OT2 = OA2-4-.\T
d'où séc 45° = y 2-
Faisons grandir l'arc au-(l(;lîi do 90» et soit
TRIGONOMETRIE
par ('M'inplo l'arc ABM'. La sécante, qui part tonjoni-s (In contro O, no passo plus par la deuxième l'xtréiniio M' de l'arc pour rencontrer la tangente menée il l'origine A, comme cela avait lieu pour l'arc AM ; elle prend une direction toute contraire. On indiquera cette opposition de direction en lui donnant le signe — , tandis que la sécante de l'arc moindre que 'J0° prend le signe +.
Si l'arc, continue à grandir au-deli de ABM', la sécante reste négative et diminue en valeur absolue. Enfin pour l'arc AIÎA' égal il 180°, elle est égale au rayon OA pris avec le signe — .
On a donc : séc 180" = — l.
3° En considérant les arcs supplémentaires AM et ABM', on reconnaît que leurs sécantes OT et OT' sont égales; mais la première a le signe + et la seconde doit prendre le signe — .
Donc deux arcs supplémentaires ont leurs sécnnles égnles mais de signes eontraires.
On a donc : séc (IHO-ft) ^ — séc a.
Observation. — Pour éviter toute confusion, il importe de bien se rapppler que la sécante d'un angle obtus ne prend pas le signe — parce qu'elle est au-dessous du rayon OA, comme la tangente de l'angle obtus, mais uniquement parce qu'au lieu de passer par la deuxième extrémité de l'arc pour rencontrer la tangente, elle doit se diriger à l'opposé.
1 . Lignes trigonométriques des arcs complémentaires. — 1° Outre le sinus, la tangente et la sécante, il y a encore trois autreslignes trigonométriques, qui sont: le cusintis, la cotangente et la cosécaiHe.
Le connus, la cotangente et la cosécante d'un arc sont le sinus, la tangente et la sécante du complément (le cet arc.
Si donc on désigne par a un arc, on aura :
cos a = sin (9n">— «),
cotga= tg(;10" — o).
coséc a = séc (yO" — a).
Quand un arc est supérieur îi !)0°, on prend pour son complément l'excès de cet arc sur 90" : ce complément est alors uu arc soustractif, c'eslii-dirc un arc négatif.
2° Origine des arcs complémentaires. — Le point A (fig. 3) étant l'origine dos arcs, on prend le point B pour origine des arcs complémentaires ; par exemple l'arc BM est le complément de l'arc AM.
A l'inspection de la figure, on a :
cos AM=sin IiM = MQ = 0P, cotg A M =tg BM = BS, coséc AM = séc U.M = OS.
Le cosinus de AM étant égal i 01>, on voit que le cosinus d'un arc e-t égal à la distance du centre au pied du si7ius do cet arc. Il est plus commode de considérer le cosinus dans cette position sur le diamètre AA'.
8. Variations des lignes complémentaires. — 1° Pour un arc infiniment petit commençant à l'origine A, le cosinus est égal au rayon OA; la cotangente et de la sécante sont infinies, puisque la direction de BS et celle de OA sont parallèles. On a donc :
cos 0° = sin 90° = 1, cotg (1° = tg 90" = oo , coséc 0° = séc 9U° = =o .
A mesure que l'arc grandit ii partir de A, le pied T du sinus MP se rapproche du centre, et par con
cos 00° = sin 0°= 0,
cotg 90° = tg 0° = 0,
coséc 90° = séc 0° = I .
Si l'on construit la figure en prenant l'arc A M
égal il 4i°, on voit que le sinus est égal au cosinus,
la tangente à la cotangente, la sécante à la cosé-
2° Considérons un arc plus grand que OB", ABM' par exemple. Son cosinus est OP'; mais comme il est à gauche du centre sur le diamètre AA', tandis <iuo pour les arcs moindres que 90° il est il droite, on lui donnera le signe —, et au cosinus qui est à droite du centre le signe -h-
La cotangente est lib'. Se trouvant placée il gauche du point B, tandis que pour les arcs moindres que 9U° elle est ii droite, elle prend le signe — , et la cotangente qui est il droite de B prend le signe +■ „„, „
La cosécante de l'arc ABM est OS ; pour aller rencontrer la cotangente elle passe par la deuxième extrémité M' de l'arc, comme dans le cas où l'arc est moindre que 90". Il n'y a donc pas il lui donner le signe — ; elle reste positive.
En résumé, quand l'arc grandit depuis 90° jusqu'il 180°, le cosinus a le signe — , et varie depuis 0 jusqu'à — I ; lacotangente a le signe — , et varie depuis 0 jusqu'il — =» ; la cosécante est positive et varie depuis 1 jusqu'il + «= ;
3° Pour deux arcs supplémentaires AM et ABM, on voit que les cosinus sont égaux et de signes contraires, que les cotangentes sont égales et de signes contraires, et que les cosécantes sont égales avec le même signe.
