ARIÉGE

ques. Ces établissements reçoivent ensemble 3 570 enfants. L'Ariége comptant 22 communes de plus de 2 000 habitants, il semblerait naturel que les salles d'asile y fussent plus nombreuses.

Ecoles libres. — Le déclin de l'enseignement primaire libre depuis un demi-siècle est bien marqué. Les établissements et le nombre de leurs élèves ont diminué de moitié de 1840 à 1872 ; il s'est un peu relevé depuis. Il y a aujourd'hui 45 écoles libres, dont 25 congréganistes. C'est du reste l'enseignement des garçons qui a complètement disparu comme industrie privée : il ne reste que 4 écoles libres de garçons, comptant ensemble 273 élèves. Les écoles libres de filles en ont 2 478.

Cours d'adultes. — Le succès des cours d'adultes démontre l'énergie et la valeur morale des habitants de ces rudes contrées et leur désir de s'instruire; il n'en existe pas en 1841 ; on en compte 20 au 1er janvier 1864, 77 en 18G5, 291 en 1866, 323 en 1867, 273 en 1867. — 271 de ces cours sont gratuits : c'est le secret de leur force et de leur succès 1 La dépense totale pour la création et l'entretien de ces écoles improvisées était en 1868 de 3600 environ ; les communes en avaient voté la moitié, les braves instituteurs ont payé l'autre de leur bourse sans parler de leurs fatigues, le ministre de l'instruction l'a dit avec raison et justice : « le denier de la veuve n'était pas plus méritoire. »

Depuis la guerre de 1870-71, les cours d'adultes ne paraissent pas avoir autant décliné dans l'Ariége que dans la plupart de nos départements. On en comptait 426 en 1872 et 401 en 1876, avec une population scolaire de :

Hommes. Femmes. Total.

En 1872 7 823 1 741 9 564

En 1876 » » 9 781

Degré d'instruction des conjoints et des conscrits. — En 1867 l'Ariége figurait encore avec la teinte la plus noire et sous le n° 81 parmi ceux de nos départements où plus de la moitié des conscrits étaient illettrés. Il a eu en moyenne 605 conscrits sachant au moins lire, sur lOOl) pour la période de 1867 à 1873. Bien qu'il ait réduit depuis trente ans de 211 pour 1000 en moyenne le nombre des conscrits illettrés, il n'a pas avancé aussi vite que la plupart de nos départements, puisqu'il est le 79e, tandis qu'il était il y a trente ans et même vingt ans le 74e.

En 1875, sur 1891 mariages, 530 hommes et 1164 femmes n'ont pu signer leur nom. Ce dernier chiffre se passe de commentaire et corrobore triste* ment ce que nous avons dit plus haut sur la nécessité de mieux pourvoir à l'instruction des filles, puisque, après tout ce qu'on a fait depuis quelques années, plus des trois cinquièmes des femmes sont encore incapables de signer leur nom.

Ecoles normales. — Une école normale d'institutrices laïques est une des premières institutions dont ce département a besoin pour l'aider à élever le niveau si bas encore de l'instruction primaire. Le cours normal dirigé par les religieuses, à Pamiers, est loin de suffire aux besoins du département, puisqu'il ne fournit en moyenne que 5 ou 6 institutrices par an.

L'Ariége possède depuis 1834 une école normale d'instituteurs, qui fournit annuellement 12 instituteurs environ.

Institutions auxiliaires. — Parmi les institutions qui ont aidé dans certains départements au développement de l'instruction populaire, l'Ariége n'en possède qu'un petit nombre. Il a 61 bibliothèques scolaires (6458 volumes, 722:? prêts).

Il possède un Bulletin départemental de l'instruction primaire, qui ne contient que les documents officiels.

Il aurait besoin d'introduire ou de développer les caisses des écoles, les certificats d'études, les conférences pédagogiques, etc.

ARISTOTE

Libéralités du conseil général. — Toutes les lacunes se combleront avec le temps, et aussi, hâtons-nous de le dire, grâce aux constants efforts des autorités et du personnel enseignant, dont les membres laïques et congréganistes rivalisentdezèle. Le conseil général, par des subventions aussi larges que le lui permet un budget des plus restreints (43 "00 fr. de dépenses obligatoires, environ 12 000 fr. sur les fonds départementaux), vient en aide aux communes pour l'acquisition et l'entretien des maisons d'école, du mobilier des classes, des bibliothèques scolaires ; il fonde des bourses à l'école normale, au cours normal de filles, dans les trois collèges communaux, à l'orphelinat de Pamiers,à l'école d'horticulture de Versailles ; il accorde des secours aux anciens instituteurs non retraites, etc.

