MP2+OP2 = OM
ou en désignant l'arc par a :
sin'a -}-cos- a= 1.
2° Des triangles semblables OAT et OMP on tire:
AT^OA tgg ^ 1
MP OP sin a cos a
3" Des triangles rectangles semblables OBS et OMQ on tire :
BS 0B cotg a 1
QM OQ cos a sin a
d'où
cotgn = -
cos a
4° Des triangles rectangles OAT et OPM on tire :
OT OA séc a 1
ÔM ~ ÔP °" "ï cos a
d'où :
seca =
cos a
5" Des triangles rectangles OBS et OQM on tire :
OS 0B coséca 1
ÔM~CÏQ °" r ~ sni a
d'où :
cosécn = —. — .
sm a
Si au lieu de l'arc AM on prend l'arc AM' plus grand que 90°, on obtient exactement les mêmes résultats ; mais il faut avoir soin de donner son signe à chaque ligne.
Pour mieux graver ces relations dans la mémoire, nous les réunissons dans le tableau suivant :
sinî a+ cos2a= 1,
sin a
tg a = )
^ cos a '
Ci)
cos a cotg a = — — , sni a '
séc a = )
cos a
cosec a = —.
En multipliant membre h. membre les égalités (2) et (3), on obtient :
tgacotg a = I. (C)
égalité importante qu'il faut ne pas perdre de vue.
Nota. — Pour abréger il est d'usage d'omettre le signe de la multiplication entre deux lignes trigonométriques :
tg a cotg a, pour : tg n x cotg a.
11. Calcul des lignes trigonométriques d'un arc au moyen de l'une d'elles. — Au moyen de la formule (I), on peut calculer le sinus ou le cosinus d'un arc, quand l'une de ces deux lignes est donnée. A l'aide du sinus et du cosinus, on obtient ensuite les quatre autres Ugnes, d'après les formules (2), (3), (4), (5).
Cherchons par exemple les lignes trigonométriques de l'angle de 30°.
On a d'abord : sin 30° = -•
De la formule (1), on tire :
cos 30° = y/i — sin«30°
^J'-Hi
TRIGONOMETRIE
cos M" 1
L'égalitù (:i) donne :
cotg30° = -
L'ogalitô (i) doMDR :
sec 30° = ^—
cos 3u°
scc30°=rV3-
L'cgalito (5) donne:
coséc 30» =
RcMAnQiJF,. — Quelle que soit la ligne trigonométrique donnée, on peut en déduire aussi aisément les cinq autres. Ce sont l.'i des exercices faciles d'algèbre que nous laissons au lecteur, mais auxquels nous ne nous arrêterons pas, parce qu'ils n'ont pas d'utilité directe pour le but spécial que nous nous sommes proposé dans ce travail : la résolution des triangles.
12. Idée sommaire de la construction des tables trigonométriques. — On a déjà vu comment des propriétés des polygones réguliers inscrits on a pu tirer les valeurs dos sinus de quelques angles, et en dernier lieu comment la valeur du sinus permet de trouver les valeurs des autres lignes irigonométriques. Mais cela serait insuffisant; la résolution des triangles exige que l'on connaisse les lignes de tous les angles de 0° à 90°, au moins de minute en minute. Quant aux angles obtus, leurs lignes trigonométriques sont celles des angles aigus supplémentaires avec des signes contraires, excepté le sinus et la cosécante qui no changent pas de signe.
Nous n'avons pas h exposer ici la théorie de la détermination des valeurs des lignes trigonométriques de tous les angles ; il suffira que nous en donnions une idée très succincte.
Pour cela nous ferons d'abord observer que plus un arc est petit, plus est faible la différence qu'il y a entre la longueur de cet arc et celle de son sinus. Or, la longueur de la demi-circonférence, quand le rayon est pris pour unité, est exprimco par le nombre :
ir = 3, 141592 653 589Î93
On aura donc ;
ce qui signifie quo le sinus do 1' est environ égal i 29 fois la lOOflO' partie du rayon de la circonférence, quel que soit ce rayon.
