Le caractère de l'enseignement doit être un

peu moins élémentaire : on pourra faire moins constamment usage des méthodes intuitives recommandées dans le cours de l'année précédente ; cependant on devra toujours opérer, autant que possible, sur des unités concrètes et choisir comme exemples des problèmes d'une application usuelle.

On étendra la numération à des nombres quelconques ; toutefois il ne paraît pas utile d'aller au delà des milliards ou billions. Dans l'addition, on pourra donner pour exemple, au besoin, des colonnes de vingt ou trente nombres, mais des nombres de quatre à cinq chiffres suffiront ; il ne faut pas que les opérations proposées deviennent un labeur sans intérêt. Dans la multiplication, on remarquera le cas où les facteurs sont terminés par des zéros. — On examinera le cas analogue dans la division.

10. L'étude des nombres décimaux ne doit être abordée, selon nous, que lorsque les élèves sont suffisamment exercés sur le calcul des nombres entiers. Avant d'entamer les opérations, on insistera sur la numération décimale, sur les changements qu'amène le déplacement de la virgule, sur la faculté d'écrire des zéros à la droite, etc.

L'addition et la soustraction des nombres décimaux n'offrent aucune difficulté. Dans la multiplication, il faudra remarquer que le sens de l'opération a changé : multiplier un nombre par 0,75 par exemple, c'est répéter 75 fois la 100e partie de ce nombre ; et cette opération porte le nom de multiplication parce qu'elle résout les problèmes analogues à ceux qui exigeraient une multiplication s'il s'agissait de nombres entiers ; il sera aisé de le faire comprendre par des exemples simples.

Dans la division, ce qu'il y a de plus commode est d'appeler quotient un nombre qui, multiplié par le diviseur, donne pour produit le dividende. On ne distinguera que deux cas : celui où le diviseur est entier, et celui où il est décimal ; on ramène le second cas au premier, en supprimant la virgule du diviseur et multipliant le dividende, par 10, 100, 1000, etc., selon que le diviseur avait J , 2, 3 décimales, etc. On ne craindra pas de multiplier les exemples de multiplication ou de division, en résolvant des problèmes d'un intérêt pratique.

11. On aura à démontrer que multiplier un nombre par un produit de deux facteurs revient à multiplier successivement par chacun de ces facteurs. On connaît la démonstration. Pour faire voir, par exemple, que multiplier 5 par 12 revient à multiplier 5 par 4, et le produit par 3, on forme le tableau suivant :

5 5 5 5 qui renferme 3 lignes contenant chacune 4 fois le nombre 5, ou 4 colonnes renfermant 3 fois ce même nombre ; le résultat doit rester le même de quelque façon que l'on fasse l'addition.

On aura ensuite à exposer les caractères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6 et 9, ce qui n'offre aucune difficulté ; et l'on se servira du caractère de divisibilité par 9 pour faire la preuve de la multiplication et de la division.

12. Le calcul des fractions ordinaires exige quelques notions préliminaires. Les élèves n'ont vu que les fractions décimales : l'idée générale de fraction ne peut être encore nettement formée dans leur < sprit. Pour introduire cette idée, les moyens intuitifs pourront être utiles. Si, par exemple, on divise une règle en 12 parties égales, et qu'on prenne la longueur de la règle pour unité, ses divisions fourniront des longueurs représentant : £ ; £ ou J ; £ ou \ ; £ ou j ; £ ; & ou \ ;

f; enfin {{. On s'en servira

ARITHMÉTIQUE

ARITHMETIQUE

pour faire comprendre ce que c'est qu'une fraction, le rôle de ses deux termes, les différentes formes dont une même fraction est susceptible. On montrera comment, à l'aide des caractères de divisibilité précédemment étudiés, on peut souvent réduire une fraction à une expression plus simple; mais on ne recherchera pas sa plus simple expression : cette recherche doit être réservée pour le cours supérieur. Dans la réduction des fractions au môme dénominateur, on indique la simplification qui se présente quand l'un des dénominateurs, ou un multiple simple de ce dénominateur, est divisible par tous les autres ; mais la recherche du plus petit dénominateur commun sera également réservée pour le cours supérieur.

Ces préliminaires établis, l'addition et la soustraction n'offriront plus de difficulté. Dans le cas où l'on a à soustraire d'un nombre entier accompagné d'une fraction un autre nombre entier accompagné d'une fraction, il peut arriver que la fraction qui accompagne le plus petit nombre soit la plus grande ; dans ce cas, après avoir réduit les deux fractions au même dénominateur, il faut ajouter à la plus petite une unité, sous la forme d'une fraction de même dénominateur, effectuer la soustraction devenue possible, et augmenter d'une unité le plus petit des deux nombres entiers.

13. Pour faire comprendre la multiplication, on fera ce que l'on a déjà fait à l'occasion de la multiplication des fractions décimales ; on partira de cette définition que multiplier, par exemple, un nombre par |, c'est en répéter 3 fois le quart ; et l'on justifiera, comme plus haut, le nom de multiplication donné à cette opération, en remarquant qu'elle résout des problèmes analogues à ceux qui exigeraient une multiplication s'il s'agissait de nombres entiers. — Dans la division on regardera le quotient comme le nombre par lequel il faudrait multiplier le diviseur pour avoir le dividende.