Le département de l'Ariége est donc entré résolument dans les voies du progrès ; il a trop fait déjà pour qu'on doute de ce qu'il fera, aujourd'hui que l'instruction du peuple est, de l'aveu de tous, le salut du pays. [L. Maggiolo.l

ARISTOTE. — Pour des indications générales sur la doctrine de ce grand philosophe, V. IIe Partie, au mot Philosophie (Histoire de la). Nous n'en parlons ici qu'au point de vue pédagogique.

Aristote, dont le génie encyclopédique a touché à toutes les sciences, n'a point négligé les questions d'éducation : elles avaient leur place marquée dans le beau traité de la Politique, à côté des profondes études consacrées aux lois, aux constitutions sociales. De plus, en faisant d' Aristote le maître d'Alexandre, les circonstances imposèrent à l'attention du philosophe, devenu précepteur, le sujet vers lequel l'avait déjà conduit le cours de ses méditations.

L'éducation donnée par Aristote au futur conquérant de l'Asie fut trop vite interrompue par les nécessités de la politique et de la guerre pour porter tous ses fruits. Aristote ne dirigea réellement le jeune prince que pendant quatre années, de 13 à 17 ans (343-340J. Il lui apprit à aimer la poésie, à respecter les poètes, particulièrement Homère, qui devint son auteur favori, et dont les œuvres ne le quittaient jamais. Il l'initia à l'histoire naturelle : durant ses campagnes d'Asie, Alexandre prenait soin d'envoyer à son maître des collections de plantes et d'animaux. Enfin il lui enseigna à estimer la scie.nce : Alexandre ne cessa pas de s'intéresser aux travaux d' Aristote, s'il est vrai qu'il ait écrit la lettre que nous a conservée Plutarque, et où se révèle, en même temps que l'égoïsme orgueilleux d'un maître du monde, une admiration sincère pour la science : « Je n'approuve pas que vous ayez publié vos œuvres acroamatiques * (c'est-à-dire les connaissances qui, réservées aux initiés de l'école, ne devaient pas être communiquées au vulgaire). En quoi donc serons-nous supérieurs aux autres hommes, si les sciences que vous m'avez apprises deviennent communes à tout le monde? Quant à moi, j'aimerais mieux encore surpasser les hommes par la science que par la puissance. »

Aristote ne quitta Alexandre et la Macédoine que pour se rendre à Athènes, où il fonda, vers 335, l'école de philosophie destinée à devenir si fameuse sous le nom de Lycée. Les historiens nous ont conservé quelques traits de l'organisation de cette école : un chef, renouvelé tous les dix jours, était chargé de la discipline ; des banquets périodiques réunissaient les élèves; Aristote faisait par jour deux leçons, ou plus exactement deux promenades, puisqu'il avait l'habitude d'enseigner en marchant: l'une de ces leçons s'adressait aux élèves les plus avancés, et traitait des questions les plus ardues ; l'autre avait un caractère plus facile et plus populaire.

De cet enseionement varié et puissant sortirent Pe Partie.

les grands ouvrages d'Aristote et particulièrement la Politique, dont le cinquième livre est consacré tout entier à l'éducation.

Le premier principe de la pédagogie d'Aristote, c'est qu'il faut distinguer trois moments, trois degrés dans le développement de l'hom ne : r la vie physique; 2° l'instinct; 3° la raison. Par suite, il faut graduer, selon ces trois échelons de l'existence, la progression des exercices et des études. La naissance du corps précède celle de l'âme, et dans l'âme elle-même il y a deux parties, la partie irrationnelle, la partie raisonnable : la formation de l'une devance celle de l'autre. L'éducateur doit respecter cet ordre naturel, s'occuper du corps avant de songer à l'âme, développer l'instinct avant de s'adresser à l'intelligence, bien qu'en définitive il ne forme le corps que pour l'âme, et n'excite les instincts que pour préparer les voies à la raison. Il y a là comme une première esquisse de ce que les modernes ont appelé Y éducation progressive.

