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Ce travail évalué en chevaux-vapeur sera donc :

et l'on dira que la machine est de la force de dix chevaux-vapeur.

Il est bon de dire que cette expression, chevalvapeur, n'a aucun rapport direct avec le travail

réellement développé par les chevaux attelés à un manège, letiuel ne s'élève guère qu'à 40 ou 50 kilogrammètres.

Uéfinitio\ nu thavaiî. o'cne force constante. — Le travail d'une force F (notation abrégée ^F) est le produit du nombre qui mesure l'intensité de cette force par le chemin qu'elle fait parcourir, dans sn direction propre, à son point d'application.

I" Si ce point se déplace dans la direction même de la force et décrit un chemin e, on a : jF = l'5™XFXe.

2° Si le point d'application de la force se déplace sur une circonférence Ji laquelle la force est toujours tangente, on obtient le travail pour chaque tour en multipliant la longueur de la circonférence par l'intensité de la force. — Ce cas se présente dans les manèges : un cheval est attelé à une pièce de bois encastrée dans un arbre vertical, il suit une piste circulaire et fait prendre à l'arbre un mouvement de rotation. Pour évaluer le travail de ce moteur, di^composons la circonférence 2TrR eu arcs AB, BC, CD, très petits et

sensiblement rectilignes; si nous désignons par F l'effort moyen du cheval, nous aurons pour les travaux partiels qui correspondent à ces divers éléments :

FXAB,FxBC,FxCD

et leur somme sera :

F (AB -f BG + CD -f )=27iUF.

Application. — Un cheval attelé h un manège travaille 8 heures par jour en exerçant un efl'ort moyen de 45 k""; il fait 7 tours en S minutes sur une piste de 4 ^ de rayon. Calculer le travail eli'ectué par jour.

Ici,

F=45, 2jtRF = 0,28X4X45, et comme le nombre de tours effectué dans un jour est :

le travail cherché est :

l»e» XG,23 X ISO X 1120= 1266048'^"

Cas on le point d'applicatios ne se meut pas DANS LA dibection MÊME DE LA FORCE. — Lorsqu'un point matériel est sollicité par plusieurs forces, la direction de son déplacement diffère do la direction de chacune d'elles. Soit F l'une quelconque

de ces forces; le déplacement A A' de son point d'application peut être décomposé en deux autres, l'un Aa suivant AB, l'autre «A' suivant la direction perpendiculaire. La force F ne tend pas à produire le déplacement a\' qui est dû aux autres forces dont nous n'avons pas à nous occuper, son travail est simplement :

Aa X F = AA' X cos BAB' x F ;

de là cette définition :

Le travail d'une force dont le peint d'application ne se déplace pas dans la même direction que

la force est égal « soji intensité multipliée pur la projection du chemin parcouru sur la direction de cette [orce.

Dans la figure précédente, la projection Aa du déplacement tombe sur AB, et l'on considère le travail de la force comme positif; dans la sui-

Fi;:.

vante, Aa tombe sur le prolongement de AB, et le travail de la force est considéré comme négatif.

Si l'on désigne par F' la projection de la force F sur AA', l'on a ;

AB' = AB cosBAB', ou :

et par conséquent :

EF = r'xAA';

on peut donc dire aussi que le travail d'une force dont le point d'application ne se déplace pas dans sa direction propre est égal au produit du chemin parcouru par la projection de ta force sur la direction de ce chemin.

Remarque. — La formule :

(1) ;.F = FxcXcosa,

dans laquelle e représente l'espace AA' parcouru par le point d'application de la force F, représente toujours pour sa grandeur et pour son signe la valeur du travail de la force F : si l'angle a est aigu, cosa est positif, Aa tombe sur la direction même de la force F, le travail de F est positif comme le produit e F cosa. — Si au contraire l'ajigle a est olitus, cosa est négatif; mais ka tombe alors sur le prolongement de F et le travail de cette force est négatif, il a donc encore le même signe que cosa. — Si l'angle a est égal à 90", cosa est égal à zéro; le produit e F cosa est donc nul et représente encore le travail de F. I — Enfin si l'angle a est égal à 1S0°, son cosinus est égal à 1 ; l'on a dans ce cas : 'fcF = — exF;

On voit donc que la formule (1) est générale.

Application autbavaii, de la pesanteur pendant LA CHUTis d'un CORPS. — Soit ABCD la courbe parcourue par le poids P; projetons tous les points de

arc très petit ab de sa trajectoire, le travail élémentaire correspondant est P X "'A', et en ajoutant tous ces travaux élémentaires on voit que de A en B le travail de la pesanteur est :

PxAB';

de B en C ce travail négatif est représenté par :

— PxB'C;

enfin de C en D il est positif et égal à :

PxC'D';

le travail total est par conséquent :

P (AB' — B'C -f-C'D') = P X AD'.

Le travail delà pesanteur pendantla chute d'un corps ne dépend donc que de la distance verticale des deux points extrêmes A et D de la trajectoire. — Si le point matériel pesant revient en un point ayant même cote que le point de départ, le travail de la pesanteur est nul.

Travail d'une force variable. — Si la force varie d'intensité, on appelle travail élémentaire de cette force le produit de son intensité supposée constante pendant un temps très court, par le petit chemin que décrit, pendant cet intervalle, son point d'application.

Désignons par F, F', F" les intensités de la force

variable aux époques très rapprochées t, t',t" ;

par e, e', e" les chemins parcourus par le point d'application pendant les intervalles de temps très petits t' — /, t" -t', i'" — t"...; les travaux élémentaires de ces forces, que nous supposerons constantes pendant ces intervalles, seront :

Fxe, F'xe', F" xe",.

et le travail total sera la limite vers laquelle tendra la somme des travaux élémentaires.

Fe + F'e'-fFV'-t- ,

quand t' — t, I" — t', t'" — /",.... tendront vers zéro.

Nous allons montrer l'existence de cette limite et la méthode graphique que l'on peut suivre pour la calculer.

Proposition. — Si l'on prend pour abscisses d^une rourbe les chemins parcourus par le poiyit d'app/icntion d'une force variable, et pour ordonnées les intensités de cette force, le travail de cette force pendant un certain temps peut être représenté par l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses, et les deux ordoiinées gui correspondent au conunencement et à la fin de l'intervalle.

Déynonstration. — Soit (fig. 4) :

AB = ^, BG=<?', CD = e"...