal à ISS ; donc le carré de 12 dilaines ou 120 est au plus égal Ji 15800; et, par conséquent, il est, h plus forte raison, contenu dans 15X64. D'autre part, le carré de 13 surpasse 158 au moins d'une unité, c'est-à-dire qu'il est au moins égal à 150; donc le carré de 13 dizaines ou 130 est au moins égal à 15900, et par suite, est plus grand que le nombre donné 15804. Ce nombre est donc compris entre le carré de 12 dizaines et celui de 13 dizaines; en d'autres termes, sa racine carrée à une unité près est comprise entre 12 dizaines et i3 dizaines ; c. q. f. d.
6. — Proposons-nous maintenant d'extraire à une unité près la racine carrée du nombre 419857.
Ce nombre étant plus grand que 100, sa racine carrée est plus grande que 10, et on obtiendra les dizaines de cette racine en extrayant la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 4198 (2' principe).
Le nombre 4108 étant lui-même plus grand que 100, sa racine carrée sera plus grande que 11), et on obtiendra les dizaines de cette racine en extrayant la racine du plus grand carré entier contenu dans 41.
Le nombre 41 est plus petit que IdO; le plus grand carré entier qui y est contenu est -jO, dont la racine est 6 ; donc en vertu du 2' principe, la racine carrée de 4198 contient 6 dizaines; nous allons chercher les unités de cette racine.
Or le nombre 4 i 98 se compose de quatre parties :
l» Le carré des B dizaines do sa racine ; • 2° Deux lois le produit des dizaines par les unités ;
3" Le carré des unités ;
4° Le reste, s'il y en a un.
Si donc do 4198 on retranche le carré de 6 dizaines ou :;6 centaines, le nombre 598 ainsi obtenu contiendra les trois autres parties que nous venons d'énumérer. Mais le double produit des dizaines par les unités, étant un nombre exact de dizaines, ne peut être contenu que dans les 59 dizaines du nombre 598. Donc, en divisant 59 dizaines par le double des dizaines de la racine, c'est-à-dire par 12 dizaines, on aura le chiffre des unités ou un chiffre trop fort; ce chiffre peut être trop fort parce que les 59 dizaines du nombre 598 contiennent, outre le double produit des dizaines de la
racine par les unités, les dizaines provenant du carré des unités et du reste. En divisant ,59 par 1;.', on trouve pour quotient entier 4 ; pour que ce quotient soit égal au chiffre des unités de la racine, il faut évidemment que le nombre 598 contienne le double produit des dizaines de la racine par 4, plus le carré de 4; et cette condition suffit. Pour l'aire cet essai, on écrit le chiffre 4 à la droite du double des dizaines, ce qui donne 124, et on multiplie le nombre par 4 ; il est clair que le produit se compose du double produit des dizaines par 4 et du carré de 4 ; si donc le produit 124X4 est contenu dans 598, 4 est bien le chiffre des unités de la racine; si, au conlraire, le produit 124x4 surpasse 598, le chiffre 4 est trop fort, et alors il faut le diminuer d'une unité et essayer de la même manière le nouveau chiffre. Ici le produit 124 X 4 ou 4!'6, est inférieur à 598 ; donc le chiffre des unités de la racine cherchée est 4. Par suite, la racine carrée à une unité près du nombre 4198 est G4.
Remarquons, de plus, que si l'on soustrait le produit 124 X 4 de 598, ce qui donne 102, on aura le reste de l'opération. Car on a d'abord retranché du nombre donné, 4198, le carré des 6 dizaines de sa racine, ce qui a donné le nombre 598; puis de ce dernier nombre, on a retranché le double produit des dizaines de la racine par les unités et le carré des unités; on a donc, en définitive, retranché de 4198 le carré de 01, qui est sa racine à une unité près ; le résultat, 102, est donc bien le reste de l'opération.
En résumé, la racine carrée de 4198 à une unité près est 64 ; et le reste est 102. Donc, en vertu du 2" principe démontré plus haut, la racine carrée de 419857 contient 64 dizaines. Pour calculer les unités de cette racine, je remarque que le nombre 419857 se compose de quatre parties :
10 Le carré des 64 dizaines do la racine;
1° Le double produit desdizaiaes par lesunités ;
3"" Le carré des unités;
4» Le reste, s'il y en a un.