Comme Rousseau dans YEmile, Aristote détaille les soins qu'il importe de donner à la première enfance. Il veut d'ailleurs, comme Platon, qu'on prépare l'éducation de l'enfant, même avant sa naissance, en soumettant les mariages à une réglementation minutieuse, en prescrivant aux mères, durant leur grossesse, le régime qu'elles doivent suivre ; car, dit-il, « les enfants ne ressentent pas moins les impressions de la mère que les fruits ne tiennent du sol qui les nourrit. »

L'enfant sera nourri par sa mère. Le lait est la seule nourriture qui lui convienne, le lait, et non pas le vin : allusion sans doute à quelque coutume étrange du temps. Faut-il laisser à l'enfant la liberté de ses mouvements? Aristote cite à ce propos des peuples qui, pour empêcher que les membres si délicats des nouveau-nés ne se déforment, emploient des machines qui assurent à ces petits corps un développement régulier : premier essai d'orthopédie. Aristote d'ailleurs ne conclut guère sur cette question. Plus affirmatif sur d'autres points, il demande, par exemple, qu'on habitue les enfants à l'impression du froid, et semble approuver l'usage des peuples qui les plongent de bonne heure dans des bains d'eau froide.

De deux à cinq ans l'éducation de l'enfant sera entièrement négative. On ne lui enseignera rien directement : on se contentera de le préparer à ce qu'il doit apprendre plus tard. « Tout dans l'éducation des enfants doit être disposé en vue des travaux qui les attendent. Que leurs jeux mêmes soient donc comme les ébauches des exercices auxquels ils se livreront dans un âge plus avancé. » Deux autres traits nous frappent dans le plan d'Aristote. D'une part, il demande que les enfants fréquentent le moins possible la société des esclaves. D'autre part, il désire qu'on ne les mène pas aux farces satyriques et à la comédie. Sachant combien il est important de veiller aux paroles et aux images qui frappent les sens de l'enfant, il veut soustraire son âme aux impressions dangereuses que lui apporterait soit la licence du théâtre, soit la vulgarité des esclaves.

C'est à cinq ans seulement que commence l'enseignement. Pendant deux années cependant l'enfant se contentera encore d'assister aux leçons, sans qu'elles s'adressent directement à lui. Après ce surnumérariat scolaire, s'ouvre l'instruction réelle, qui s'étendra jusqu'à vingt et un ans.

Aristote n'en a pas tracé le plan par années, ni même par périodes. Mais il a saisi avec sa perspicacité habituelle quelques-unes des questions générales que soulève l'art de l'éducation. Il y a, dit-il, trois choses à se demander : l ° est-il nécessaire d'imposer une règle, une discipline àl'enfance ? 2° l'éducation doit-elle être donnée par l'Etat, d'après des méthodes uniformes, ou abandonnée aux famil-

ARISTOTE

ARITHMÉTIQUE

les? 3° enfin sur quels objets faut-il diriger les études?

Sur le premier point, Aristote se contente de faire remarquer que l'éducation est nécessaire, parce qu'elle forme les mœurs, et que les mœurs affermissent les États. Il n'y a pas de vie sociale sans éducation, et l'éducation changera de caractère selon qu'elle sera donnée dans une société aristocratique ou démocratique.

Dans la seconde question, Aristote, d'accord avec les tendances générales de l'antiquité, se déclare partisan de l'éducation publique et commune. Il se plaint que l'usage contraire se soit introduit dans quelques cités grecques, et que l'éducation y soit laissée à la discrétion des familles. Ce n'est pas qu'Aristote tombe dans les excès de Platon : il ne songe pas à enlever l'enfant à ses parents dès sa naissance ; il le leur confie jusqu'à sept ans. Mais, à partir de cet âge, il veut que les enfants soient soumis à une éducation identique et par conséquent publique. Le but, en effet, est le même pour tous les citoyens : il faut apprendre la vertu. De plus, c'est une erreur de croire que le citoyen s'appartienne entièrement à lui-même : il fait partie de l'État. Le particularisme dans l'éducation équivaut à la ruine de l'État, puisqu'il y supprime cette unité morale sans laquelle l'unité matérielle n'est qu'un vain nom.