Au moyen de la formule (1), on obtiendra par des calculs assez laborieux :
cos 1' = 0,999 909 9570.
Au moyen d'nnc division on connaîtra la taagente et la cotangente de l'arc do 1'.
A l'aide do formules que nous aurons l'occasion d'étudier plus loin, on pout trouver le sinus et le cosinus d'arcs doubles, triples, quadruples, etc., c'est-à-dire les arcs des nombres entiers successifs de minutes.
En outre, les calculs trigonométriques devant être faits, pour plus do facilité, par les logarithmes, on a dû chercher les logarithmes des sinus, des cosinus, tangentes et cotangentes. On les a inscrits en colonnes vis-îi-vis des angles correspondants : c'est en cela que consistent les tables trigonométrifjiies.
13. Disposition et usage des tables. — 1° Dans certaines tables les logarithmes ont sept décimales ; dans d'autres elles n'en ont que cinq. Ces dernières suffisent très bien pour les opérations ordinaires de la trigonométrie; c'est de celles-là que nous allons parler, en nous servant de l'édition de Dupuis.
Elles contiennent les logarithmes des sinus,, cosinus, taugeiitcs et cotangentes des arcs de minute en minute à partir de 0° jusiiu'à !)0°. Los sécantes et cosécantos ne s'y trouvent pas, parce qu'on en fait peu usage. De 0° à 45° le nombre des degrés est au haut dé la page en dehors du cadre, et les minuti'sse trouvent dans la premièra colonne 5, gauche, surmontée d'ailleurs du signe ' des minutes. Do 45° à 90° le nombre des degrés est au bas de la page en dehors du cadre, et les minutes se lisent de bas en haut dans la premiers colonne à droite.
Les deux angles qui figurent sur la même ligne, et qui sont comptés l'un de haut en bas et l'autro de bas en haut, sont complémentaires. Cela explique pourquoi la môme colonne porto à une des de ses extrémités la désignation sinus et îi l'autre la désignation cosinus ou tangente et cotangente. Le sinus d'un angle compté de haut en bas est précisément le cosinus de l'angle complémontaire qui compté de bas en haut se trouve sur la môme ligne.
Dans les colonnes Sz'n., Cos., Tang. et Cotg., on a laissé en blanc la caractéristique et la première décimale des logarithmes pour tous les logarithmes suivants où elles se répètent. Ainsi on lira :
En effectuant la division, on trouve :
arc 1' = 0,000 290 888 208.
Si on prend cette valeur de l'arc de 1' pour celle du sinus de 1', on ne commettra qu'une erreur assez faible. Or, on démontre que la différence entre l'arc et son sinus est mniyidre que le (juart du culje de l'arc. En appliquant ce principe à l'arc de 1', on trouve quela difl'érence entre cet arc et son sinus ne commence qu'au-delidc la U' décimale. On aura donc ;
Bin I' =0,000 290888 21,
log sin 39° 1'= 1,79903, log tg 39° 2' = 1,90889, log cotg ;i9° 3' = 0,09086.
D'après ces explications on n'aura aucune difficulté h. trouver dans ces tables le logarithme d'une ligne trigonométrique d'un angle donné en degrés et minutes seulement.
11° On voit encore dans le cadre de chaque page trois colonnes surmontées de la lettre D (initiale du mot différence). Les nombres qu'elles contiennent sont les difi'érences qu'il y a entre les deux logarithmes consécutifs de la colonne qui n'en est séparée que par un simple filet do haut en bas.
Les différences sont les mêmes pour les log. tangentes et les log. cotangentes. Il est facile d'en trouver la raison.
En eflet, soient doux angles a et h. On a, d'après la fornuilo (G) :
tgn X colgffl = 1, tga X cotg 4= 1.
