cos a = 2 cos

En retranchant la première de la deuxième oi obtient :

1 — cos n = 2 sin'

Enfin, en divisant les deux membres de ce! deux nouvelli's équations par 2 et en extrayaai ensuite la racine carroc, on Irouve :

TIUGONOMETRIE — 2;

l;r.M.\i;ni'E. — L';iiiglc d'un ti'iangle étant toujours nioiiuli'c (juc ISO", l'anglR - est nioindi-e

quo 0(1", i;t pai' conséquent son cosinus est positif; c'est pour cette raison qu'on ne met pas ici lo double signe ± devant le radical.

QuATiiiiiHK Puoni.ÈME. — Transformer en un produit la somme et la différence de deux iinus et de deux cosinus.

En additionnant membre h membre les égalités ^l'l) et (15), on obtient:

sin (« + i) + sin {a — i) = 2 sin a cos b.

En retranchant l'égalité (15) de l'égalité (14), on obtient :

sin (n H- /;) — sin [a — i) = 2 sin 6 cos a.

En additionnant membre ;i membre les égalités (lu) et (17), on obtient :

cos {a + b) ■}- cos {a — &) = 2cos a cos b.

En retranchant (IG) de (1"), on obtient :

cos {a — b) — cos (n -t- i) = 2sin a sin b.

Mais pour rendre plus facile l'emploi dos formules ainsi obtenues, désignons par p la somme n + 6 et par g la différence a — b. On aura :

On en tire par addition et par soustraction :

En substituant ces valeurs à a et à 4 dans ces formules, on a :

5'J — TRIGOrs'ÛMKTRIE

Enfin, si on remplace cotg

d'après la formule (C), on trouve :

tg '-i±-' sni ;) + sm q 'i

un p — sm q

tg'-^

sm p -t- sin q = 2sin -— p^ cos '

sm p — sm q = 2sin cos —

cos » + cos 7 = 2cos cos —

cos q — cos ;j = 2sin -JlH si,i Ps

La première de ces quatre formules signifie que la somme des sinus de deux arcs est eqate au double produit du sinus de In demi-somme de res arcs multipliée par le cosinus de leur demi-différence.

Nous laissons au lecteur le soin d'énoncer les autres.

Remaiîque. — Si l'on avait à transformer en un produit la somme ou la dill'orence d'un sinus et d'un cosinus, on remplacerait le cosinus par le sinus du complément de son arc; on serait ainsi ramené au cas précédent.

Cinquième problème. — Trouver une expression simple du rapport qu'il y a entre la somme des sinus de deux arcs et la différence de ces sinus.

Pour cela on divise membre h membre les égalités (22^ et (23), ce qui donne :

Sin p — sin r/

Le deuxième membre est égal à :

cos

1 ou tg

X cotg '

Ainsi le rapport entre ta somme des sinus de deux arcs et la différence de les sinus est égal au rapport qu'il i/ a entre la tangente de la demisomme des deu-x arcs et la tangente de leur demi-différence.

Nous avons maintenant les moyens de résoudre les doux derniers cas des triangles.

!'■)■ Résoudre un triangle en connaissant deux côtés et l'angle compiûs entre eux.

Données ; a, i et C. — Inconimes : A, B et c.

Calcul des angles. — On aura d'abord la somme des deux angles A et B par la relation : A-l-B = 180°— C.

Il s'agit de connaître leur différence. Pour cela on remplace, dans la formule (2G), les arcsp et q par les angles A et B, ce qui donne : j„Aj-B

" 2 sin A -I- sin B A — B sin A — sin B*

Il reste à en éliminer les sinus, en substituant au deuxième membre une valeur exprimée en fonction des cotés donnés a et b.

La formule (12) donne :

a b sin A siu li

sin A

Or, dans toute proportion, le rapport entre la somme des deux premiers termes et leur différence est égal au rapport entre la somme des deux derniers et leur différence.

