lOOOO

Elles montrent que le logaritlime de 10 est 1 ; que le logarithme de lOU est ;' ; que celui de 1000 est 3 ; celui de 10000 est 4, etc. La base est donc 10.

Mais comment a-t-on pu calculer les logarithmes

des autres nombres entiers 2, 3, 4 ,11, 12, 13, etc.?

C'est ce que nous devons essayer de faire comprendre.

Pour cela, imaginons qu'on insère un même nombre de moyens proportionnels, 15 par exemple, entre 1 et 10, ejure 10 et 100, etc., dans la progression par quotient, et autant de moyens différentiels entre 0 et 1, entre 1 et 2, etc., dans la progression par différence (V. Progressions). Ces moyens placés entre les termes des deux progressions précédentes formeront avec eux deux nouvelles progressions. La progression par différence

aura pour raison — la progre-ission par quotient

aura pour raison la racine seizième de 10.

On peut obtenir la racine seizième do 10, en extrayant d'abord la racine carrée de 10; puis la racine carrée de cette racine carrée, ce qui donne la racine quatrième; puis la racine carrée de la racine quatrième, ce qui donne la racine huitième, et enfin la racine carrée de la racine huitième, ce qui donne la racine seizième. Cette racine seizième de 10 est incommensurable; elle a pour valeurapprochée 1,154^8: représentons-la par A.

Nous avons alors les deux progressions :

«!:/(. -A': 43; lOrlOA: WkH 100: (8)

Les nombres entiers 2, 3, 4, 5, etc., ne se trouvent pas dans la progression (8), puisque les termes qui ont été insérés sont incommensurables ; mais le nombre entier 2, par exemple, sera compris entre deux termes consécutifs. On trouverait qu'il est entre A* et k^. Le logarithme de 2 sera donc

compris lui-même entre — ,qui est le logarithme

de k', et — qui est le logarithme de k^, c'est-à-dire

lo entre 0,25 et 0,3125. Par conséquent, en prenant 0,25 pour le logarithme de 2, on aurait un logarithme trop faible, mais affecté d'une erreur moindre que -—., et à plus forte raison -moindre que 0,1.

C'est de la même manière qu'on pourrait déterminer les valeurs approchées des logarithmes des autres nombres entiers.

Il est évident qu'avec une approximation aussi faible, les logarithmes ne rendraient pas de bien grands services ; mais l'approximation sera d'autant plus grande que le nombre des moyens insérés sera plus considérable. Ce qui précède doit .suffire pour donner une idée de la construction des tables de logarithmes avec 5 décimales, ou môme avec 7 décimales.

VI. — Cahactéristique d'un log.*rithme. — Les deux progressions (6) et (7) montrent que les logarithmes des nombres entiers depuis I jusqu'à 10 exclusivement s'étendent depuis 0 jusqu'à 1 ; que les logarithmes des nombres entiers depuis 10 jusqu'à 100 s'étendent depuis 1 jusqu'à 2 ; que ceux des nombres entiers depuis loo jusqu'à 1000 s'étendent depuis 2 jusqu'à 3, etc. Ainsi pour les nombres entiers d'un chiffre, les logarithmes ont

tous 0 à leur partie entière ; pour les nombres entiers de 2 cliiffres, les logarithmes ont tous 1 à leur partie entière ; pour les nombres entiers de 3 chiffres, les logarithmes ont tous 'i à leur partie entière. En d'autres termes, il y a autant d'unités à la partie entière dit logarithme d'un nombre entier qu'il contient de chiffres moins un.

Cette partie entière du logarithme, que l'on reconnaît à l'inspection du nombre, se nomme caractéristique. On doit toujours l'écrire avant do chercher la partie décimale dans les tables, comme on va l'expliquer dans ce qui suit.

VII. — Logarithmes hes nombres entiers terminés PAR des zéros. — Soit le nombre 630 ; comme il est égal à 63 X 10, son logarithme sera égal au logarithme de di plus le logarithme de 10 qui est 1. Or on trouve dans les tables :

log. C3= 1, '19934.

En ajoutant 1 à ce logarithme, on aura :

log. 0-30 = 2,79934.

Le logarithme de 100 étant 2, on aurait de même :

log. 6300 = 3,79934.

De ce qui précède résulte la règle suivante : pour avoir le logarithme d'un nombre entier terminé par des zéros, on écrit d'abord- sn caractéristique conformément à la règle précédente ; puis on lui donne pour sa partie décimale la partie décimale qu'on trouve dans la table, pour te nombre entier considéré sans ses zéros.

Observation. — Quelques auteurs désignent la partie décimale d'un logarithme par le nom de mantisse emprunté aux Allemands. Il ne serait pas moins utile de trouver quelque dénomination moins longue que le mot caractéristique pour la partie entière du logarithme. Pourquoi ne diraiton pas, faute de mieux, ïentier (le nombre entier) ?

VIII. — Logarithmes des nombres décimaux. — 1° Le nombre est plus grand que 1. — Soit 153, B. Ce nombre étant lo quotient de 1536 divisé par 10, son logarithme sera égal au logarithme de 1538 diminué du logarithme de 10, qui est I.

Or le logarithme de 1536 est 3,18639; on aura donc:

log. 153,6 = 3,18639 — 1 ou:

log. 153,6 = 2,18639

Soit encore le nombre 1,536. Le nombre étant le quotient de 1536 divisé par lOHO, on trouvera son logarithme en étant au logarithme de 1536 le logarithme de lOOl), qui est 3. On aura donc:

log. 1,536 = 0,18639

Ainsi quajid un nombre décimal est plus grand que 1, la caractéristique de son logarithme est ta même que celle de la partie entière du nombre, et pour avoir ta parti'- décimale, on prend dans In table le logarithme du nombre comme si ce nombre était un nombre entier.