Sur l'objet de l'enseignement, Aristote s'est borné à des généralités. Le principe qui le guide, c'est qu'il faut rejeter de l'éducation toutes les occupations, arts ou sciences, qui sont inutiles pour former l'homme à la pratique de la vertu : nonseulement les arts mécaniques qui déforment le corps et nuisent à l'élévation de la pensée, mais « les sciences libérales elles-mêmes, lorsqu'elles sont poussées trop loin et étudiées avec un excès de curiosité, surtout avec l'intention de s'en faire un moyen d'existence. » Aristote obéit ici aux préjugés de l'antiquité, et considère comme servile, comme indigne d'un homme libre, tout ce qui a un caractère d'utilité pratique et matérielle. Les hommes libres doivent être des hommes de loisir : il faut par conséquent que l'éducation les prépare à occuper leur loisir, en étudiant des choses, non pas utiles et nécessaires, mais simplement belles. « La préoccupation exclusive des idées d'utilité ne convient ni aux âmes nobles ni aux esprits libres. »

Quelles sont donc ces études désintéressées, seules dignes de l'homme libre? II y en a quatre : la gymnastique, la grammaire, la musique et le dessin. D'après Aristote, ces exercices et ces études doivent être abordés, non pas simultanément et à la fois, mais successivement et à tour de rôle : système qu'il nous est difficile de comprendre.

C'est de la musique surtout que se préoccupe Aristote, de la musique prise dans son sens propre. Elle n'est pas seulement un passe-temps honnête, un plaisir délicieux : à ce titre cependant elle mériterait déjà d'être introduite dans l'éducation, car, dit Aristote, en dépit de l'opinion des Spartiates, on ne peut juger des mérites de la musique et jouir des plaisirs qu'elle procure qu'à la condition d'avoir personnellement quelque science musicale. Mais, en outre, la musique a ce pouvoir singulier d'exercer sur les cœurs une influence morale. Elle peut modifier les affections, les passions, parce qu'ello est capable de les représenter et par suite de les inspirer. Cette opinion sur les effets moralisateurs do la musique n'csi pas seulement l'opinion d'Aristotc et, en général, des anciens, qui disaient que, pour relâcher ou pour réformer les mœurs d'un peuple, il suffit d'ajouter ou de supprimer une corde à la lyre : elle a été souvent reproduite dans les temps modernes. Napoléon I,r, par exemple, écrivait de Milan aux inspecteurs du Conservatoire do musique : « De tous les beaux-arts la musiquo est celui

qui a le plus d'influence sur les passions, celui que le législateur doit le plus encourager. Un morceau de musique moral, et fait de main de maître, touche immanquablement le sentiment, et a beaucoup plus d'influence qu'un bon ouvrage qui convainc la raison sans influer sur nos habitudes. » Sans aller jusqu'à proclamer la supériorité de la musique sur les livres comme instrument de culture morale, Aristote s'aventurait déjà beaucoup quand il lui attribuait la puissance d'inspirer la vertu. « Cela est inconcevable, » comme le dit Montesquieu, même quand on réfléchit que, chez les Grecs, la musique était toujours associée à la parole, à la poésie.

Ce serait juger peu équitablement Aristote que de borner son rôle pédagogique aux vues théoriques, incomplètes et écourtées, que contient la Politique. Il faut évidemment joindre à l'analyse de cette esquisse inachevée le souvenir de l'admirable enseignement dont le Lycée fut le théâtre. Forte discipline logique, tempérée par l'habitude de l'observation et par l'étude des faits, admiration et critique intelligente des beautés de l'éloquence et de la poésie, connaissances physiques et recherches d'histoire naturelle, science politique considérée soit dans la réalité des constitutions, soit dans l'idéal des doctrines, histoire et philosophie : rien ne manquait au programme des études. L'éducation morale était à la hauteur de l'éducation intellectuelle. Nul n'a mieux parlé de la justice qu'Aristote. « La justice, dit-il, c'est le bien d'autrui. Ni l'astre du soir, ni l'étoile du matin, n'inspirent autant de respect. » Et cependant la justice elle-même ne suffit pas : la vie sociale exige une autre vertu qu'Aristote appelle Y amitié, ce qui est un autre nom pour ce que le christianisme appelle la charité.