Le carré des 64 dizaines est un nombre exact de centaines ; en le retranchant des 4198 centaines du nombre donné, on a pour reste 1112 centaines, ainsi que nous venons de le voir; d'où il résulte que, si l'on retranche ce même carré du nombre total 419857, on aura pour reste 1U25Î. Ce reste se compose du double produit des 04 dizaines par les unités, du carré des unités et du reste, s'il y eu a un. Le double produit des dizaines par les unités étant un nombre exact de dizaines, est contenu dans les 1025 dizaines du nombre 102.S7 ; donc, si l'on divise 1025 dizaines par le double des dizaines de la racine, c'est à- dire par 128 dizaines, le quotient obtenu sera le chiffre même des unités de la racine ou un chiffre plus fort. En divisant 1025 par 128, on trouve pour quotient 8; il reste à savoir si ce chifl're n'est pas trop fort. Pour l'essayer, on opère comme précédemment : on écrit ce chiffre S à la droite du double des dizaines, ce qui donne 1288, et on multiplie le nombre ainsi obtenu par le chiffre présumé dos unités ; si le produit 1288 X 8 est contenu dans le nombre 10257, 8 est bien le chifl're des unités de la racine; mais si le produit 1288 x 8 surpasse 10257, le chiffre 8 est trop fort et il faut essayer le chiffre immédiatement inférieur, 7. C'est ce derniercas qui se présente ici : 1288 x 8= 10304, nombre supérieur à 10257 ; le chiffre 8 est trop fort. J'essaie de même le chiffre 7 : 1287x7 = 9009, nombre plus petit que 10257 ; le chiffre des unités de la racine est donc 7.
En résumé, la racine carrée de 419857 à une unité près est 647; et le reste de l'opération est 10257 —9009 = 1248.
L'opération se dispose liabituellement comme il suit :
UACINE CARIlEIi
RACINE CARREE
RÈGLE. — Pour extraire à une unité près la ratine carrée d'im nombre entier jdus grand que 100, on partage ce nombre en tra7iche< rfe ileux ctiiffrcs il partir de la droite. In dernière tranche à gauche pouvant n'avoir qu'un chiffre.
On extrait la racine du plus grand can é entier cont' nu dans la première tranche à gauche, ce qui donne le chiffre des plus hautes unités de la racine; et on sousliuiit le carré de ce chiffre de la première tranche à gauche.
A la droite de ce reste, on abaisse la tranche suivante, et on divise les dizaines du nombre ainsi formé par le double du premier chiffre de la racine; un éa-it te quotient à la droite du diviseur et on multiplie ce nombre par le quotient. Si le produit peut se soustraire du nombre total qu'on a obtenu en abaissant la seconde iratiche à la droite du premier reste, le quotient trouvé est le second chiffre de la racine, et le reste de cette soustraction est le reste qui servira pour continuer l'opération. Si la soustraction indiquée n'est pas possible, on diminue le quotient trouvé, successivement d'une, deux, trois .... unités, jusqu'à ce que la vérification réussisse.
A la droite du second reste, on abaisse la tranche suivante du nombre donné et on divise les dizaines du nombre aiwi formé par le double de la partie déjà trouvée à la racine: le quotient est le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort ; on l'essaie comme le précédent.
On continue île rnéme jusqu'à cequ'onait abaissé l'une après l'autre toutes les tranches du nombre donné.
7. — Racine carrée d'un nombre fractionnaire à une unité près. — La racine carrée d'un nombre fractionnaire à une unité près est la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans le nombre donné ; la définition est la même que pour les nombres entiers.
Proposons-nous d'extraire à une unité près la
racine carrée du nombre fractionnaire 52 + ;• J^
dis qu'elle est la même que la racine carrée à une unité près de la partie entière du nombre, c'est-àdire de 52. En effet, la racine carrée de 52 à une unité près est 7, ce qui veut dire que 52 est compris entre 7^ et 8^ ; le carré do 7, étant contenu dans 52, est, à plus forte raison, contenu
dans 52 -f - ; d'autre part, le carré de 8 surpasse
52 d'au moins une unité ; donc il surpasse 52 -J- -.
