II. Pyramides

8. Considérons deux pyramides de forme différente, mais possédant des bases équivalentes et des hauteurs égales. Divisons-les lune et l'autre en un même nombre de tranches très minces, de même épaisseur (flg. 7). Deux tranches situées au môme niveau ont le môme volume, car si les

Fif. 7.

sections qui les donnent passent au tiers de 1» hauteur par exemple (à partir du sommet), les côtés de chaque section valent le tiers des côtés correspondants do la base, et la section vaut, en surface, '/s de cette base. Les prismes minces dont l'accumulation forme chaque pyramide ont donc, deux ;"i deux, même section, même épaisseur et par conséquent même volume.

Leurs sommes respectives, c'est-à-dire les deux pyramides, sont donc des quantités égales.

Concluons de là que des pyramides de bases /équivalentes et de même hauteur sont équivalerites.

9. Toute pyramide e^-t l/- tiers du prisme de même base et de mc'me huiducr.

On l'aperçoit directement, si la pyramide est triangulaire. Prenons, en effet, un prisme ayant la base et la hauteur delà pyramide proposée (fig. 8); coupons-le, comme sur la figure, par le plan passant par l'extrémité supérieure de l'arête de gauche et le côté opposé de la base; nous en détachons ainsi la pyramide de gauche, équivalenteh la proposée.

Qu'est-il resté du prisme? La pyramide quadrangulaire reproduite à part (flg. 9). Un second plan de section divise celle-ci en doux pyramides triangulaires équivalentes, car chacune a pour hauteur la hauteur de la pyramide quadrangulaire, et pour base la moitié de la base quadrangulaire. Mais la pyramide d'arrière peut être regardée comme ayant son sommet en bas et sa base en haut. Elle est aussi équivalente à la proposée. Dès lors, les trois pyramides sont équivalentes, et chacune est le tiers du prisme.

Si la pyramide proposée a pour base un polygone quelconque, elle équivaut à la pyramide triangulaire de base équivalente et de même hauteur (n" 8), et vaut, comme celle-ci, le tiers du prisme de môme base et de hauteur égale.

Le volume d'une pyramide s'obtiendra, par conséquent, en mullipliaut sa base par le tiers de sa hauteur, ou, ce qui revient au môme, en prenant le tiers du produit de la base par la hauteur.

Applications. — - I. — La plus grande pyramide

dTÉgypte a HG mètres de liaiii; elle a pour base un carré de 237 mèires de côté. On en demande le volume et le poids, le décim. cube de pierre pesant 2', 6.

Le volume de cette pyramide égale :

Le poids, à raison de 2600 kil. par m. c, sera : 2733558x2600 = 7107Î508 kilogrammes.

II. — A quelle hauteur s'élèvera un tas de sable, en forme de pyramide à base carrée, si les faces sont inclinées a 45 degrés? Le volume du tas est de 2»%304.

Désignons par x le côté du carré de base de la pyramide. Les lignesde pente des quatre faces étant inclinées à 45° sur le plan de la base, la coupe verticale du tas est un triangle reclangle isoscèle dont l'hypoténuse égale le coté du carré de base. La hauteur de ce triangle de coupe est précisément celle de la pyramide et vaut '/s de x. Le tiers de cette hauteur vaut '/g de x. Le volume :

d'où:

^» =2,304x6 = 13,824, et :

1 = Via, 824 = 2,40.

Le tas s'élèvera h 1",20 de hauteur.

10. Volume dn cône — Tout ce qui a été dit à propos de la pyramide et qui ne dépend ni du nombre, ni de létroitesse des faces, est applicable au cône, lequel peut être regardé, quelle que soit sa forme, comme une pyramide dont la base s'est arrondie.

Un cùne est donc le tiers du cylindre de même base et de même hauteur, et l'on en obtiendra le volume en multipliant la surface de hase par le tiers de la hauteur. Si la base est un cercle, l'expression du volume est :

Application. — Un quart de cercle, de 0™,12 de rayon, est enroulé sur lui-même, de manière que les deux rayons extrêmes se rejoignent. On demande la raparlté du cùne creux ainsi formé.

La circonférence de base dn cùne provient de l'arc du secteur enroulé et vaut par conséquent, en prenant le centimètre pour unité :

le rayon de base du cône égale donc :

R = circon f. : 2ît = tjîi : 27t = 3^".

