VOLUMES (MESURE DES

lient It'giunienient sa place parmi les plus grands liommes qu'ait comptés Ihumanilé. Homme, ses qualités l'emportèrent sur shs défauts. S'il fut injuste, rancunier, violent, terrible en ses Itaines, plus souvent encore il fut bon, sensible, oblige.nnt, généreux, prêt à aider qui en avait besoin de sabourse, de son crédit, de son talent. Plus d'un parmi ses plus acliarnés adversaires avait été d'abord son obligé. Écrivain, il rajeunit la scène, il crée l'histoire où il sera dépasse, mais par ses disciples ; il renouvelle la prose française ; il lui donne cette forme alerte, vive, courte, claire autant qu'élégante, si propre à faire d'elle le plus admirable instrument de la raison, et la dote de chefs-d'œuvre qui désormais serviront à tous de modèles. Il est un genre littéraire où il demeure sans égal ni dans son pays ni ailleurs : le conte et le roman philosophiques. Les lettres de Cicéron seules pourront être comparées aux siennes.

Par-dessus tout, il domine, il mène, il devance son siècle. Une légion de disciples le suit : il reste le chef du chœur. Il donne plus qu'il n'a reçu de tons les maîtres anciens ou modernes qui l'ont formé. Aujourd'hui encore que tout un siècle a vécu de sa pensée, il a quelque chose Rapprendre à ceux qui l'étiidient. Quelques lignes de lui font un sillon lumineux dans une intelligence. Il prend la pensée humaine au lendemain de la mort du grand roi, il la conduit jusqu'à cette explosion éclatante de 1789 dont nul autant que lui n'a hàlé l'avènement. Aucune vie, à travers tous les accidents de la destinée, toutes les vicissitudes de la ioitune. ne fut plus complètement, pins résolument, aussi, consacrée à une entreprise. Aucun homme n'a été plus entièrement I que Voltaire possédé par le démon intérieur, aucun n'a davantage sacrifié son repos, son plaisir, toutes les commodités et tous les agréments | de la vie à l'action qn il croyait mile : aucun ne s'est fait plus volontairement le serviteur, l'esclave, presque le galérien de son génie. C'est là son titre incomparable à l'admiration des hommes. Dès vingt ans il a entrevu une guerre à poursuivre au nom de la conscience, au nom de la raison, pour délivrer Ihumanité de préjugés et d'erreurs i|ui lui semblent aussi monstrueux que funestes. Toute sa vje si ra dirigée, sans répit, sans relâche, vers ce but unique. Quoi qu'il fasse, quelque tiraillé qu'il soit par les curiosités d'un génie presque universel, par une ambition qui veut conquérir toutes les palmes, ce but il ne le perdra jamais de vue. En quelque genre qu'il s'exerce, il fera converger tous ses effnrts au triomphe des mêmes idées. Il est tour à tour fantassin, cavalier, artilleur, général ou soldat, mais c'est toujours dans la njême bataille. Suivant le temps et les circonstances, il avancera, il reculera au besoin, masquera ses batteries, rusera avec l'ennemi, le trompera par de fausses manœuvres ; rien m; le décidera ni à changer de dessein ni à abandonner la partie. Il a la volonté, la ténacité, il a par-dessus tout la passion. Comme toutes les passions, la sienne est volontiers tans scrupule, prête à trouver bons tous les moyens s'ils sonL utiles, cherchant partout des alliés. C'est à la fin de sa vie surtout qu'il faut la voir éclater, lorscju'il sent ses forces bientùt épuisées, lorsqu'il voit lennemi qui fléchie avec quelle ardeur il se jette dans la mêlée pour décider la victoire, pour piécipiter la déroule ! avec quelle énergie il pousse en avant de position en position, enlevant les derniers retrancheniinis, bou.'culant les fuyards, emportant tout ce qui rô-iste encore! On a parfois rtvo(|Uéen doute la siiicériié de Voltaire, on n'a voulu voir en lui qu'un railleur, un sceptique. Quelle sottise I Eh ! quel scepticisme eût pu inspirer cetle persévérance, celte passion, cet acharnement obstiné 1 Quel scepticis-

me eût pu faire un homme à ce point ennemi de son propre repos ! Si jamais il y eut un homme de foi, ce fui tout au contraire Voltaire. Ce qui lui mit, ce qui lui tint plus de soixante années la plume à la main, ce fut sa foi profonde dans la raison, dans ses droits, dans la dignité de l'intelligence humaine, sa foi invincible au progrès s'accomplissant en dépit de tous hs obstacles par l'irrésistible force de la vérité. Il eût pu prendre pour devise ces mots : « J'ai cru, c'est pourquoi j'ai haï. »

