A.V = F BB'=F', CC'=F
l'on aura :
Fe = ABA'A", F'e' = BCB'B", F"e' = CDG'C"...
et l'aire de la somme des rectangles sera représen-
cette courbe sur la verticale AD' menée par le tée par le même nombre que la somme des trapoint de départ A ; lorsque le mobile décrit un j vaux élémentaires obtenus en supposant que
l'inteiisito do Ui force, reste constante pendant une seconde. Si l'on suppose que cotte intensité ne reste constante que pendant un quart de seconde, l(! travail total correspondant sera représenté par le même nombre que la somme des aires : AA'mw" + mp rn'p" + • • •
Or il est clair que la somme de ces aires a pour limite l'aire curviligne AA'B'C'D'E'EA ; le travail total de la force F a donc pour expression celle môme aire. On peut donc l'évaluer approximativement par la formule de Simpson, ou mieux encore à l'aide do la formule de Poncelet.
On peut encore l'obtenir en découpant le contour AA'E'EA dessiné sur une feuille de papier bien homogène et en pesant i moins de un milligramme près la surface ainsi obtenue. Soit P ce poids et ;) le poids d'un décimètre carré du même papier ; l'aire de cette surface curviligne exprimée en décimètres carrés sera — .
Appliciition. — Un cylindre vertical a O^jTO de diamètre et renferme un piston mobile sous lequel se trouve de l'air îi 5 atmosphères qui occupe une hauteur AB égale à 0'",4U; le piston monte et le gaz se détend. Quel est le travail transmis au piston par l'air comprimé lorsque cet air occupera dans le cylindre une hauteur AC égale b. 1 mètre?
La surface du piston évaluée en mètres carrés est:
S=-7cxO,3à^
et la pression exercée sur ce piston par de l'air à .'> atmosphères serait :
P = lOOOO'^X 1,033 X 5 X S
puisque la pression d'une atmosphère sur un centimètre carré est l'i'.OSS.
Mais la pression diminue en môme temps que le volume augmente; si nous divisons la hauteur BC en six parties égales h 0">,1, et si nous
substituons à la détente progressive une détente brusque chaque fois que le piston aura parcouru O'",!, les pressions seront:
XP
Comme nous supposons que, pendant chaque frac" tion de la course, la pression reste toujours égale à la pression initiale, nous obtiendrons pour limite supérieure du travail cherché :
PXO
(1) Px 0,4X0,906.
Si nous avions supposé que pendant chaque fraction de la course la pression reste toujours égale à la pression finale, nous aurions obtenu pour limiie inférieure du travail total :
PxO,40x(ixl + ...+l + i;),
ou :
(UJ p X0,40 X 0,846.
En prenant la moyenne des résultats (1) et (2), nous aurons avec une grande approximation :
T = PxO,40XO,921, ou :
T = l'^OaS XtX352 X 5 X 0,40x0,921, c'esl-à-diro :
Effort moyen. — Souvent une force, quoique variable, reste cependant comprise dans des limites assez peu éloignées, et il est commode de remplacer cette force variable par une force fictive constante dirigée suivant la tangente à la trajectoire du mobile. — Cette force fictive est Vfffurt iiioi/en. On obtient son intensité en divisant le travail total de la force variable par le chemin total qu'a décrit soii point d'application. Soit F la force variable, e le chemin parcouru par le mobile sur la trajectoire, et F' l'elTort moyen, on a : r'e= iF d'où:
F'=îl.
Ayant ainsi défini le travail d'une force, nous arrivons à plusieurs propositions importantes fort utiles dans les applications.
Proposition l. — Si p!iis'i-iirxforrff [•',!<", F" ,so7if appliquées à un mèinr l'i'i ni "^nn'nr/ A , la somme algébrique de leurt, tr .m ■.!■ ri,: m /ir^m r ., pour un dé/ilaceuient très petit ,ie leur pond d'applieation, est érjale au travail élémentaire de leur résultante R.
Démonstration. — Menons par le point d'appli-
Fig. c.
cation A une ligne AB égale et parallèle à F, par B
40 une ligne égale et parallèle k !•', etc.; nous for-
Tj^X P nierons ainsi un contour polygonal ABCDE, et
nous savons que la droite AE qui ferme ce con-
etles travaux élémentaires correspondants seront : tour représente la résultante.