C'est ce qu'on exprime ainsi :
cos (180° — n) =— cos a, cotg (180° — «)=-- cotgn, coséc (180° — a) = coséc a.
Remarque générale. — Entre 0° et 180° le sinus et le cosinus prennent des valeurs qui varient de 0 h 1 et de 0 à — 1 ; la tangente et la cotangente varient de 0 à 4- oo et de II il — =o ; la sécante et la cosécrinte varient de 1 à -4- c» et de — 1 .\ — œ .
9. Etant donnée une ligne trigonomêtrique, construire l'angle correspondant. — 1" SiNi'S. — Supposons que le sinus d'un angle soit égal
il -, c'est-ii-diro à trois fois le quart du rayon. On décrit un cercle d'un rayon quelconque (fig. 3) ; on y trace deux diamètres rectangulaires A A et BB'; puis sur OB on porte ii partir du centre une longueur OQ égale à 3 fois le quart dii layon et par le point Q on mène la corde MM parallèle à A'A. Les deux arcs AM et ABM ainsi déterminés ont le sinus Jonné ; h ce sinus correspondent les doux angles supplémentaires AOM et AOM'.
2° Cosinus.
— Soit un cosinus égal à — -.
On prend ii gauche du centre 0 (fig. 3) sur OA' une longueur OP égale il deux fois le tiers du rayon ; en P' on élève une perpendiculaire sur OA jusqu'il la rencontre de la circonférence en M ; l'arc ABM' est l'arc correspondant et l'angle AOM est l'angle demandé. . , ^ , ,
30 Tangente. — Soit une tangente égale il 1,5. Après avoir décrit un cercle de rayon quelconque et tracé deux diamètres rectangulaires AA' et BB' (fig. 4), on mène par A une tangente indéfinie • on y porte à partir de A une longueur AT égale il 15 fois la 10' parti» du rayon, et on ne la droite OT. L'arc AM correspond à la
au sinus ivii- se rapprocnu uu ceimc, et yo.i i-uu- mco .» — ■ ,. ■
séquent le cosinus diminue; l'extrémité S delà tansente donnée, et 1 angle AOM est 1 angle
cotangente et de la sécante se rapproche de B enfin quand l'arc est devenu AB égal à 90°, '
cherché.
Si la tangente donnée était ■
1,5, on porteraitla
00 lus e la cotangente se rédursent'à ^éro et la longueur égale aux l5dixièmesdurayon au-dessous cosécante est égale au rayon OB. On a donc : ' de A en AT. En tirant ensuite une droite par T
TRIGONOMETRIE
TRIGONOMETRIE
et par 0, on aurait l'arc ABM' et par suite l'angle obtus AOjr pour l'angle demandé.
4° CoTAKGFNTE. — Soit Une cotangente égale
— 2. Ayant tracé dans un cercle quelconque
fig. 5) les deux diamètres rectangulaires AA' et
tga =
cos a
BB', on mène par B une tangente indéfinie; on y porte à partir de B et à gauche une longueur BS' égale à deux fois le rayon et on tire la droite OS'. L'arc ABM' correspond à la cotangente donnée, et l'angle AOM' est l'angle cherché.
Si la cotangente était égale K + 2, on aurait porté sa longueur à droite en BS ; nn aurait eu alors l'arc AM et par suite l'angle AOM.
5° SÉCANTE. — Soit une sécante égale à 2. Avec une ouverture de compas égale au double du rayon du cercle tracé (fig. 4) on décrit un arc qui coupe en deux points T et T' la tangente menée en A; on tire la droite OT et on trouve l'arc AM et par conséquent l'angle AOM.
Si la sécante avait été égale à — 2, on aurait mené une droite du point T' par le centre O ; dans ce cas c'est l'arc ABM' qui correspond i la sécante donnée et par suite l'angle obtus AOM'.
6° CosÉCANTE. — Avec une ouverture de compas égale à la cosécante donnée (fig. 5), on décrit un arc qui coupe en deux points S et S' la tangente menée par le point B, et on tire les droites OS et OS'. On a alors les deux arcs AM et ABM', et par suite les deux angles AOM et AOM' pour les angles cherchés.
10. Relations entre les lignes trigonométriques d'un même arc. — 1° Quel que soit un arc, AM par exemple ifig. 3), le sinus MP, le cosinus OP forment touiours avec le rayon un triangle rectangle OPM. On a donc, d'après le théorème de Pythagore :