Le nombre fractionnaire 52 -)- - est donc compris entre 7 2 et 8' ; en d'autres termes, la racine carrée de 52 -f- - à une unité près est 7 ; c. q. f. d.
RÈGLE. — Pour extraire à une unité près la racine carrée d'un nomtire fractionnaire, on extrait à une unité près la racine carrée de sa partie entière.
8. — Racine carrée d'un nombre quelconque avec une approximation donnée. — On appelle
racine carrée d'un nombre à J^, yj^' fïJôj |.
\' 's plus grand nombre de dixièmes, de centièmes, de millièmes, de tiers, de quarts....
dont le carré est contenu dans le nombre donné ; plus généralement, la racine carrée d'un nombre N
à - près est le plus grand multiple de - dont
le carré est contenu dans N. La fraction - s'appelle la fractinn d'approximation.
Règle. ^ Pour avoir la racine carrée d'un nombre avec une approximation déterminée, on multiplie ce nombre par le carré du dénominateur de la fraction d'approximation; puis on extrait à une unité près la rwine carrée de ce produit, et on divise cette racine par le dénominateur de la fraction d'approximation.
Proposons-nous, par exemple, d'extraire à -
près la racine carrée du nombre -p. Je multiplie ce nombre par le carré de 7, ou 49, ce qui donne :
lia
la racine carrée de ce nombre à une unité près est la même que celle du nombre entier 153, c'est-à-dire 12; je dis que la racine carrée de 355 , 1 , , 12 — à - près est -—.
se, comprise entre 12^ et 13^, ce qu'on peut exprimer ainsi :
,o.<?gx49<13^;
divisons les trois membres de cette inégalité par 7* ou 49, nous aurons :
Mais '-^ c'est le carré de -^ (V. Carré, 3), et
— r est le carré de-^f-; donc la double inégalité 72 7
qui précède exprime que le nombre donné — j
est compris entre le carré de -z- et celui de — ; et
par conséquent , — est la racine carrée de —r
une règle pratique très simple pour le cas" où on cherche la racine carrée d'un nombre quelconque, entier, décimal ou fractionnaire, avec une approximation décimale donnée.
Soit proposé, par exemple, de trouver la racine
carrée de — à 0,01 près. D'après la règle générale, il faut multiplier— par 100^ ou 10000,
ce qui donne — ^— — , extraire les entiers contenus dans cette fraction, ce qui donne 8421, extraire ensuite à une unité près la racine carrée de 8421, qui est 91, et enfin, diviser cette racine par 100; le résultat llnal est donc 0,91. Mais il revient évidemment au mémo de réduire la fraction donnée — en décimales en calculant deux fois
autant de chiffres décimaux qu'on en demande à la racine, et d'extraire ensuite la racine carrée du nombre obtenu 0,8421 comme s'il était entier, en prenant seulement la précaution de mettre une virgule à la racine lorsqu'on abaisse la première
à - près ; c. q. f. d.
De la règle générale qui précède on déduit
RACINE CARREE
RACINE CUBIQUE
tranche décimale du nombre ; on arrivera au inspection du reste permet de trancher la ques
Blême résultat. Voici l'opération :
tion : Si le reste ne surpasse pas (a racine trouvée, la racine par défaut est préférable ; c'est le contraire, si le reste est stipériew à la racine. Pour justifier cette règle, formons le carré de
7 4--, comme on a fait, à l'article Carré, le carré de 30 + 7 ou celui de 37 + 1.
On est ainsi conduit h la règle suivante : Règle. — Pour o^itenir avec uns approximation décimale donnée la racine carrée d'un nombre quelconque, on exprime ce nombre en décimales en calculant deux fois autant de chiffres décimaux qu'on en demande à la racine ; puis on extrait la racine carrée du nombre décimal ainsi obtenu comme s'il était entier, en aidant soin de mettre une virgule à la racine lorsqu'on abaisse ta première tranche décimale du nombre,. Exemples : — I. E.xtraire à 0,0001 près la racine carrée de 3. — Il faut extraire la racine de 3,00!'0u0ii0 comme si l'on avait affaire au nombre entier 3 00000000, en mettant une virgule à la racine aussitôt qu'on arrive à la première tranche décimale du nombre: ou trouve ainsi l,7:i20.