Soit AA' le chemin élémentaire décrit par le
PX0,1, — PxO,l
xPxO.I.
point d'application A de toutes ces forces, et AX la direction de ce déplacement; soit a, a', a"...
les angles formés avec AX par F,F',F"... et a l'angle de la résultante avec la même direction : projetons le contour ABCDE sur AX, nous aurons, quels que soient les angles :
AE cosa = Fcos a + F'cosa' 4-F"cosa",
ou :
Rcosa^F cosa + F' cos a' + . . . ;
multiplions par AA' les deux membres de cette égalité, nous aurons :
R.AA' cosa^F. AA'. cosa-4- F'AA'. cosa' +■ • •
Or les divers termes de cette égalité représentent le travail élémentaire des forces R,F,F',F".... ; nous aurons donc, en désignant ce travail élémentaire par la notation abrégée je :
Proposition 11. — Lorsque le chemin élémentaire décrit par le point d'application d'une force résulte d' plusieurs mouuemenis simultanés, le travail élémentaire de celte force ilans le mouvement résultant est égal à ta somme algébrique des travaux élémentaires de cette même force dans chacun d'S mouvemenls composants.
Lémonsi ration. — Soit A A' le déplacement du point d'application do la force F; supposons qu'il
Fig. 7.
résulte des trois déplacements AB, BC, ('.A' qui font avec F les angles a, a', a"; soit a l'angle de A A' avec cette même direction; le théorème des projections nous donnera :
A A' cos a = AB cosa -|-BG cos a' +CA' cosa",
et en multipliant par F les deux membres de cette
égalité, nous aurons :
F.A\'cosa = F.ABcosa-l-F.BCcosa'-l-F.C/Vcosa".
Or le premier membre est le travail élémentaire de la force F dans le mouvement résultant, et les termes du second membre représentent. le travail élémentaire de cette même force dans les mouvements composants; le théorème est donc démontré.
Proposition 111. — Deux forces égales rt directement opposfen, appliquées à un p'dnt matériel, ont des travaux élémentaires égaux et de signes conlmirts.
Démonslration. — Soit F l'intensité de l'une des forces, a l'angle qu'elle fait avec la direction du petit chemin e, décrit par son point d'application; l'autre force fera avec la même direction un angle égal à ISU° — a. Le travail élémentaire de la première force sera :
Fxexcosi, et celui de la seconde :
Fxex cos(180 — a)= — Fxexcos a;
comme l'on a pour la somme des travaux des deux forces :
F. e. cosa — F. e.cosa^O,
la proposition est démontrée.
Proposition IV. — Si deux forces égales et directement opposées sont appliquées aux extrémités d'une di oite rigide et inextensible, la somme al-
géhrique de leurs tnivatix élémentaires pour un très petit déplacement de cette droite est égale à zéro .
Démonstration. — Soit F et F' deux forces égales et opposées appliquées aux extrémités de la droite AB qui a la même direction que les
forces ; si AB se déplace en A'B', on peut produire ce déplacement par doux mouvements simultanés : en transportant d'abord AB parallèlement h elle-même en A'ù, puis en faisan t tourner A'ô autour du point A' et faisant décrire ainsi au point b l'arc de cercle AB'. Le travail élémentaire de la force F' quand son point d'applicatioii viendra de B en B' sera égal (prop. II) à la somme des travaux élémentaires dûs aux déplacements B6 et 6B', c'est-àdire à :
F' X 4BC0S (180° - iBA) -f- F' x iB' x cosB'ôA' ;
mais B'6.V est un angle droit, son cosinus est nul et le travail élémentaire de F" se réduit à :
F'XiBXcos(180°-iBA) = — F'xABxcoséBA;
d'ailleurs le travail élémentaire de F est :
FxAA'cosA'AF;
la somme des deux travaux élémentaires des forces F et F' est donc :
F X AA' X cos A'.iF — F' X AB x cos ABA,
et cette somme est nulle puisque l'on a :
F=r', AA'=6B, A'AF = ABA.
RéLiproqiietnent : si deux f't-ces F et F", appliquées en deux points A et B d'un corps solide libre (lig. 9), ont des travaux égaux et île signes contraires pour to'd déplacement très petit ducurps, ces forces sont égales et directement oppos-^es.