C'est encore par son respect et son amour de la famille, par sa critique du communisme de Platon, qu'Aristote a bien mérité de l'art de l'éducation. Avec quelle finesse il montre que dans une société sans famille les affections humaines s'évanouiraient « comme la saveur de quelques gouttes de miel disparaît dans une vaste quantité d'eau. » Et il ne se contente pas, au nom de la nécessité sociale, de relever la famille, il sait aussi l'organiser avec sagesse. L'autorité y appartient au mari, mais cette autorité est un pouvoir républicain, non un pouvoir royal, à l'égard de la femme ; un pouvoir royal, non un pouvoir despotique, à l'égard des enfants. Consolider la famille, en resserrer les liens, en régler les rapports, on ne saurait rendre un meilleur service à l'éducation des hommes.

Pour ces raisons diverses, Aristote mérite d'être compté parmi les maîtres de la pédagogie. Son seul tort, c'est de ne pas s'être affranchi des préjugés sociaux de son temps, et d'avoir conçu l'éducation dans le plan étroit des cités grecques. L'instruction morale et non utilitaire, libérale et non professionnelle, qu'il propose aux hommes libres, n'est laite que pour une petite minorité : elle n'est môme possible que parce que la majorité en est exclue. Les esclaves, les travailleurs, chargés du soin de nourrir les hommes libres et de leur créer des loisirs, ne participent pas plus à l'éducation qu'ils ne participent à la liberté ou à la propriété : et voilà pourquoi» si nous voulons admirer à notre aise la pédagogie d'Aristote, il est nécessaire de la détacher de son cadre, pour la considérer en ellemême, en dehors do ce régime social qui, sous les apparences de la liberté de quelques-uns, n'était quo l'oppression et l'abêtissement du plus grand nombre r [G. Compayré.)

ARITHMÉTIQUE. — H n'est pas nécessaire d'insister sur l'importance de cette étude. Indispensable à tous par ses applications usuelles, l'arithmétique est de plus une discipline incomparable pour l'intelligence. Aussi à ce double titre est-elle ins-

ARITHMETIQUE

ARITHMÉTIQUE

crite partout aujourd'hui et à tous les degrés dans les programmes de l'enseignement primaire. Nous énumérons ci-dessous les prescriptions législatives des divers pays, avant d'aborder l'examen des méthodes.

ï. Législation. — PATS ETRANGERS. — Dans un certain nombre de programmes scolaires, le mot d'arithmétique est pris en un sens général, pour désigner d'abord l'étude du calcul élémentaire, ensuite les notions d'arithmétique théorique et appliquée •susceptibles d'entrer dans l'enseignement populaire.

A ce titre, l'arithmétique figure au nombre des objets obligatoires de l'instruction primaire à tous les degrés, en Hongrie, en Espagne, en Angleterre, en Ecosse, en Hollande, en Italie, en Russie, aux Etats-Unis. Ailleurs, et spécialement en Allemagne, en Autriche, en Belgique, en Danemark, en Suède, en Norvège, dans la Suisse allemande, le mot de calcul est employé comme équivalent de celui d'arithmétique, et en tient la place dans les programmes primaires. La ville de Brome et le Portugal font une distinction entre l'arithmétique, terme réservé pour les opérations plus compliquées que les quatre règles, et le simple calcul (Rechnen, Contnr) ; l'enseignement du calcul s'y donne par conséquent au degré inférieur, et celui de Varithmé~ tique au degré supérieur de l'école primaire. — V. Calcul.

FRANCE. — Le calcul élémentaire fait partie des matières obligatoires de l'enseignement primaire; l'arithmétique appliquée aux opérations pratiques est comprise dans les matières facultatives (L. 15 mars 1850, art. 23.)

L'arithmétique est comprise dans le programme d'enseignement des écoles normales primaires. {Décr. 2 juillet 18(6, art. 1er.)

Les aspirants et aspirantes au brevet de capacité doivent, dans les épreuves écrites, donner la solution raisonnée d'un ou de plusieurs problèmes d'arithmétique comprenant l'application des nombres entiers et l'usage des fractions. Il est accordé une heure pour cette composition. (Arr. 3 juillet 1866,

Des questions orales leur sont posées sur l'arithmétique et le système métrique (ibid., art. 15).