II. Extraire à 0,001 près la racine carrée du nombre décimal 3,1415920535. — Comme on ne demande que trois chiffres décimaux à la racine, il n'en faut conserver que 6 dans le nombre, ce qui donne 3,141592; la racine carrée de ce nombre, calculée par la règle ci-dessus, est l,"72.
m. Calculer à 0,01 près la racine carrée de l'expression 3 — \2- — Il faut d'abord calculer cette expression elle-même avec quatre chiffres décimaux, et pour cela extraire la racine carrée de 2 à 0,0001 près. On trouve pour cette racine 1,4142 ; par suite, la valeur de l'expression
3 — ^2 est, avec quatre décimales exactes, 1,5858; et la racine carrée demandée est enfin 1,25 à 0,0T près.
y. — Remaroce. — Dans tout ce qui précède, nous avons calculé des racines carrées approchées par défaut, c'est-à-dire, des nombres tels, que leurs carrés soient inférieurs ou au plus égaux aux nombres donnés. On peut aussi se proposer de chercher des racines approchées par excès; en voici la définiiion générale :
La raciiie carrée d'un nombre N, approchée
par excès à - prés, est égale à la racine approchée par défaut, augmentée d- - .
Ainsi, la racine carrée par défaut h une unité près du nombre 41985" est 04"; la racine carrée par excès il une unité près est 648. De même, nous
{•1 avons trouvé que -^ était la racine par défaut à
r- près de la fraction '—-; la racine par excès îi
à 0,0001 près par défaut ; la racine carrée de 3, à 0,0001 près par excès, sera 1,7321.
Il est préférable, dans certains cas, de prendre l'approximation par excès. Considérons, par exemple, le nombre 58 dont la racine carrée k une unité près par défaut est ", avec 9 pour reste; le nombre 68 peut être compris entre le carré de 7
et celui de 7 + 7, ou, au contraire, entre le carré
de 7 + - et le carré de 8. Dans le premier cas, il
vaudra mieux prendre 7 pour la racine approchée à une unité près ; dans le second cas, on aura une valeur plus approchée en prenant 8. Or la seule
Ainsi le carré de 7 +- est égal à T+ 7+7
- esiBgai a 1--1- 1 1d'autre part, le reste de l'opération est égal il 58 — 72. Si ce reste est inférieur à 7 + 7,
c'est-
à-dire s'il ne dépasse pas 7, le nombre donné
58 est inférieur à (" + 5 V , et 7 est la racine
carrée à une demi-unité près. Mais si le reste est supérieur à 7, le nombre 58 est compris entre
( 7 -|- i y et 82 ; 8 est alors la racine carrée de 58
à une demi-unité près par excès. C'est ce dernier cas qui se présente ici, puisque le reste 9 surpasse 7. [H. Bos.l
RACI>E CCBIQUE. — Arithmétique, XLIX et L.
1. La racine cubique d'un nombre est un deuxième nombre dont le cube est égal au premier (V. Cube). La racine cubique d'un nombre s'indique en plaçant le nombre sous le signe V , qui ne diffère du signe de la racine carrée que par l'inscription du chifi're ou indice 3 dans l'angle de gauche du radical.
Ex. : La racine cubique de 8 est 2 ; car le cube de 2 est 8 : ce résultat s'écrit indifféremment des deux manières suivantes :
^'8 = 2, ou 23 = 8;
ces égalités sont équivalentes.
2. — Si un nombre entier n'est pas le cube d'un autre nombre entie-, il n'est i,as non plus le cube d'une fraction, et par conséquent, il n a pas de racine cubique.
Le nombre 50, par exemple, est compris entre 33 ou 27 et 43 ou 64 ; donc il n'y a pas de nombre entier dont le cube soit égal à 50; je dis qu'il ny a pas non plus do nombre fractionnaire dont le cube soit égal à 50. En effet, un nombre fractionnaire peut toujours être mis sous la forme d une fraction à deux termes irréductible - (V. Frac-
a' lions, 3 et 8). Le cube de cette fraction est -p
(V. Cube, 3) ; mais les deux nombres a et b étant premiers entre eux, leurs cubes le sont aussi (V. Diviseurs, n); donc la fraction ^^est irréductible, et par conséquent ne peut pas être égale à un nombre entier, tel que 5h. Le nombre 50 n a donc pas de racine cubiiiue.