Pour les uns cette œuvre fut sainte ; pour d'autres elle fut et restera longtemps diabolique. Chacun ici, suivant ses convictions différentes, portera un jugement différent, et nous n'avons à discuter les opinions d'aucun lecteur. On peut croire que dans cette longue guerre qui a été toute sa vie Voltaire s'est trompé : ce que nul ne saurait révoquer en doute, c'est sa sincérité, ce que nul ne saurait méconnaîire, c'est son courage. On discutera longtemps encore sur ce qui est la vérité ; mais ce qu'il y a incontestablement de plus noble, de plus enviable sur la terre, c'est une vie tout entière mise par un homme au service de ce qu'il croit être la vérité. Telle fut la vie de Voltaire. [Ch. Bigot.l

VOLL'.MKS (Mesure des). — Géométrie, XXVII et XXVIII. — Etym. : du latin volumen. Les livres, autrefois, étaient constitués par une feuille enroulée sur elle-même. Le sens de grosseur s'y est peu à peu attaché, et c'est ainsi qu'un mot désignant d'abord un objet parfaitement déterminé, est devenu l'un dos termes courants de la géométrie.

Le rolume&'un corps est la place plus ou moins considérable qu'il occupe dans l'espace. On emploie plus spécialement l'expression de capacilé, lorsqu'il s'agit de l'intérieur d'un corps creux. C'est ainsi que l'on dira, par exemple, le volume d'une brique et la cpacité d'un seau ; le volume du cristal d'une carafe et la capacité de cette caj rafe.

La notion de grosseur et de petitesse des objets I qui nous entourent, c'est-à-dire de leur volume, 1 est l'une des premières que les sens développent chez l'homme. Il a fallu cependant de longs siècles pour que l'évaluation des volumes s'effectuât par comparaison avec des unités nettemeni établies. i Les premiers temps historiques, à la vérité, nous onl légné la connaissance d'unités s'appliquant aux premiers éléments de transaciions, le vin, les graines, l'huile, etc. Mais il s'agit là de mesures effectives de capacité, et non des règles et des formules relatives à la mesure du volume des corps géométriques, règles et formules qui sont essentiellement modernes. Les Eléments de géométrie d Euclide, traduits et recopiés tant de fois, considèrent les volumes les ujis par rapport aux autres, mais indépendamment de toute unité choisie. On y démontre que deux prismes sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs, qm- la pyramide est le tiers du prisme de môme hauteur et de même base ; mais l'on n'y trouve pas ces énoncés : la mesui-e du prisme s'obtient en multipliant la base par la hauteur; la mesure de la pyramide, en prenant le tiers du produit analogue.

L enseignement, tout en suivant le développeluent graduel des facultés humaines, n'est tenu ni aux fausses tentatives, ni aux mécomptes, ni aux lenteurs que l'histoire de la science nous révèle. Il parait donc plus conforme à la méthode naturelle d'aborder simultanément les vérités géométriques relatives aux surfaces et celles qui se rapporlent aux volumes, et en tenant plutôt compte des analogies de forme que de la classification en figures planes et figures dans l'espace. La mesure du parallélipipèdo peut ètie déiuonlrée

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iniiTn5(liatement i la suite de la mesure du rectangle, et rien n'oblige, pour l'exposer, d'attendre que l'on ait épuisé le chapitre de la similitude des polygones et les tliéorèmns concernant le cercle. Au point de vue de la mesure de leurs volumes, les corps géométriques peuvent se diviser en trois catégories principales :

1" Ceux qui sont compris entre deux bases égales et parallèles, avec des faces parallélogrammes (prismes);

2° Ceux qui sont compris entre une base et un sommet, avec des faces triani;ulaires (pyramides) ; 3° Ceux qui sont compris entre deux bases parallèles et inégales, avec des faces trapèzes. (Pas de dénomination scienlitique. Nous les appellerons des volumes à tnlns. Les pyramides tronquées, les solides rappelant la forme des tas de cailloux de nos routes, sont renfermés dans cette catégorie. Le tronc de prisme triangulaire, si on le siippuse couché su*- une face, lui appartient également.)

PnisMES.

Rappelons qu'un prisme est droit, si les arêtes sont perpendiculaires aux bases. Sinon, il est dit oblique. Si les bases sont des parallélogrammes, le prisme prend le nom de parallélipipède. Le parallclipipède droit à base rectangulaire s'appelle parallélipipède rectangle. Il n'offre que des angles droits, et par conséquent sera facile à comparer :'i l'unité de volume, qui est le cube construit sur l'unité de longueur.