TRIGONOMETRIE — 2234 —
TRIGONOMETRIE
et en prenant les logaritlimcs :
lofç tg Q + log cotg n = 0,
log tg 6+log cotg A = 0, ou :
log tga^ — log cotgff,
log tg i = — log cotg é.
En retranchant l'iniG de l'autre ces deux dernières égalités, on obtient :
log tg a — log tg i = log cotg b — log cotg a.
Ce qui montre que la différence entre les logarithmes des tangentes de deux angles est la même que celle qu'il y a entre les logarithmes de leurs cotangentcs.
111° C'est k l'aide des différences inscrites dans les colonnes D qu'on peut obtenir le logarithme d'une ligue pour un angle contenant des secondes.
Soit par exemple à chercher:
log sin 39°25'14".
On prend d'abord le logarithme en négligeant les secondes. On trouve ainsi :
log sin 39» ,'5' = 7,80274
et la différence entre ce logarithme et ceiui qui correspond à ;i9">2(>' est IC. Pour connaître l'augmentadon qu'il faut donner au logarithme 1, 80274 afin d'avoir celui qui correspond k l'angle de 30° 25,1 i", on raisonne ainsi :
Si l'angle de 39° 25' augmentait de 1', c'est-àdire de Gu", son log. sin. augmenterait de IG.
Pour une augmentation de l", le logarithme augmenterait de la (iO" partie do Ki.
Pour une augmentation de U" le logarithme augmentera de li fois la UO' partie de IG, c'est-à-
dire de
Mais ce petit calcul se trouve tout fait dans les petites tables qui sont placées en marge en dehors du cadre.
En tète est la différence des deux logarithmes consécutifs. Au-dessous à gauche sont les nombres entiers de secondes de I à 9 : à droite vis àvis sont les parties de la différence correspondant à ces nombres de spcondes. On les multiplie par 10 pour avoir les parties correspondant aux dizaines de secondes.
Ainsi pour l'exemple précédent on trouve :
Différence tabulaire IG.
pour 10" 2,7
pour 4" 1,07
pour 14" 3,77
On prendra 4 en négligeatit la partie décimale, puisque le chiffre qui suit est plus fort que 5. On obtient donc :
log sin 39°25'14'= r,80278.
Observation. — Il ne faut pas perdre de vue que, pour le cosinus et la cotangente, le logarithme pris dans la table doit diminuer de la quantité correspondante à l'augmentation du nombre de secondes.
IV° Nous avons maintenant à résoudre le problème inverse : éla?it donne le logarithme d'une ligue trirjonométrique, trouver l'œvjle correspondtint.
Si le logarithme se trouve dans la table, il n'y a aucune difficulté à lire l'angle cherché.
Soit par exemple : log tg x = 0,0^'5I8. L'angle est supérieur à 4.S°, puisque la caractéristique du logarithme n'est pas négative. En lisant de bas en haut, on trouve que l'angle x est égal à 50° 35'. ^ ^
Mais cela n'arrive que rarement. Soit par exemple : log sin x = r,7il9;!l.
Le log. sin. qui en approche le plus est 1,79918, qui correspond à 39° 2', et la différence entre ce logarithme et le logarithme donné est 13; l'angle cherché égale donc 30° 2' et un certain nombre de secondes qu'il s'agit de trouver.
Pour cela on répète le raisonnement déjà fait plus haut. D'abord la différence entre le logarithme r,79918 et le suivant de la table est 16. Si le log. 1,79918 augmentait de 16, l'angle de 3U° 2' augmenterait de GO".
Si le log. augmentait de 1, l'angle augmenterait de la IC"' partie de 60".
Le logarithme augmentant de 13, l'angle augmentera de 13 fois la 16" partie de 60", c'est-à-
dire de .
IG
Ce petit calcul est encore tout fait dans les petites tables placées on marge en dehors du cadre. Au-dessous de la différence 16, on cherche dans la colonne de droite le nombre qui multiplie par 10 s'approche le plus de 13; c'est 10,7 qui correspond à 40". De lu, 7 à 13 il y a encore 2,1 qui dans la colonne correspond à 8". L'augmentation à donner à l'angle est ainsi de 4 s".