Lorsqu'un nombre n'a pas do racine cubique,
RACINE CUBIQUE
RACINE CUBIQUE
c'est-à-dire quand il n'est pas un cube parfait, on appelle racine cubique de ce nombre à une unité près, la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans ce nombre ou, ce qui revient au même, le plus grand nombre entier dont le cube est contenu dans le nombre donné. Ainsi, la racine cubique de 50 à une unité près est 3, parce que le plus grand cube entier contenu dans 50 est 27, dont la racine cubique est 3; le nombre .SO est compris entre le cube de 3 et le cube de 4, ce qu'on exprime par la double inégalité :
Nous allons indiquer suctessivement comment on extrait à une unité près la racine cubique d'un nombre entier et celle d'un nombre fractionnaire; puis nous délinirons la racine cubique approchée, non plus à une unité près, mais avec une approximation quelconque, et nous'apprendrons à la calculer.
3. — Racine cubique d'un nombre eniier à une imite près. — Nous distinguerons deux cas, suivant que le nombre donné est inférieur ou supérieur à 1000.
le' Cas. Le nombre donné est plus petit que 1000. — La racine cubique d'un nombre plus petit que 1000 est plus petite que 10; car lOUO est le cube de 10. Il suffit alors, pour trouver le plus grand cube entier contenu dans un nombre inférieur à 1000, et par suite, la racine cubique de ce nombre à une unité près, de former la table des cubes des 9 premiers nombres. Voici cette table :
Nombres 12345 6 1 8 9 Cubes.. ! 8 2" Ci 125 21G 313 512 729
Si le nombre donné est égal à l'un de ces cubes, on a immédiatement sa racine cubique exacte ; ainsi, ^125 = 5, \'.=>I2 = 8, etc. Si le nombre donné n'est pas un cube parfait, on cherche dans la table précédente le plus grand cube qui y est coiuenu ; la racine cubique de ce cube est, par définition, la racine cubique à une unité près du nombre donné. Soit, par exemple, 41'.' le nombre donné; le plus grand cube entier contenu dans 412 est 343, dont la racine cubique est 7 ; ce nombre 7 est donc la racine cubique de 412 à une unité près.
i. Reste. — Lorsqu'on extrait à une unité près la racine cubique d'un nombre, on appelle reste de l'opération l'excès du nombre donné sur le cube de sa racine cubique approchée. Ainsi, dans l'exemple précédent, le reste est 412 — 34 i ^ 6i).
Le reste ne peut pas suj'passer la somme faite en ajoutant le triple du cnrrc de lu racine au triple de cetl" racine. Soit a la racine cubique il une unité près d'un nombre entier N ; N sera compris entre o' et {a + Ij^; donc le reste, qui est égal à N — fl^, sera plus petit que la différence la -\- l)-' — a', laquelle est égale à 3a^ + 3'/ + 1 (V. Cube, 2) ; et, par conséquent, ce reste sera au plus égal à 3a» -f 3o; c. q. f. d.
5. — 2" Cas. Le nombre donné est plus grand que 1000. — La racine cubique cherchée est alors plus grande que In, c'est à-dire qu'elle a plusieurs chiffres. La théorie de l'opération repose tout entière sur les deux principes suivants:
L /e cube d'un nombre composé de dizaines et d'unités se compose du cube des iliziines, de trois fois le produit au carré des dizaines par les unités, de trois fois le produit des dizaines par le carré des unités, et du cube des unités (V. Cube, 1).
IL La racine cubique du plus grand cube eniier contenu dans le nombre des mille d'un nomlrre donné plus grand que 1000, est égale au nombre
des dizaines de la racine cubique de ce nombre. Considérons, par exemple, le nombre 41812, qui contient 41 mille; la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 41 est 3 ; je dis que la racine cubique à une unité près du nombre 41 812 contient 3 dizaines et n'en contient pas davantage. En effet, le cube de 3 est, par hypothèse, au plus égal à 41 ; donc le cube de 30 ou 3 dizaines est au plus égal à 41 000; par conséquent, il est, à plus forte raison, contenu dans 41812. D'autre part, le cube de 4 surpasse 41 d'au moins une unité, c'està-dire qu'il est au moins égal à 42; donc le cube do 4 dizaines ou 40 est au moins égal à 42 000, et, par suite, estsupérieur à 41812. Ce nombre 41812 est donc compris entre le cube de 3 dizaines et celui de 4 dizaines ; en d'autres termes, sa racine cubique est comprise entre 3 dizaines et4 dizaines ; c. q. f. d.