[E. deResbecq.]

2. Méthodes et programmes. — L'enseignement de l'arithmétique qu'admettent les divers degrés de l'instruction primaire ne diffère que par l'étendue et par les méthodes qu'il convient d'y appliquer suivant l'âge et les connaissances de l'auditoire à qui l'on s'adresse. Mais tous ces programmes, différents dans la forme, convergent vers un but commun, qui est de donner aux élèves une connaissance raisonnée de la science du calcul. Nous allons en indiquer les grands traits, en distinguant quatre degrés : Cours élémentaire, cours moyen, cours supérieur des écoles primaires, et cours des écoles normales.

COURS ÉLÉMENTAIRE

Ce cours ne comprend que « les quatre règles sur les nombres entiers et l'étude élémentaire du système des poids et mesures. »

1. L'enseignement, dans ce cours, s'adressant à de très jeunes enfants, on devra éviter les définitions abstraites. On n'opérera, autant que possible, que sur des nombres concrets. Il n'est pas nécessaire pour cela que les élèves aient vu le système métrique ; ils savent tous que le pain et la Tiande se vendent au kilogramme, que les étoffes se mesurent au mètre, que le temps s'évalu6 en heures, etc. : cela suffit pour fournir au maître les nombres concrets dont il aura besoin. L'idée première de chaque opération devra être introduite à propos d'un petit problème d'application usuelle, dans lequel on ne devra pas craindre trop de simplicité. — On inaugurera, dès le début s'il se peut,

l'usage du calcul de tête, à l'aide de petits problèmes,très simples sans doute, mais variés et multiplies; un quart ou un tiers de la duré* de la classe devra être consacré à cet exercice, qui donnera aux enfants une grande facilité pour leurs études ultérieures en arithmétique.

2. Quoique la plupart des enfants qui entrant au cours élémentaire sachent déjà compter plus ou moins, il est nécessaire de reprendre la numération ; elle ne devra pas être poussée au delà du nombre mille. Le meilleur moyen d'apprendre aux enfants à compter consiste à leur faire compter effectivement des objets semblables, comme des pois, des noisettes, ou de simples bûchettes analogues à des allumettes et que l'on a taillées d'avance. Des paquets de dix bûchettes liées ensemble serviront à introduire l'idée des dizaines; et dix paquets semblables, réunis en un seul, donneront l'idée d'une centaine, etc. Si le maître dispose d'un boulier-compteur, il lui sera facile de montrer comment dix boules de la première rangée sont remplacées par une boule de la seconde, comment dix boules de la seconde rangée sont remplacées par une boule de la troisième, et ainsi de suite. C'est dans cette dépendance des diverses unités que consiste tout notre système de numération. On exercera longtemps les élèves à énoncer un nombre, connaissant les diverses unités dont il se compose, ou à décomposer un nombre énoncé en ses différentes unités ; et ce n'est que lorsque les élèves seront rompus à ce double exercice de numération parlée que l'on abordera la numération écrite, qui ne présentera plus dès lors aucune difficulté.

3. On introduira l'idée d'addition en faisant additionner effectivement des objets semblables formant plusieurs groupes qui auront été comptés séparément; on reconnaîtra ainsi que l'addition n'est que l'application de la numération. — On construira, ou, ce qui est préférable, on fera construire aux élèves la table d'addition, et on la leur fera apprendre imperturbablement par cœur. Quand ils la sauront bien, on leur fera exécuter l'addition de plusieurs nombres d'un chiffre chacun, comme 3 et 5, 8; et 7, 15; et 1, 16; et 9, 25; et 8, 33. On pourra alors aborder l'addition des nombres de plusieurs chiffres et on en fera l'application à de petits problèmes usuels. — La preuve se fera en additionnant de bas en haut, si l'on a d'abord additionné de haut en bas.

4. L'idée de la soustraction pourra être introduite en séparant d'un groupe d'objets semblables précédemment comptés une portion de ce groupe, que l'on comptera, ainsi que lo reste. A l'aide de la table d'addition on exercera les enfants à soustraire un nombre d'un chiffre d'un nombre d'un ou deux chiffres au plus; et, quand ils y seront exercés, on pourra aborder la soustraction de deu* nombres quelconques. Quand lo chiffre inférieur surpasse le chiffre supérieur, on n'aura pas recours à la méthode de l'emprunt, qui peut devenir incommode dans beaucoup de cas ; on ajoutera 10 au chiffre supérieur, et, en passant à la colonne suivante à gauche, on ajoutera l'unité au chiffre inférieur. — On appliquera la règle de la soustraction à des problèmes très simples. La preuve de la soustraction se fera en additionnant le reste et le pius petit nombre.