La dernière proportion donne donc :

a -\- h sin A -|- sin B

A — sin B

On obtient par suite :

A - a~ a —b tg — ^—

De li on tire :

tg — ; = tg ; — X

Cette égalité fera connaître h l'aide dos tables la demi-différence des angles A et B; or on connaît déji leur demi-somme. Pour avoir le plus grand. A, on ajoutera la différence h la demi-somme ; pour avoir le plus petit, Ij, on retranchera la demidifférence de la demi-somme.

Calcul du coté c. — On a :

sin C sin A '

Q ou c= ■

a sin C

Exemple. — Données :

C = îl" 25' 14"; a = 2I5'",,'JG; b = 18.3"', 47.

On trouvera :

TRIGONOMETRIE

TRIGONOMETRIE

Quatrième cas. — Etant donnés les trois côtés d'iin friaiir/le, calculer ses anrjles.

V Db la'formule (13) :

a- = A'^ -4- c2 — Vjc cos A, on lire :

En portant cette valeur de cos A dans l'égalité (20),

En réduisant 1 au dénominateur 'îbc et on effectuant la soubtraction indiquée, on obtient :

Or le trinôme 24c — b- — c^ est la même chose ,|Q(3 — (1/2 -)- c- — 26c), c'est-à-dire que le carré de {h — c) précédé du signe — ; par conséquent le numérateur placé sous le radical peut s'écrire ainsi :

«2 — (6 cf.

Or cette différence des carrés des quantités a et b—c est égale à la somme de ces deux quantités multipliée par leur différence ; on a donc :

et par conséquent :

sin ^ = V lE±mniE±±jl.

2 V ibc

Après qu'on a calculé les deux facteurs [a -\- b — c) et (ri — i + '•) au moven d'une addition et d'une soustraction, on met ces valeurs sous le radical, et l'expression se. calcule alors par logarithmes. Mais on lui donne une forme plus simple, en y introduisant le périmètre du triangle.

Pour cela on désigne le demi-périmètre par p, ce qui donne :

On en tire ensuite :

: îp — 2c= 2(;> — c), : 2p — 26 = i{p — h).

On substitue ces valeurs sous le radical, et on supprime le facteur 2 qui se trouve commun au numérateur et au dénominateur. En répétant les mêmes transformations pour les deux autres angles, on trouve :

sin S.= . /U'-al'p- C) i,,.^

sin g =>/p^ ")(?>-*) j

2° Si on porte la valeur ci-dessus de cos A dans régalité (;n,

rns-^ = t/l"+y^^S

on trouve, en répétant les moines transformations:

y ne

,/PJPS

V al

3° Enfin en divisant sin — par cos --, et faisant la même chose pour les deux aatres angles, on obtient :

p Ip — ")

5 /(p - »; ip - c)

2 V plp-b)

p jj - c)

Remarque. — On doit chercher séparément chacun des trois angles du triangle à l'aide des formules, afin qu'en faisant leur somme on ait une vérification de l'exactitude des résultats.

Or dans ce calcul il faut préférer l'emploi de la tangente, comme on l'a déji expliqué. En outre il y a ici un autre avantage, celui du n'employer que quatre logarithmes, tandis qu'avec les formules qui donnent les sinus on en aurait six à chercher et sept avec celles qui donnent les cosinus.

On commence par calculer le périmètre 2/;, puis le demi-périmètre p, et enfin les trois autres facteurs {j}—a), (p — /j), (/j-cj.En face ou au-dessous on écrit leurs logarithmes, et c'est alois qu'on applique les formules. Faute d'espace, nous nous bornerons à indiquer ce calcul.

Exemple. — On donne les côtés :

On trouve: 2 p = HiS ,374

log p = log (p — a) = log (p — 6) = log (p — c) =

Calcul de -^. — On a par les formules (29) :

A loj;(p-M-}-log(/i-c1-[lo^p-flH- ;)-«)]

Log 'b 2

log (p — 6) = 1,44736. log log (p — e) = l,."..i9V5. log

3,iHi6lil, 3,22i74.

2 log tg - = 1,78187.

log tg ô= lT8909i.

On trouvera pour les deux autres angles ; 6 = 57° 55' 21" C; = 4U° 19' OU".

TRIGONOMETRII