1. Voulons-nous compter le nombre d'unités de volume renfermées dans un paridlolipipède rectangle ? Mesurons la longueur, la largeur et la hauteur. Elles ont, supposons, respectivement &■», 4°", 3". Nous pouvons diviser le volume, par des plans parallèles aux bases, en cinq tranches de 1 mètre de liauteur. Chacune contient autant de mètres

par des nombres fractionnaires. Supposons la longueur do il™ 1/2, la largeur de 4"° 1/4, la hauteur 3'" 1/3. Ces nombres peuvent s'écrire 11/2, l7/i, et lli/3, ou, réduits au même dénominateur, 66;i"J, .')I/12, 40/12 de mètre. Le douzième du mètre est donc contenu GG fois dans la longueur, 51 fois dans la largeur et 40 fois dans la hauteur. Si l'on prend des cubes ayant pour arête 1/12 de mètre, on en pourra superposer 40 tranches, à raison de 6G x5l par tranche. Le volume proposé contient donc (i6x51X40 de ces cubes. Une opération analogue montre que le mètre cube en contient 12X12X12. Donc, enfin, le volume proposé renferme un nombre de mètres cubes égal à :

R6x51 X40 liX 12x 12

La règle s'applique donc à tous les cas.

Application. — Calculer le volume de la maçonnerie d'un mur de ("',^0 d'épaisseur, et de 2™, 50 de hauteur, entourant une cour carrée dont le côté intérieur égale 16"',20.

Le mur représente un parallélipipède ayant pour longueur totale 4 fois 16"", 20 plus 4 fois l'épaisseur (à cause des angles de la cour). Or,

16,20 X 4 -f 0,40X 4 = 16,60 X 4 = GC"',40.

Le volume de la maçonnerie égalC; dès lors :

2. Tous les priâmes droits de bases équivalentes et de mente hauteur, sont équivalents.

'/sXi'/4X3i/3=-'!"'Vii

cubes que l'on en pourrait placer sur sa base, c'est-à-dire autant que celle-ci contient de fois le mètre carré (fig. i). Chaque tranche contient donc 4X3 mètres cubes, et le total, cinq foie 4 X 3 ou 4X3X5. C'est le produit des trois dimensions. On peut aussi dire : le volume d'u7i parallélipipèile rectangle égale le produit de sa base par sa nauteur.

Cette démonstration peut être facilement mise en œuvre sous une forme intuitive et matérielle.

La règle ne change pas si les dimensions sont exprimées par des nombres décimaux. Supposonsles égales respectivement à 5 niêires, h 4"', 2 et à 3"° ,67. Traduisons ces nombres en ceniimètres et comparons le volume propesê au centimètre cube. En raisonnant comme plus haut, nous y trouverons 50U X 4211 X 367 centimètres cubes. Mais le centimètre cube étant KiiiiKmode fois plus petit que le mètre cube, le nombre précédent sera réduit en mètres cubes si on le divise par 1 OUOOOO, ou, ce qui revient au même, si l'on effectue le produit 5x4,2x3, U7 en ayant égard h la règle de la multiplication des noiribres décimaux.

Enfin, les dimensions peuvent être exprimées

Prenons d'abord un exemple familier : voicideux paquets de règles pareilles (fig. v). Si ces deux paquets en cnntieiment le même nombre, peu importe leur différence d'aspect; ces deux prismes de bases équivalentes et de même hauteur représentent un égal volume de bois.

Imaginons maintenant un faisceau d'aiguilles

. Fig. 3.

extrêmement fines (fig. 3). Pour que ce faisceau s'ajuste exactement dans un moule ou une boîte, que faut-il ':• \:n premier lieu, que le fond de la boite soit exactement recouvert par les extrémités de la totalité des aiguilles ; puis, que la profondeur

de la boite égale la longueur des aiguilles. On pourra donner au faisceau, en le froissant, telle physionomie que l'on voudra ; il s'ajustera, en conservant son volume, dans toute capacité offrant même surface de base et même hauteur.

On peut concevoir ainsi qu'un prisme droit quelconque soit divisé, suivant la direction des arêtes, en une infinité d'aiguilles très délices. Celles-ci, en glissant les unes contre les autres, peuvent, par une juxtaposition convenable, transformer le prisme en un parallélipipède rectangle de base équivalente, de même hauteur et de même volume. Le produit de la base par la hauteur, qui fait connaître le volume de celui-ci. fera donc également connaître le volume de celui-là.

3. Deux prismes, l'un oblique, l'outre droit. de même base et de méyne hauteur, so7it éi>'ivulents.

Plaçons sur la même table, côte à côte, deux

Fig. 4.

piles bien droites de cahiers de même format; puis laissons la main glisser obliquement le long du flanc de l'une d'elles (fig. 4). Celle-ci vient à pencher.

