III. — Volumes a ulus

Dans cette catégorie se rangent, avons-nous dit, tous les polyèdres compris entre di ux bases parallèles inégales, et des faces trapèzes ou triangles, inclinées d'une façon quelconque. Tels le tas de cailloux des routes, le solide à arête horizontale et à base quadrangulaire que représente un toit k quatre pentes; telle encore une pyramide tronquée. La pyramide tronquée n'offru qu'un cas particulier des volumes à talus. Pour qu'un polyèdre de ce genre soit un tronc de pyramide, il faut, en effet, que ses arêtes, prolongées, convergent en un même sommet.

Cette circonstance se produira si les deux bases du polyèdre sont semblables, c'est-à-dire — puisque leurs côtés sont parallèles et par suite leurs angles égaux — si les dimensions de ces deux polygones sont proportionnelles.

Un polyèdre i bases parallèles triangulaires est toujours un tronc de pyramide ; car, pour que deux triangles soient semblables, il suffit qu'ils aient les angles égaux.

En effet, les deux triangles ABF, DFG ont pour hauteur la moitié de la hauteur h du trapèze. Leurs surfaces sont respectivement :

AR h CD h

La somme de ces surfaces :

AB-(-CD ^h 2— ><'2'

égale bien la moitié du trapèze.

Le triangle AFD est l'autre moitié. Si l'on joint le point F au point E, milieu de AD, le triangle AFD est lui-même divisé en deux parties équivalentes, et AFE est le quart du trapèze.

1 5. — Tout volume à talus égale le produit obtenu en multipliant, par le sixième de sa hauteur, la somme de la grawle base, de ta petite et de quatre fois la section prise à égale distance des buses.

En appelant 4 et B les deux bases et G la section moyenne, la formule est :

V = |(B-fi-f4C). ■

Décomposons le volume en pyramides, en prenant le point S sur le plan MNPQR parallèle aux bases et passant à mi-hauteur (fig. 14).

Fig. 14.

Fig. 15

En joign;int ce point S à tous les sommets du polyèdre, nous déterminons:

r Une pyramide SABCDE ayant pour base b et pour hauteur 1/.: h; son volume égale:

bX^hr-

:ix'

YOLUMES (MESURE DES)