2" Le nombre décimal est plus petit que 1. — Si on divise par 10 le nombre décimal 1,5.36, on a 0,1536; le logarithme de 0,1536 sera par conséquent égal au logarithme de 1,536 diminué de 1. On aura donc

log. 0,1 536 = 0,186.39—1.

Ne pouvant pas .soustraire 1 du nombre plus faible 0,18639, on se borne à indiquer la soustraction ; seulement comme il n'y a que zéro à la partie entière, on y place le nombre entier soustractif, en ayant soin de mettre le signe de la soustraction au-dessus de lui, de la manière suivante :

LOGARITHMES

log. 0,1536 = 7,18639.

LOGARlTHxMES

Divisons encore 0,1536 par 10, ce qui donne 0,01536; on obtiendra de même le logarithme do 0,015)6, en retrancliant 1 au logarithme de 0,1536 ; on aura ainsi :

log. 0,01536=^,18639.

Ainsi quand wi nombre décimal est inférieur ii 1, la caractéristique de so}i logaritiime est négative, et le nombre d'unilés dont elle se compose est marqué par le ranq qu'occupe à droite de la virfjule le pre-nier chiffre significatif du nombre décimal; la parti'i décimale du lo'/arithme est la me'me que si le nombre décimal était iin nombre entier.

Ce qui précède est résumé dans la règle suivante :

Pour avoir le logarithme d'un nombre décimal, on le cherclie dans la table comnio si le nombre n'avait pas de virgule ; quant à la caractéristique, on lui donne autant d'unités qu'il y a de chiffres moins un à la partie entière du nombre décimal quand il est plus grand que 1 ; s'il est plus petit que 1, on donne à la caractéristique un nomlire d'unités négatives marqué par le rang qu'occupe le 1" chiffre significatif du nombre décimal à droite de la virgule.

IX. — Logarithme d'une fraction ordinaire. — Une fraction ordinaire n'étant que le quotient de la division du numérateur par le dénominateur, on obtiendra le logaritiime de cette fraction, en retranchant du logarithme du numérateur le logarithme du dénominateur.

Cette opération ne présente rien de particulier quand le dénomin.ateur est plus petit que le numérateur; mais elle exige quelques explications dans le cas contraire.

Soit par exemple à chercher le logarithme de —

En appliquant la règle, on aura :

-r- = log. n — log. 24

Or les tables donnent :

log. 17 = 1,23045 log. 24= 1,38021.

Il s'agit donc ici de retrancher le plus petit logarithme du plus grand. Voici comment on opère:

Oti ajoute à la caractéristique du plus petit loi/nrilhme le nombre d'unités suffisant pour ren'Ire t:e logarithme sitpériew à l'autre, et on effectue alors la souitraction. Puis on diminue le resle d'autant d unités qu'on en avait ajouté au premier logarithme, ce qui revient à donner ce nombre d'unités pour caractéristique au resle, avec le signe — au dessus.

Dans l'exemple ci-dessus, on augmentera de 1 le logarithme de 17; du nombre ainsi obtenu on retranche 1 ,3S0'2 1 , ce qui donne pour reste 0,85024 ; puis diminuant ce reste de 1, on aura

Celte règle sera toujours applicable, même dans le cas d'une division de nombres décimaux ; m lis pour plus de facilité, on aura soin de multiplier d'abord le dividende et le diviseur par 10, 100, lOilO, etc., pour les convertir tous deux en nombres entiers. Par exemple, si l'on avait à trouver

le logarithme de -1 — — , on chercherait le loga-

rithme de —-—

X. — Soustraction des logarithmes a caractéristique négative. — Si l'on voulait obtenir le 0.11017 0,024 nombres en nombres entiers, on devrait de :

log. 0,0017 =^,23045 retrancher :

log. 0,024 = 2,.'i802I.

On effectue d'abord la soustraction sur la partic décimale; puis, comme on a augmenté de 10 dixièmes le chiffre 2 des dixièmes du premier logarithme, on augmente de I le chiffre 2 de la colonne suivante dans le deuxième, conformément à la règle ordinaire, ce qui donne 2 -|- 1 ou 1 à retrancher de ¥.

Or pour soustraire d'un nombre quelconque un nombre négaiif, il faut ajouter au premier le nombre ncgaiif pris comme nombre positif, c'està-dire débarrassé du signe — . On retranchera donc Tde lï en ajoutant 1 à 3, ce qui donne pour reste J (V. Algèbre, règle de la soustraction). On trouvera ainsi :

log. •

XI. — Division d'un logarithme a caractéristique négative. — Il arrive souvent qu'on a à diviser par un nombre entier un logarithme dont la caractéristique est négative. Si cette caractéristique est divisible par le nombre entier, ce qui a lieu, par exemple, dans la division de 7,85024 par 2, il n'y a aucune difficulté; car on a alors T,42512.

Il n'en serait pas de môme, si l'on avait à diviser ce logarithme par 3. Dans ce cas, la caractéristique négative 7 n'étant pas divisible par 3, il fau' remplacer "3 par jT, ce qui diminue le logarithme de 1 ; mais par compensation on ajuute une unité devant la partie décimale positive. On remplace ainsi

2,85024 par 3 -f- 1,85024.

En effectuant ensuite la division par 3 sur la partie négative et sur la partie posiiive, on trouve :

Observation. — Dans la division d'un logarithme, on conserve au quotient le môme nombre de chiffres décimaux que dans le logarithme ; mais on doit toujours augmenter de 1 le dernier chiffre conservé, lorsque le chiffre suivant que fournirait la division est 5 ou plus grand que 5. D'après cette règle, on aura :