5. La multiplication n'est autre chose qu'une addition dans laquelle tous les nombres à ajouter sont égaux; après avoir introduit ainsi l'idée de multiplication en opérant sur de petits nombres, on fera construire aux élèves, et apprendre par cœur la table de multiplication. Quand ils la sauront bien, on pourra aborder la multiplication d'un nombre de deux chiffres par un nombre d'un seul, celle d'un nombre de trois chiffres par un nombre d'un seul, enfin la multiplication de deux nombres de deux ou trois chiffres chacun. On s'en servira pour faire

ARITHMÉTIQUE

résoudre de petits problèmes pratiques très élémentaires. . .

On montrera sur un tableau analogue à celui-ci :

qu'un produit de deux facteurs est indépendant de Tordre de ces facteurs ; et l'on utilisera cette propriété pour faire la preuve de la multiplication.

6. La division n'est autre chose qu'une série de soustractions dans lesquelles le nombre à soustraire est toujours le même; on le fera aisément comprendre sur de petits nombres ; par exemple G peut être soustrait 4 fois du nombre 24 ; le quotient de 24 par 6 est donc 4. Mais, en considérant le tableau ci-dessus, on voit que si l'on voulait partager 24 en 6 parties égales, chacune d'elles serait égale à 4; d'où une au+re manière de considérer la division. On habituera les enfants à ces deux points de vue de la division, en les exerçant sur la table de multiplication précédemment apprise. On pourra alors aborder la division d'un nombre de trois chiffres par un nombre d'un seul, et celle d'un nombre de trois chiffres par un nombre de deux, en se fondant sur l'idée de partage, qui est la plus commode pour établir la règle de la division. On appliquera la division à quelques problèmes usuels. La preuve se fera en observant que, quel que soit le point de vue sous lequel on envisage l'opération, le produit du diviseur par le quotient doit toujours être égal au dividende, si l'opération se fait sans reste ; et à ce produit augmenté du reste, s'il y en a un.

7. Quand la division aura été étudiée, on pourra proposer aux élèves de petits problèmes récapitulatifs dans lesquels ils auront à effectuer plusieurs des quatre opérations.

Il est bien entendu que, pendant toute l'étude des quatre opérations, on multipliera les exercices de calcul de tête, en en graduant la difficulté d'après les résultats obtenus, sans que toutefois ces exercices puissent jamais devenir une fatigue pour les élèves.

8. L'élude du système métrique exige impérieusement que l'on mette sous les yeux des élèves, soit les mesures elles-mêmes, soit un tableau qui les représente en vraie grandeur. Il ne suffit pas d'ailleurs de leur montrer les mesures, il faut leur faire voir comment on s'en sert, il faut leur faire mesurer des longueurs, exécuter des pesages, etc., afin d'éviter l'aridité d'une étude abstraite.

Le point délicat de cette étude est de faire bien comprendre aux élèves que le décimètre carré, par exemple, n'est pas le dixième du mètre carré, mais bien le centième ; que le décimètre cube n'est pas le dixième du mètre cube, mais bien le millième. Il faut reconnaître que c'est là le côté faible de la nomenclature du système métrique; on devra donc y insister, y revenir souvent, en s'aidant, s'il est possible, de modèles propres à ce genre de démonstration, comme ceux qui font partie du compendium métrique, de ïappareil Level, du nécessaire Carpentier, etc.

Comme les élèves du cours élémentaire n'ont point vu les nombres décimaux, il faudra nécessairement ajourner toutes les explications et toutes les applications qui conduiraient à des nombres de cette espèce.

COURS MOYEN. '

Ce cours embrasse, outre les matières comprises dans le cours élémentaire, les opérations sur les nombres décimaux, les principaux caractères de divisibilité, le calcul des fractions ordinaires, les règles de trois, d'intérêt, d'escompte, et une étude plus approfondie du système métrique.