6. Proposons-nous maintenant d'extraire à une unité près la racine cubique du nombre 115748954.
Ce nombre étant plus grand que IflOO, sa racine cubique est plus grande que 10; et on obtiendra les dizaines de cette racine en extrayant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans II5 74S (2" principe).
Le nombre 115748 étant lui-même plus grand que 1000, sa racine cubique contiendra des dizaines, que l'on obtiendra en extrayant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 115.
Le nombre 115 est plu^ petit que lOOO; sa racine cubique à une unité près est 4 (l"' cas) ; donc la racine cubique de 115 748 contient 4 dizaines et pas davanlage (2' principe). Nous allons chercher les unités de cette racine.
Je remarque pour cela qu'en vertu du premier principe énoncé ci-dessus, le nombre 115748 se compose de cinq parties :
r Le cube des 4 dizaines de sa racine ;
2° Trois fois le produit du carré des dizaines de la racine par les unités;
3° Trois fois le produit des dizaines par le carré des unités ;
4° Le cube des unités;
5° Le reste, s'il y en a un.
La première de ces parties est connue ; c'est le cube de 4 dizaines ou 64 mille ; si on la soustrait du nombre Il.')7i8, le reste 51 74s contiendra les quatre autres parties. Or, le triple produit du carré des dizaines par les unités esi un nombre exact de centaines ; d'où il résulte qu'il est contenu dans les 517 centaines du nombre 51718. Si donc on divise 517 par le triple du carré de 4, c'est-à-dire par 4.S, le quotient obtenu .sera le chiffre des unités de la racine ou un chiffre trop fort : il peut, en effet, être trop fort, parce que les 517 centaines du nombre 51 748 contiennent, non seulement le triple produit du carré des dizaines par les unités, mais encore les centaines provenant des trois autres parties dont si' compose ce nombre. Le quotient de la division de 517 par 4S est 10 ; il est donc certainement supérieur au chiffre des unités de la racine, lequel est au plus égal à 9 ; mais 9 pourrait lui-même être encore trop fort. Pour savoir si ce chiffre convient, il faut examiner si le cube de 49 est contenu dans 115748, ou mieux, si le nombre 51 743 contient :
1° Le triple produit du carré de 4 dizaines par 9;
2° Le triple produit de 4 dizaines par le carré de 9 ;
3» Enfin, le cube de 9.
On forme simplement le total de ces trois nombres de la manière suivante : on addilionno d'abord le triple du carré des dizaines, le triple produit des dizaines par les unités, et le carré des unités, et on multiplie ensuite cette somme par les unités ; voici l'opération :
RACINE CUBIQUE
RACINE CUBIQUE
Le nombre S3C49 est plus grand que 51748; donc le chiffre 9 est trop fort; j'essaie alors le chiffre immédiatement inférieur 8 :
Le nombre 46 592 étant inférieur h 51 748, le chiffre 8 est bon; la racine cubique de I15 74S à une unité près est 48, et le reste de l'opération «st 51748 —40592 = 5156.
On conclut de là que la racine cubique de 115 748 954 contient 48 dizaines, et qu'en retranchant du nombre le cube de ces 48 dizaines, on obtient pour reste 5150 954. Un raisonnement identique h celui que nous venons de faire montre qu'en divisant les 51 569 centaines de ce nombre par le triple du carré de 48 dizaines, c'est-àdire par 6912 centaines, on obtient le chiffre des unités de la racine ou un chiffre trop fort. On trouve 7 pour quotient, et on essaie ce chiffre comme précédemment :
Le nombre 4909303 étant inférieur à 5156954, le chiffre 7 est bon ; la racine cubique à uce unité près du nombre 1 15 74 8 954 est 4S7, et le reste de l'opération est 5l5(i954 — 490 9303 = 247 651.
Voici la disposition adoptée pour les calculs :