En effet, faisons tourner le corps autour du point A, le travail de F, qui est appliquée on ce poiiii, sera nul; or la somme des travaux de F et de F" est nulle par hypothèse, l'on aura donc aussi :
Se F" = 0.
Mais les déplacements du point B ne peuvent avoir lieu que sur une sphère dont A est le centre j donc F" est dirigée normalement à cette surface et passe par le point A. On démontrorait de la
nifiiiiR nianièro que F passe parle point B; par consiSqueiu F et F" sont directcmeiu opposées. De plus, ces forces sont égales ; déplaçons en effet le eoi'ps suivant la droito AB : A viendra en A', B on B', et les déplacements AA' et BB' seront égaux. Comme la somme des travaux est égale à zéro, nous aurons :
AA'xF =
- Bit' X F", on F:
Conséquence. — Pour que deux forces appliquées ;\ un corps solide se fassent équilibre, il faut et il snlïit que la somme de leurs travaux élémentaires soit égale à zéro.
Phoposition V. — Lorsqu'on transporte une force a/i/i/iqtcé'- à un corps solide e7t un point de su i/iridion inonriablemeni lié au premier, son travail elrmeidnire ne change pas.
Dénionslrali'n. - Soit F une force appliquée au point A d'un corps solide; transpoi'tons-la au point B silué sur sa direction et lié invariablement au point A, et démontrons que l'on a :
En elTct, soit F" une force égale et contraire i F', nous aurons, d'après la proposition III :
JeF' = -s,F"; mais, d'après la proposition IV,
ZeF = — leF" ; nous aurons donc :
ôer=i:.eF'.
Remarque. — Les propositions précédentes permettent d'énoncer très simplement les conditions d'équilibre d'un système de forces appliquées à un corps solide.
1 1 - Principe des vitesses virtuelles ou des travaiix virtuels. — On appelle déplacement virtuel d'un point lout déplacement très petit de ce point compatible avec les liaisons du système dont le point matériel fait partie. Ce déplacement peut différer du déplacement réel que va prendre le point matériel sous l'action des forces. Le principe des vitesses virtuelles a été entrevu par Galilée, mais c'est Lagrange qui l'a établi d'une maiiièri' générale.
TutoiiioMii. — Pour que plusieurs forces se fassent équilibre sur un corps solide libre, il faut et il suffit que la somme ulqébriqne des travanx élémentaires de ces forces soit ég'ile à zéro pour un déplacement quelconque du corps.
Démonstration. — Pour réduire les forces F, F', F". .. ap|)liquces ;i un corps solide à trois, puis à deux résultantes Hj et lîj (V. article Mécanique), les seules opérations que l'on effectue sont des compositions ou des décompositions de forces et des transports de ces forces en des points situes sur leur direction et liés invariablement avec les points d'application primitifs. Or il résulte des propositions i et V (pie ces opérations n'allèrent pas la sotnmo des travaux élémentaires de F, de F', de F"... ; on aura donc: J.F + je F' + 5. F"+...= i:, R, + c.«Rs;
mais, pour l'équilibre (proposition IV), il faut et il suffit que la somme des travaux de li, et de lij soit égale à zéro ; donc pour l'équilibre il faut et il suflit que l'on ait :
S. F + î, F'4-5cF"+...=0.
lieniarque. — Si le corps n'est pas libre, s'il est assujetti à tourner, par exemple, autour d'un point fixe, ou d'un axe fixe, le même énoncé convient encore. En effet, nous avons vu qu'un pareil corps peut être assimilé à un corps libre, pourvu que l'on ajoute aux forces appliquées les réactions du point lixo ou de l'axe fixe. Mais la somme des
travaux do ces réactions est nulle, puisque leurs points d'application ne se déplacent pas; il faut donc encore ici, pour l'équilibre, que la somme des travaux élémentaires des forces appliquées au corps soit égale à zéro.
Pour déduire de ce principe les six équations d'équilibre des forces appliquées en différents points d'un corps solide, nous établirons d'abord les deux proposiiions préliminaires suivantes, relatives aux travaux des forces : 1° dans le cas où le corps est animé d'un mouvement de translation ; 2° dans le cas où le corps est animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe.
