TT
Calcul de c. — On a :
d'où
in G
sin G sin A ' sin A
liigc = logaH-logsia C — log sin A.
log a =2,03933 log sinC=l,92417
:sin A=~1,8GS37.
log a = 2,0951 3
Deuxième cas. — Résoudre tin triangle, en co7inaissant deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux.
Données : a, b, A. — Inconnues : c, B, C. Calcul de B. — On a :
fi ^ a (j'(,f,si„3 __4sinA siuB sinA ~ a
Calcul de C. — On a : G = isO' — (A -f B;. Calcul de c. — On a :
c c y , f? sin C
sin C sin A sin A '
Obseiivation. — L'angle B est déterminé au moyen de son sinus. Or à un même sinus correspondent deux angles supplémentaires. Les tables donnent l'angle aigu B; appelons ii' l'angle obtus supplémentaire.
Soit A > 90°. L'angle aigu B seul convient à la question. Il n'y a qu'une solution; mais il faut pour cela que 1« côté a opposé à l'angle A soit plus grand que le côté b.
Soit A < 90". Si a est plus grand que é, l'angle B doit être moindre que A; par conséquent il n'y a qu'une solution, celle dans laquelle B est aigu.
Si avec A < 90», le côté a est plus petit que le cùté A, l'angle B devant être plus grand que l'angle A, le problème admet l'angle B aigu et l'angle B' obtus, ce qui fait doux solutions. Mais pour qu'elles existent, il faut que la valeur de sin B ne surpasse pas l'unité, ce qui revient i dire qu'on doit avoir :
A sin A ^,
<i, oua>6smA'
(Voir la construction du triangle, article Po/(/(70?îe^, page 1659).
Exemple. — On donne :
On trouvera deux solutions :
B = 44° 5' iG".
1" solution.
InoisiÈME CAS. — Résoudre un triangle, en conn'iûsant deux côtes et l'angle compris entre eux.
QuATiuKME CAS. — Résoudre un triangle, en connaissuid les trois côtés.
Si l'on essaie de résoudre ces deux cas à l'aide
TRIGONOMETRIE
TRIGONOMETRIE
des formules (I3), on obtient pour le troisième cas :
'^^\a--i-b- — -iuti cosC, et pour le quatrième cas :
ces C = r—, •
Ces résultats ne se prêtent pas au calcul logarithmique.
Si l'on veut employer les formules (12), on rencontre des difficultés de calcul provenant de ce que les angles y entrent sous deux formes : avec leur valeur naturelle et avec leurs sinus.
Nous sommes donc obligés de clierclier d'autres formules plus simples, d'autres instruments de calcul plus faciles à manier. Pour les découvrir nous avons à résoudre successivement les problèmes suivants.
18. Premier problème. — Etant donnés les sinus et cosvius de deux arcs, trouve)- les sinus et cosinus de la somme et de la différence de ces arcs.
Désignons par a l'arc AM (fig. 11), par b les
Or, des triangles semblables OQR et OMH on cos 6
Fig. 11.
arcs égaux MN et MN'; nous aurons :
AN = a-|-é; AN'=a— 6,
Tirons NP, MH, N'P' et QR perpendiculaires à OA ; QS et N'S' parallèles à OA. Le rayon OM est perpendiculaire au milieu de la corde NN'. On a alors, en prenant le rayon pour unité :
MH = sin n ; OH = cos a ;
Q!S[ = QN' = sin*; OQ = cosi;
NP = sin a-t-i); 0\> = cos (a -i- (,) ; N'P' = sin (a— 6); OP' = cosia — A).
1° Nous avons d'abord :
sin {a-|-6) = SP-f-S\ = QR + SN.
Des triangles semblables OQR et OMH on tire :
QR OQ QR^ cos /j
JÏH ~ OM' ""^ sin a "~ l ' d'où :
QR = sin a cos b.
Des triangles semblables NSQ et OMH on tire : NS NQ NS sin b
OH^ÏÏM' °" cos a r' d'où :
NS = sin b cos a.
On obtient donc :
sin {a + b) = sin a cos i 4- sin 4 cos a. 2° Nous avons en second lieu :
sin (a — 6) = N'P' = QR — QS' = QR — NS. Cette égalité devient donc :
sin (a — b) ^ sin a cos A — sin A cos a. 3° Nous avons aussi :
cos [a-h b) = OP = OR — PR = OR — SQ.
OR OQ 0R
0H~0M' °" cosa~ 1 '
d'où :
OR = cos a cos b.
Des triangles semblables NSQ et O.MH on tire aussi :
SQ NQ SQ ^ sin b
MH ~ OM' °" sin a "~ 1 ' d'où :
SQ = sin a sin A.
On obtient donc :
cos (a + b) = cos a cos A — ein a sin A. 4° Enfin nous avons:
cos (a — A) = OP' = OR + S'N' = OR -1- SQ. Cette égalité devient donc :
cos {a — A) = cos a cos A -+- sin a sin A. Pour que ces quatre formules se gravent mieux dans la mémoire, nous les réunissons dans la tableau suivant :
sin ;« -I- A) = sin a cos A -(- sin A cos a. (U) sin [n — A) = sin a cos A — sin A cos a. (16) cos (a + A) = cos a cos A — sin a sin A. (IG) cos {a — b) = cos a cos A + sin a sin A. (17)
Deixiême problème. — Etant donnés le sinus et le coiinus d'un arc, trouver le sinus et le cosinus de l'arc double.
il suffit de supposer l'arc A égal à l'arc a dans les formules i^Uj et (IC). On trouve ainsi : sin 2 rt = 2 sin a cos a. (18)
cos 2 a = cos" a — sin'^o. (19)
NoTi. — Il est utile qu'on s'habitue à expri mer en langage ordinaire ces formules, do que celles qui vont suivre. La formule (IS), pai exemple, se traduit ainsi : le si?ius du double d'u arc est égal au double du sinus de cet arc )nul tiplié par son cosinus.
Troisième tboblème. — Etant donné le cosinu. d'un arc, trouver le sinus et le cosinus de la moi tié de cet arc.
En remplaçant a par -dans l'égalité (19), on a
cos a = cos'- ç — sin^
A cotte équation qui contient les deux incon nues du problème, cos- et sin -îOn joint l'équa tion suivante fournie par l'égalité (1) :
1 = cos- - 1- sin» - •
En les ajoutant membre i membre, on obtient