14. Les règles de trois, d'intérêt, d'escompte, etc., devront être traitées par la méthode de l'unité. Il sera nécessaire de multiplier les applications. Mais, dans le choix des problèmes, le maître devra faire en sorte que la proportionnalité sur laquelle le problème s'appuie soit réelle. Ainsi le prix d'une étoffe est généralement proportionnel au nombre de mètres qu'elle contient, le produit d'une fontaine est proportionnel au temps écoulé, etc. ; mais il n'est pas toujours exact de supposer que, toutes choses égales d'ailleurs, le prix d'un mur soit proportionnel à la hauteur ou le prix d'un fossé

firoportionnel à sa profondeur ; si la hauteur dans e premier cas, la profondeur dans le second, dépassant une certaine limite, la nature du travail peut changer de telle sorte que son prix dépasse de beaucoup celui que la proportionalité suppose. Les trois quarts des problèmes que l'on a l'habitude <ie proposer sur les ouvriers supposent ainsi une proportionnalité qui n'est admissible que si les dimensions considérées ne varient qu'entre d'étroites limites.

La règle d'alliage devra être traitée dans ce cours, mais en se bornant au problème direct-

15. Dans l'étude du système métrique, on devra, puisque les élèves ont vu le calcul des nombres décimaux, insister sur les changements d'unités. Un bon exercice consiste à faire écrire un nombre décimal, tel que 4,075 par exemple et à le faire énoncer en prenant successivement le 4 pour des mètres, pour des mètres carrés, pour des mètres cubes, pour des litres, pour des kilogrammes, pour des hectares. Si un élève subit cette épreuve sans se tromper, on peut être sûr qu'il sait son système métrique.

L'exposé de ce système comporte quelques détails sur le titre des monnaies ; cette matière fournit des problèmes intéressants, mais qui exigent une certaine attention.

A la suite du système métrique, on place d'ordinaire dus notions sur la mesure du temps, une occasion de donner aux enfants une idée dus nombres complexes. Mais la comparaison des mesures anciennes et nouvelles fait partie du cours supérieur.

COURS SUPÉRIEUR

1G. Indépendamment des matières enseignées dans le cours moyen, le cours supérieur comprend les nombres premiers, la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit multiple commun ; la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales ; les rapports, les proportions, les règles de société, et des notions d'arithmétique appliquée, telles que les rentes, les actions industrielles, la caisse d'épargne.

Dans la révision que l'on fera des quatre opérations principales, on pourra, on devra même mener de front les nombres entiers et les nombres décimaux ; ce rapprochement, qui eût été prématuré dans le cours moyen, sera tout à fait à sa place dans celui-ci.

On continuera, comme dans les deux cours précédents, à multiplier les exercices de calcul de tête, mais il sera à propos de faire connaître aux élèves les principaux procédés qui constituent spécialement le calcul mental. Soit, par exemple, à multiplier 37 par 19, on multiplie 37 par 20, ce qui se fait en doublant et mettant un zéro à droite, et donne 740 ; il faut alors retrancher 37 ; au lieu de cela, on retranche 40 et l'on rajoute 3, ce qui donne 70 5. Les artifices de ce genre, qui semblent allonger le calcul, l'abrègent au contraire, parce que le calcul se trouve ramené à des opérations très simples, en quelque sorte intuitives, et qu'il est facile de se rendre familières.

17. Dans l'étude des nombres premiers, on se bornera à ce qui est strictement nécessaire pour la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit multiple commun ; encore ces matières, qui ne sont pas absolument obligatoires, ne devront-elles être abordées que si les élèves sont suffisamment préparés.

Dans les proportions, on n'insistera que sur la propriété fondamentale, relative aux produits des extrêmes et des moyens, et sur le calcul d'un des termes quand les trois autres sont connus. Dans les suites de rapports égaux, on se bornera à cette propriété que la somme des antécédents est à la somme des conséquents comme un antécédent quelconque est à son conséquent ; on établira facilement la proposition avec des termes entiers, et il suffira de la vérifier pour des termes fractionnaires. Les règles d'intérêt, d'escompte, de société pourront être traitées comme application des proportions et des suites de rapports égaux. — Dans les questions de mélange ou d'alliage, on devra traiter quelques problèmes inverses, tels que celuici : On a 60 hectolitres de blé à 25 fr. ; combien fautil y ajouter d'hectolitres à 19 fr., pour faire un mélange valant 21 fr. l'hectolitre. Les questions de ce genre se résolvent en remarquant que ce que l'on perd sur la meilleure qualité en la vendant au prix moyen, on doit le regagner sur la qualité inférieure vendue à ce même prix moyen.

Les problèmes d'application sur les rentes, les actions industrielles, la caisse d'épargne, n'offrent point de difficulté nouvelle, et ne demandent que de l'attention. Mais ces problèmes sont intéressants, et il y a avantage à les multiplier.

18. Le système métrique devra être étudié un peu plus à fond que dans le cours moyen. On insistera sur la comparaison des mesures de volume et de capacité, sur celle des poids et des volumes d'eau correspondants, sur la valeur et le poids des monnaies, en un mot sur tous les rapprochements propres à faire pénétrer dans l'esprit des élèves la

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