Elle a changé de forme, mais non de grandeur. La base et la hauteur sont restées, d'ailleurs, les mêmes, et leur produit, qui donnait le volume droit, donne encore le volume oblique.

De même, si l'on divise un prisme droit quelconque, par des plans parallèles à sa base, en tranches extrêmement minces, et qu'on fasse glisser uniformément ces tranches les unes sur les autres (fig. 5), le prisme peut prendre toutes les inclinaisons en conservant et sa base, et sa hauteur, et son volume. Réciproquement, un prisme oblique étant donné, on pourra, par sa division en tranches et le glissement de celles-ci, l'amener à être droit.

4. Il résulte do ce qui précède que le prisme oblique, comme le prisme droit équivalent, a pour mesure lu produit de sa base par sa hauteur.

Applications. — I, Calculer la capacité d'un bassin he.\agonal régulier dont la base a 2™,5U de côté, et dont la profondeur égale 0",80.

L'expression de la surface de l'hexagone régulier (V. Aires) est :

Le rayon de l'hexagone est d'ailleurs égal à soncôté. La surface de base du bassin proposé égaledonc :

et son volume :

Sxâiï^ X ^3X0,40= 129'"',900=1399 hectol.

II. — Calculer, à raison de GO fr. le mètre cube, le prix par mètre courant d'un mur de soutènement ayant 3™, 20 de hauteur et On',911 d'épaisseur à sa base. La face interne du mur est verticale, et la face externe a un fruit do Vio-

On appelle souvent fruit d'une droite inclinée, le rapport de la projection horizontale h la projetante correspondante. Le fruit est l'inverse de lapente. Si le fruit du mur est de i/jo, une face étant verticale, l'épaisseur diminue de U",IO pour chaque mètre je hauteur; cette épaisseur se réduit alors, au haut du mur, à Ù°',OU — 0™,32 = 0™,58.

Le volume cherche est donc celui d'un prisme couché, ayant pour hauteur (placée horizontalement) I mètre, et pour base la coupe verticale dumur, c'est-à-dire un trapèze où B = 0,90; 4^0,58 et A = 3,20.

Vol. de la maçonnerie : '/2(0,90 + 0,5.S) X 3,20 x 1. Prix 0,74X3,20X1 X60 = 142',08.

5. On appelle section droite d'un prisme oblique, la section obtenue à l'aide d'un plan perpendiculaire aux arêtes.

Tous les prismes ayant même section droite et mêmes longueurs d'arêtes, S07it éqiiivaltnts.

Considérons, en effet, le plus simple, le prisme

droit; soit le prisme droit de la figure 6. Couponsle par un plan oblique quelconque MXPQR. Séparons les deux portions de volume déterminées par cette section et plaçons au-dessus celle qui se trouvait au-dessous, de manière que les arête» de l'une prolongent les arêtes de l'autre. (Deui perpendiculaires au même plan AECDE, eu un même point A, ne forment qu'une seule et même ligne droite. Ainsi des autres.)

Le prisme droit se trouve ainsi transformé en un prisme oblique ayant même section droite, mêmes arêtes et même volume. La direction du plan sécant MNPQK étant d'ailleurs arbitraire, on peut obtenir autant de prismes obli(|ues qu» l'on voudra, ayant tous même section droite et même longueur d'arêtes. Tous ces prismes obliques sont équivalents au prisme droit et équivalents entre eux.

G. De ce qui précède, on conclut cette se* conde expression du volume d'un prisme obliquej

le volume d'un priume oblii/ue peut s'obtenir en' multipliant la section droite par l'arête.

On a rarement l'occasion d'user de ce procédé. En voici toutefois un exemple d'application indirecte :

Un prisme droit (fig. G) est coupé par un plan incliné à 45° sur les arêtes. La surface de la base égale 0""i,(J6 ; les arêtes égalent 0™,'JU. On demande la surface de la section MNPQH.

Transformons le prisme droit en un prisme oblique équivalent, et concevons la hauteur de celui-ci abaissée do l'extrémité d'une arôto ; elle forme, avec l'arête et sa projection sur le plan de la base, un triangle rectangle. L'arête étant inclinée à 45° sur le plan de base, ce triangle rectangle est isoscèle, et l'on a :

:2/|2=0,!jO"

/i = 0,90:V2- Comme le prisme oblique équivaut au prisme droit, le produit do la base par la hauteur égale le produit de la section droite par l'arèto, ou :

0°"i,G5 X 0,90 = MNPQR X 0,90 : VÏ et par conséquent :

Surr.MNPQR =