Prufosiïion I. — Le travail élémentaire d'un si/stème de forces applii/uées à un corps animé d'un mnuvenient de tj-anslatiun est égal à l'élément de chemin décrit par un point q-elconque du système muliiplié par la snmme des projections, sur la direction du déplacement, de toutes les forces extérieures .
Démonstration. — Soit F, F', F"... les force» appliquées aux points A, B, C..., et désignons par AA', BB', ce... les déplacements égaux et parallèles que subissent ces points d'application; nous aurons, en désignant par a. a', a"... les angles de F, F', F" avec la direction des déplacements :
Je F = AA'xFxcosa, Je F'=BB'xF'Xcosa'...
et la somme do ces travaux peui s'écrire :
AA'(Fcosa + F' ces a' -f- F" cosa"'-|-. . .),
ce qui n'est autre chose que la traduction algébrique de l'énoncé ci-dessus.
l'noposiTioN H. — Si un corpi est animé d'un mouvement ilc rotation autour d'un axe, la suiiiaïc dc^ Iniruur cl )nciilaires de toutes les força api./ii/u,'' s es/ c>pdf ii l'arc très petit que dect'il un paint xiluc a ]'" de distaure de l'axe multiplié pur la somme ul'/ebrique des moments des forces par rapport à cet axe.
Démonstration. — Soit O le pied de l'axe qui
Fie. 10.
est perpendiculaire au plaji do la figure, A un point quelconque du corps qui se projette en a
le plan do la figure et F la force appliquée
„.. ce point; décomposons-la en deux autres, l'une P perpendiculaire ii l'axe, qui se projettera en vraie grandeur suivant aP, l'autre Q parallèle à cet axe. Il est clair que le travail élémentaire de cette dernière force Q est nul puisqu'il est perpendiculaire au déplacement du poijit A ; le travail de F se réduit donc à celui do P ; or ce dernier a pour expression :
Je P = P X ««' X cos Pau' ; nous aurons donc aussi :
gc F= P X aa' X cos V(.a'
Soit maintenant .s l'arc décrit par un point situé à 1"" de distance de l'axe, nous aurons : aa' =Oaxi
et par suite :
£c F = P X Oa X cos Pan' x s.
Abaissons 01 perpendiculaire sur aP, il est clair (jue :
01 = Oa X cos aOI = Oa cos Paa' ; par coiiséquont,
j.F = PxOIX«i
mais PXOI n'est autre cliose que le moment de F par rapport à l'axe ; nous aurons donc :
Zc F=MFxs, et en faisant la somme de ces travaux : cxF + îcF' + --- =[M{F) +M(F') + ...\xs.
PnoBLÈME. — Déduire du principe des vitesses virtuelles li'S six équations auxquelles iloivent ■■•atisfaire les fo' ces appliquées à un corps solide libre pour qu'il i/ «il équilibre.
Solution. — Rapportons le corps à trois axes rectangulaires oi, oy, oz, et attribuons au corps \ni mouvement virtuel de translation parallèle à ox dans lequel cha(|ue point subira un déplacement e; la somme des travaux élémentaires sera : e(F cosa + F' cos a' -f . ..)
ou bien en désignant par X, X', . .. les composantes des forces parallèles i ox:
e(X+X'+...)=eIX.
Mais d'après le théorème des vitesses virtuelles, cette somme de travaux élémentaires est nulle, et comme e est dilTérent de zéro, il faut que l'on ait:
Nous aurons deux équations analogues,
(3) ÏY = 0, (3j IZ = 0,
si nous donnons au corps d'abord im déplacement suivant oy, puis un déplacement suivant o;.
Attribuons maintenant au corps un mouvement virtuel de rotation autour de l'axe ox ; la somme des travaux des fnrcos aura pour expression :
[M„xF + MoxF'+...]Xs s représentant l'arc très petit décrit dans ce mouvement de rotation par un point situé h l"' de distance de l'axe; mais cette somme de travaux doit être nulle, d'après le tliéorème des vitesses virtuelles ; on aura donc, puisque i' n'est pas nul:
AMF)-fMox(F')-f ... = 0, ce que l'on écrit d'une manière abrégée :
On aurait deux équations analogues en attribuant au corps un nmuvement de rotation autour de l'axe oy, puis un mouvement de rotation autour de oz :
(5) XM„„(F) = 0 (G) vm„,(F) = 0.
