III. — RÈGLES POUR LE CALCUL LOGAIIITHMIOL'E
1" Lu loijnrithme du produit de den.i ou de plusieurs fadeurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.
C'est la propriété fondamentale que nous venons de faire remarquer sur les deux progressions (1) ■et (2). En effet le troisième terme '2d et le quatrième terme .Irf de la progression par différence sont les logarithmes du troisième terme ç* et du quatrième q^ de la progression par quotiejit, et la somme des deux premiers, bd, est le logarithme du terme 9', qui est le produit des deux autres. Soit donc p le produit des trois facteurs a, b, c; on aura :
log.p = log. a + log. b -f log. c
S° Le logarithme du quotient de deux nombres esi égal au logar.'tlime du dividende diminué du logarithme du diviseur.
En effet le dividende étant le produit du diviseur multiplié par le quotient, son logarithme est la somme des logarithmes du divi-^eur et du quotient; par conséquent on aura le logarithme du quotient en retranchant le logarithme du diviseur de celui du dividende. C'est ce qu'on peut présenter ainsi: soit p le produit de a par b, on aura d'après le principe précédent :
log. p = log. a -|- log. 6
;p — log. a
Nota. — On verra plus loin comment se fait la soustraction quand le logarithme du diviseur surpasse le logarithme du dividende.
3° On obtient le logarithme d'une puissance d'un nombre en multipliant le logarithme de ce nombre par le degré de la pui'sonce.
Cette règle n'est autre que la première, dans le cas où les facteurs du produit sont égaux. En effet on a par exemple :
D'après la première règle on aura :
log. «3 = log. a -f log. a + log. a ou :
log. n' = 3log. n
Aussi pour trouver le logarithme du carré d'un nombre, on multiplie le logarithme de ce nombre par 2; pour avoir le logarithme de son cube, on multipliera son logarithme par 3, etc.
k" On obtient le logarithme d'une racine d'un nombre en divisant le logarithme de ce nombre par le degré de la racine.
En effet on a d'après la règle précédente :
log. «2 = 2 log. a log. 63 = 3 log. 6
Or dans ces égalités a est la racine carrée de aet b est la racine cubique de 4^; on en tire :
log. a =
log. a'
IV. — Divers systèmes de logarithmes. — A une même progression par quotient commençant par 1, peuvent correspondre diverses progressions par différence commençant par zéro. Soit une progression par quotient ayant 'J pour raison, et deux progressions par différence ayant pour raison l'une
0, 1 et l'autre - :
Les termes 0,1 et r seront tous deux logarith-
mes du nombre 2 ; les termes 0,2 et ■- seront les
logarithmes du nombre 4, etc. Il y a donc une infinité de systèmes de logarithmes.
On appelle base d'un système de logarithmes le nombre qui dans ce système a pour logarithme l'unité. Ainsi dans le système fourni par la progression (5) la base serait G. Dans tous les systèmes le logarithme de 1 est 0.
V. — Logarithmes viilgaires. — On désigne par ce nom les logarithmes dont l'usage est général. Ce
LOGARITHMES
LOGARITHMES
sont cfiux qui so trouvent dans les livres intitulés : Tdldcs (te logarithmes.
Ke système des logarithmes vulgaires est fondé sur les deux progressions suivantes :
