MAZARIN

MÉCANIQUE

et fut nommé en 1622 capitaine d'infanterie. Mais ses goûts le portaient plutôt vers la diplomatie, dont l'Italie était alors la terre classique. Lors de la guerre de la succession de Mantoue, devant Casale (1630), il révéla son génie brillant mais un peu théâtral, en arrêtant deux armées qui allaient en venir aux mains. Désigné désormais à l'attention des gouvernements italiens, il fut nommé nonce du pape en France (1634-1636), rendit de grands services h Richelieu, fut naturalisé Français (1639), promu cardinal (1641), et, le lendemain même de la mort de Richelieu, nommé premier ministre (5 déc. 1642).

Après la mort de Louis XIII (1643), il devint le véritable maître du pouvoir, qu'il conserva jusqu'à la fin de sa vie (1661). Souple et rusé, il rompit avec les traditions politiques de son énergique prédécesseur, attendant tout du temps qui calme les haines. Il est certain d'ailleurs que Mazarin, qui ne fut jamais prêtre, exerçait une vive influence sur la régente Anne d'Autriche. Peut-être même l'épousa-t-il secrètement. Grâce à cette intimité avec la reine-mère, il put triompher sans peine de la cabale des Importants ;1643). Et cependant, jamais ministre n'avait été moins populaire. On reprochait à Mazarin les faveurs, onéreuses pour la France, dont il comblait sa famille. Son trtre Michel, archevêque d'Aix (1645), vice-roi de Catalogne (16i7), devenait cardinal (IG47), et cette promotion coûtait 12 millions à l'Etat. Les nièces de Mazarin, « lesMazarinettes, «richement dotées, épousaient un Conti, un Mercœur, un comte de Soissons. Protecteur des arts, ami de Corneille, de Chapelain, de Balzac, grand admirateur de l'opéra italien, qu'il introduisit en France {Orphée et Eurydice, 1647), le ministre avait les goûts délicats d'un prélat de la Renaissance italienne. Ce désordre élégant, qui contrastait avec l'attitude austère de Richelieu, choqua l'opinion publique. Nobles, parlementaires et bourgeois, irrités de la grande puissance du ministre, et de la gestion déplorable des finances, s'unirent pour renverser Mazarin (1644-1653). Le ministre brava l'opposition et garda le pouvoir (V. Fronde).

A l'extérieur, Mazarin a continué avec talent et succès la politique de Richelieu : voilà son vrai titre devant la postérité. Les armées françaises se couvrent de gloire dans la dernière période de la guerre de Trente Ans. Les victoires de Rocroy et de Carthagène(1643), de Fribourg (1644), de Nordlingen (1645), de Lens, de Lavingen et de Sumarshausen (1648) obligent nos adversaires à accepter les traités de Westphalie (1648). La France obtient la cession définitive des Trois Evêchés, Pignerol, l'Alsace sauf Strasbourg, Brisach, Philipsbourg, et la liberté de commerce sur le Rhin. En introduisant la Suède en Allemagne, elle modifie à son profit l'équilibre des Etats allemands. Des traités d'alliance sontsignés aveclaBavière(1651),leBrandebourg (1656) ; enfin la ligue du Rhin (1658) place sous la protection de la France les petits Etats de l'Allemagne du nord. La confédération francoallemande mettra sur pied 10 000 hommes. La France ne fournira pas moins de 1600 soldats et 800 chevaux. Ce grand succès diplomatique console Mazarin de n'avoir pu empêcher l'élection de Léopold de Habsbourg à l'Empire (1657).

La branche espagnole de la maison d'Autriche avait refusé de traiter avec la France en 1648. Pendant les troubles de la Fronde, l'Espagne avait repris Barcelone, Ypres, Dunkerque. La défection de Condé lui avait donné Rethel, Sainte-Menehould et un général qui passait pour invincible (1652). Mais dès 1653,1a guerre est poussée avec vigueur. Les Espagnols sont arrêtés sur la Somme, battus à Stenay et à Arras (1654). Cambrai, Valenciennes, Condé sont assiégés (1655- 1656). Mazarin s'allie alors avec Cromwell (1656-

1G57), et les Espagnols sont écrasés à la bataille des Dunes (1658). Epuisée d'hommes et d'argent, l'Espagne signe le traité des Pyrénées (1659). Elle cède à la France le Roussillon, la Cerdagne, une partie de l'Artois, Thionville, Montmédy, Avesnes; Louis XIV épouse l'infante Marie-Thérèse, dont la dot s'élèvera à 500 000 écus d'or. Mais on stipule que, dans le cas où cette dot ne serait pas payée, la renonciation de la reine de France à la succession de son père Philippe IV deviendra nulle. Condé enfin fait sa soumission et rentre en France.