Ce sont précisément les équations que nous avons trouvées (article Mécanique) en écrivant que les résultantes partielles R] et Bj sont égales et directement opposées. On les énonce ainsi : // fout et il su/ fit, pour l'équilibre d'un corps solide libre, que la somme algébrique des projections des forces sur trois axes rectangulaires soit nulle séparément piur rhacun de ces axes, et que la somme algébrique des moments de ces forces par rapport à ces mêmes axes soit latlte séparément pour chacun d'eux.
Hemarque. — Si l'on attribuait au corps un autre mouvement virtuel quelconque, la somme
des travaux virtuels qui correspondraient à ce nouveau déplacement serait nulle dès l'instant que les forces F, F', F", satisfont aux six équations précédentes. En effet, ce nouveau déplacement, quel qu'il soit, peut être considéré comme résultant d'une translation et d'une rotation autour d'un certain axe. Or, l'on démontre : 1° qu'une translation suivant une direction quelconque est toujours la résultante de trois translations suivant les axes ox. oy, oz ; 2" qu'une rotation autour d'un axe quelconque est le mouvement résultant de trois rotations autour des axes ox, oi/, oz; on voit donc qu'un déplacement quelconque du corps peut être considéré comme le mouvement résultant de trois translations suivant les axes et de trois rotations autour de ces axes. La somme des travaux de toutes les forces F, F', F",... dans le nouveau mouvement virtuel considéré, s'obtiendra donc en ajoutant les travaux élémentaires qui correspondent b, ces six mouvements composants. Lorsque ces travaux élémentaires sont tous les six séparément nuls, leur somme l'est également ; ceci revient à dire que dès l'instant que les six équations ci-dessus sont satisfaites, on peut être assuré que la somme des travaux virtuels des forces, pour un nouveau déplaceiuent quelconque du corps, spra nulle d'elle-même et que le corps sera en équilibre. Les conditions d'équilibre ne sont, donc pas eu nombre infini et se réduisent k six.
111. Equation du travail. — Nous admettrons ici conmie connu tout, ce qui regarde le mouvement uniforme et Ir mnuvemcnt varié ; nous rappellerons seulement que, dans le mouvement uniforme, on a les formules :
v = vo-{-wt, e^vot -\--ivl-
dans lesquelles ti„ est la vitesse initiale, v la vitesse à une époque quelconque, et w l'accélération.
Nous admettrons, de plus, cette proposition : Deux firces F et F' sont entre elles comme les mcélérations ni et w' qu'elles font subir à wi même point matériel en agissant pendant l'unité de temps et 'l'une manière constante; ceci Te\iei\t. à écrire la proportion :
Si l'une des forces F' est le poids du corps P, l'accélération w' est égale à g ((/ = 9'",81), et la proportion précédente peut s'écrire :
F «) F P - = — , ou — = -.
Définition de la masse d'un corps. — Le rap- F port — est donc constant pour le même corps,
quelle que soit la force F, et a pour valeur le quotient du nombre qui représente le poids du corps (exprimé en kilogrammes) par 0,81. Ce quotient invariable pour un même corps s'appelle masse du corps, et cette définition, dont on pourrait fort bien se passer du reste, permet d'abréger les énoncés.
On écrit toujours :
P ni = -•
Force vive. Puissance vive. — On appelle force vive d'un point matériel en mouvement le produit de sa masse m par le carré de sa vitesse v : ainsi l'expression algébrique de la force vive est ;
mv^ (force vive).
Comme c'est la moitié de ce produit f|iii rovient il chaque institut dans les calculs do mécanique, M. Bellangei- a proposé la dénomination de puissance vive à l'expression:
- mv^ {puissance vivej
Nous adopterons cette définition en appelant, dans ce qui suit, puissmice vive le produit :
qui est le produit du poids du corps par la hauteur de cluite correspondant ;\ la vitesse v.
PnoposiTioN I. — Loisfju'une force coiisLantn F agit sur un point matériel partant du repos, son travail, au bout d'un certain temps t, est numériquement égal à la puissance vive que possède le mobile à l'époque t.