Quant à la hauteur du cône, elle forme avec l'apothème, égal à 12 cent., et le rayon de base, égal à 3 cent., un triangle rectangle qui donne :

H2=12" — 3^ = 1.35 et H = Vl35= ir",61. et enfin :

V='/s'rX32 xll,Cl = wX34,83 = 109'"»«,422.

11. Volume d'un polyèdre irrégulier. — De môme que, pour évaluer la surface d'un polygone quelconque, on peut le décomposer en triangles; de même, on peut chercher le volume d'un polyèdre quelconque en le décomposant en pyramides.

Si l'on choisit un point à l'intérieur du polyèdre et qu'on le joigne à ses différents sommets par des lignes droites, on déterminera autant de pyramides que le polyèdre compte de faces, chacune de celles ci étant la base d'une pyramide. La somme des volumes des pyramides, successivement calculés, donnera le volume du polyèdre.

Ce moyen est pluiôt théorique que pratique. Il peut arriver, toutefois, que certaines simplifications se présentent. Par exemple, si toutes les faces du polyèdre snnt i égale distance d'un point intérieur, ou, en d'autres termes, si le polyèdre est circonscrit à une sphère. En prenant alors le centre comme sommet commun des pyramides, celles-ci possèdent des hauteurs égales; et, comme le tiers de la môme hauteur multiplie successivement toutes les bases (faces du polyèdre), on peut dire que le volume cherché égale le produit de la surface totale du polyèdre par le tiers du rai,on de lu spitère inscrite.

Tel est le cas, en particulier, pour les polyèdres réguliers.

12. Volume de la sphère. — La sphère ellemême peut être regardée comme constituée par une infinité de pyramides extrêmement déliées, ayant pour sommet commun son centre et se terminant à sa surface.

Telles nous apparaissent, par exemple, les boules tombées de nos platanes. Chacune présente une réunion d'innombrables épingles naturelles; les têtes forment la surface extérieure de la boule, les pointes convergent au centre.

En marquant, d'une façon analogue, sur la surface d une sphère, des points très r.ipprochés les uns des autres et en les joignant au centre par des rayons, on remarque que trois rayons voisins donnent naissance il une petiti' pyramide (fig, 11). Chacune a pour base l'étroit espace découpé sur la sphère, entre les extrémités des trois rayons. La hauteur, pour toutes, est la distance du centre de la sphère à sa surface, c'est-à-dire le rayon de la sphère.

Le volume constitué par l'ensemble des pyramides, ou la sphère entière, égale donc l'ensemble de leurs bases, ou la surface sphériqiie, que multiplie le tiers du rayon.

D'ailleurs, la surface de la sphère égale îtiR^.

Par suite :

Vol. sph. = 47IrR'xV3R = V.•^1R^ OU, on prenant tu = 3,141G :

Vo\. sphère = 4,1888 xR3.

Applicalùma. — 1. — Calculer la capacité d'vino bassine en cuivre ayant la forme d'une demisphère de (l",4s de diamètre.

Prenons le décimètre pour unité :

Vol. </, spli. = 2,0944 xR'

II. — Calculer le rayon d'un ballon qui, entièrement gonflé, olTre un volume de 2001) mètres cubes.

On a :

4,1888 XR' = 2000,

d'où:

et:

13. Secteur sphérique. — Un secteur spliérique peut être limité, sur la splière, par une zone à une base ou une zone à deux bases (fig. 12). Dans

14. — La règle générale de mesure des volumes à talus repose sur la remarque suivante :

Si l'on joint le milieu do l'un des cotés non parallèles d'un trapèze aux extrémités des deux bases parallèles (fig. l3), la ligne brisée AFD partage le trapèze en deux surfaces équivalentes.

l'un et l'autre cas, on répétera, sur cette portion du volume spliérique, ce qui a été dit relativement Ji la sphère. Un secteur spliérique peut être décomposé en une infinité de pyramides déliées, rayonnant du centre et se terminante la zone qui seit de base au secteur sphérique. La liauteur commune de ces pyramides est le rayon de la sphère. L'ensemble de leurs bases fournit la zone. Le volume du secteur sphérique égale donc sa zone multipliée pur le tiers du rat/on de la spfiére. Comme la zone a pour surface 27iR/i, on aura :

Vol. sect. sph. = 27iR/iX'/3R = VstR-''.

formule d'une application, d'ailleurs, peu fréquente.