On a doncx = 39° 2' 48".
Remarques. — 1° La proportionnalité admise entre les accroissements du sinus et de la tangente et ceux de l'angle n'est pas rigoureusement vraie ; mais l'erreur qui en résulte n'affecte pas la 5« décimale du logarithme pour les sinus des angles supérieurs à 1°30', les cosinus des angles inférieurs à S8°30', pour la tangente et la cotangente des angles compris entre 1-30' et 88"3Û';
'.'» Les diverses lignes trigonométriques ne donnent pas toutes le même degré d'exactitude dans la détermination de l'angle.
En effet, considérons deux arcs AM et AN (fig. G) ayant entre eux une différence MN de 1°, et deux
Tig. 6.
arcs AM' et AN' différant aussi de 1°, mais très voisins de '.1(1°. Tirons les cordes M'N' et MN et les droites N'I' et NI perpendiculaires aux sinus M'P' et MP. L'angle M'N'I' est moindre que l'angle MNI, et il devient de plus en plus petit h mesure que le point M' est plus voisin du point B ; la différence MT des sinus des deux arcs AM' et .\.IV' est donc d'autant plus petite que ces arcs diffèrent moins de 90°. Par suite la différence di's logarithmes de ces deux sinus peut être assez faible pour qu'elle ne commence qn'au delà de la b" décimale. Alors le même logarithme peut correspondre à plusieurs angles consécutifs. C'est ce qui se présente pour les angles de 88°T, 88°S', 8S°9' pour lesijuels on trouve dans les tables le même log, sin. qui est 1, 9!I977.
La môme chose arrive' pour le cosinus des arcs très petits ; mais les tangentes et cotan-
TRIGONOMÉTIIIE - 2233 - TRIGONOMETUIE
gentps n'offroiit pas le niftme défaut. On doit donc, ([UiiiKi cela est possible, détunuiner de préférence nii angle à l'aide do la tangente ou de la cota n go rite.
I i. Belations entre les côtés et les angles d'un triangle rectangle. — Selon l'usage nous désignerons toujours les eûtes d'un triangle par les lettres minuscules semblables aux lettres majuscules placées aux sommets des angles opposés, et dans le triangle rectangle la lettre A sera affectée spécialement à l'angle droit.
1" Rappelons d'abord les deux relations suivantes fournies par la géométrie :
2" Dans tout triangle rectangle, chaque côté rie l'angle droit est égal a Ihypoiénuse multipliée parle sinus de l'angle op/josé à ce côté ou pur le cosinus de l'am/U adjac-nt à ce côté.
En effet, dans le triangle rectangle ABC (fig. 7) décriTons du sommet C pris pour centre et avec
l'hypoténuse CB pour rayon l'arc BD terminé au prolongement du coié GA.
Le rapport entre la perpendiculaire BA et le rayon est précisément le sinus de l'angle C. On a donc ;
d'où :
! sinG, ou t'=sinC,
c= n sin G. (8)
Comme les angles B et C sont complémentaires, sin C est égal à cos B, et on a :
c = flCosB. (9)
On aurait do même :
é = n sin B ; b = cos C.
S° Dans tout triangle rectangle chaque côté de l'nngle droit est égal à l autre côté multiplié par la t'Oigeiitcd'- l'angle opposé au premier côté, ou par la culangente de l'angle adjacent.
Pour le démontrer, décrivons du sommet C,
dans le triangle rectangle ABC (flg. 8), et avec CA pour rayon, l'arc AM.
Le rapport outre la droite BA, tangente en A, et le rayon CA, est la tangente de l'angle G. On a <Ionc :
^^ 'îC, ou r=tgC,
d'où :
CA
= 4tgC.
Les angles B et C étant complémentaires, on a : tgC = cotgB, et par suite :
c = 6cotgB. (11)
On aurait de même :
6 = ctgB; 4=ccotgG.