Démonsiration. — On a les équations:
' = v:t, c = -vjt-, w = g '■
qui donnent :
(1) " = ?iî''. (3)';=
i g It^
Si entre les équations (l)et (2) on élimine /, il vient :
l ï> \FJ gi 2g F
puissmice vire ilcpuis la position initiale jusf/u'i'i la pnsilion finale que l'on considère.
Démonstrtilion. — Soit R la résultante des forces F, F', F", d'intensités variables, qui sollicitent le point matériel ; nous diviserons la trajectoire en éléments très petits, et pendant que le mobile parcourt chaque élément de la courbe nous pourrons supposer R comme constante. Décomposons la force R en deux autres, l'une, N, normale à l'élément de la trajectoire, l'autre Q dirigée suivant cet élément ; comme le travail de N est nul, le travail de R se réduit h celui de Q. Soit r„ la
vitesse initiale, D la vitesse finale, et «',«", i'"' Un ,
les vitesses à la fin du premier petit mouvement, à
la fin du second ; soit de plus m la masse du
point matériel, ^fous aurons pour le premier élément du travail :
pour le second :
pour le troisième :
• mv'"' — - tau"^.
(3) Fe=ï-'xP=.^
Tomme le premier membre de cette équation (3) l'est autre chose que le travail de la force F, l'éiMiicé précédent est vérifié.
l'iiOPOsrnoN II. — Lorsqu'une force constante li'jH sur un point matériel dans la direction de XII vitesse initiale, son travail est numériquement égal à la puissance vive finale du mobile diminuée de sa puissance vive initiale, ou, ce qui revient au même, à la variation de la puissance vive du ■mobile.
Démonsiration. — On a les équations:
v = Vo -^wt, e = Va t-\- - wt-, w^gr^i
ou:
v = v^+ g~- t, e=Vot+YJ-^tK
bi l'on élimine t entre ces équations on a :
pour le dernier :
- »ui2 — - mv • •l ■! "
Ajoutant toutes ces différences, on voit que les tenues
■ mv', - mv '-,
(v — Vo )m F
+ :t?XfI("-^'''H
m ri T
Par conséquent :
disparaissent, et l'on a pour l'expression du travail total de la résultante R:
Comme le travail de R est égal à la somme des travaux des composantes F, F', F", la proposition est démontrée.
Proposition IV. — Lorsqu'un corps solide, soumis à des forces quelconques F, F', F"..., se meut d'une manière quelconque dans l'espa':e, la somme algébrique des travaux de toutes les forces appt'iquées équivaut à la variation totale de la somme des puissances vives de tous les points du corps.
Démonstratio7i. — Soit m la masse d'un des points matériels A, îio sa vitesse initiale, v sa vitesse finale, R la résultante de toutes les forces qui sont appliquées au point A et dont le travail est égal à la somme des travaux des composantes; on aura :
„ 1 , 1 2 jR = - mv- — ^ '""o»
Chacun dos points du système fournira une équation analogue:
gR' = - m'v'- — ^ '"'^'l't
■ ce qui démontre la proposition.
Proposition 111. — Lorsqu'un point matériel se mi-ut d'une manière quelconque datis l'espace sous l'action d'un nombre quelconque de forces variables, le trnvail total des forces appliquées éqztivaut numériquement à la variation totale de la
i' P/IITIE.
On aura donc on les ajoutant:
s,r=y^lmv^~y:^mvi-
le signe Z du premier membre signifie : somme de travaux analogues au travail total de F, et le signe S du second membre indique qu'il faut ajouter les puissances vives de tous les points du corps.
l'iO
IV. Cas particuUers. — L'équation du travail se simplifie lorsque le système matériel considéré est animé d'un mouvement de translation rectiligne, ou d'un mouvement de rotation autour d'un axe ; ce sont les mouvements les plus fréquemment employés dans les macliines.
Pbopositiun I. — Si iinsijilème de points matériels fst animé d'un mouwment de translation, la somme des travaux des forces extérieures équivaut au poids total du système mulliplié par la différence des hauteurs de cliute correspondantes aux vitesses extrêmes de l'un quelconque des points considérés.
Démonstration. — Dans un mouvement de translation, tous les points matériels décrivent pendant un temps très petit des éléments égaux et parallèles; les vitesses de ces éléments ii un instant quelconque sont donc toutes égales. Soit V la vitesse finale de l'un d'eux, p, p', p",.- leurs poids ; la somme des puissances vives finales sera :