En 1660, l'Europe entière était pacifiée. Dans le midi et dans le centre, l'Espagne et l'Autriche, ennemies de la France, étaient vaincues. Dans le nord, les traités d'Oliva et de Copenhague avaient assuré la prépondérance politique de la Suède, notre alliée. Mazarin qui, devant l'étranger, avait eu le cœur vraiment français, laissait la Francepuissante et honorée. [L.-G. Gourraigne.J

MECAAIQLi:. — La mécanique a pour objet l'étude des forces et des effets qu'elles produisent sur les corps auxquels on les applique. Dans la partie de cette science appelée dynamique, on s'occupe de déterminer les diverses circonstances du mouvement d'un corps lorsque l'on connaît les forces qui agissent sur lui. La statique est la partie de la mécanique qui traite de l'équilibre des forces appliquées à un corps solide ; on y détermine les relations qui doivent exister entre les forces pour que le corps prenne un mouvement égal à zéro ; c'est donc un cas particulier de la dynamique, celui où le corps doit rester en repos sous l'action des forces qui le sollicitent. Mais comme, une fois ce dernier problème résolu, il est facile d'y ramener Fautre, on commence ordinairement l'étude de la mécanique par celle de la statique.

On a vu, à l'article Force, comment à l'aide d'un peson à ressort on peut comparer toutes les forces à un poids et les exprimer en kilogrammes ; comment on représente, par une ligne, le point d'application d'une force, sa direction et son intensité.

Nous admettrons comme évidents les axiomes qui suivent et qui nous seront utiles par la suite ; la seule difficulté qu'éprouvent les élèves, en lisant les premières pages d'un livre de mécanique, tient à ce que beaucoup d'auteurs entourent ces vérités d'un appareil de démonstrations moins claires que les énoncés eux-mêmes : 1° Une force appliquée à un corps solide peut être appliquée en un point quelconque de sa direction pourvu que ce nouveau point soit lié invariablement au premier. Ainsi la force F appliquée en A (fig. 1)

Fig. 1.

peut être transportée en B et prendre la position F' sans que l'état du corps soit changé. 2° Si deux forces qui sollicitent un corps solide, libre de tourner dans tous les sens, agissent suivant la même droite, en sens contraire, et ont la même intensité, elles tiennent ce corps en équilibre ; telles sont les forces F et F". Si les forces sont iné-

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gales, ou bien n'agissent pas en sens directement contraire, le corps se mettra en mouvement sous l'action de ces forces. Ainsi, que deux personnes de môme force, placées aux extrémités d'une table, la poussent dans le sens de sa longueur, mais en sens contraire, elles ne produiront aucun effet ; que l'une d'elles pousse à droite ou à gauche de cette direction, la table tournera.

Composition des forces concourantes. — On appelle résultante d'un système de forces F, F', F", appliquées à un corps solide, une force qui peut, à elle seule, les remplacer toutes ; on dit que les forces F, F", F", sont les composantes de la force R. Par conséquent, étant donné un corps, sollicité par plusieurs forces F, F', F", dont la résultante est R, si l'on applique au corps une nouvelle force — R égale et directement opposée à R, l'ensemble des forces F, F', F'' et — R tiendront le corps solide en équilibre.

Un système quelconque de forces n'a pas toujours une résultante unique, il est mémo rare qu'il en ait une ; mais, dans le cas particulier où les forces sont appliquées au même point, on peut toujours remplacer les forces proposées par une seule appliquée au même point; nous étudierons d'abord comment on détermine les éléments de cette résultante.

Proposition I. — Si deux forces concourantes agissent suivant la même droite et ont la même direction, leur résultante est une force appliquée au même point, agissant suivant la même direction et dont l'intensité est égale à la somme des deux premières. Si les forces agissent dans des directions opposées, l'intensité de leur résultante est égale à la différence des intensités.

Cette proposition est évidente

Proposition II. — Si un nombre quelconque de forces agissent suivant la môme droite, les unes dans un sens, les autres dans le sens opposé, leur résultante est égale à l'excès de la somme des forces qui tirent dans un sens sur la somme des forces qui tirent en sens contraire. Cette résultante agit dans le sens des forces qui ont donné la plus grande somme.

Cette proposition est encore évidente.

Considérons maintenant deux forces F et F' appliquées à deux points A et B d'un corps solide et dont les directions passent par le même point 0 ; on peut remplacer ces deux forces angulaires par une seule, et la règle à suivre s'appelle parallélogramme dt s forces; c'est une des propositions les plus importantes de la statique.

Proposition III. — La résultante de deux forces angulaires est située dans le plan de ces deux forces ; elle est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent les forces en grandeur et en direction ; son intensité e^t représentée par la diagonale de ce même parallélogramme.

Démonstration expérimentale. — Attachons (fig. 2 trois poids de 4H?, ôHs, 6Hs, à des cordons aB, AC, AD, réunis au point A par un nœud; faisons passer les deux premiers sur des poulies très mobiles, dont les axes sont implantés dans un tableau noir; laissons pendre le troisième cordon AD ; l'ensemble de ces poids prendra bientôt une position d'équilibre et nous pourrons dire qu'alors la force de 6Hfc' appliquée au point A suivant la verticale AD fait équilibre aux forces F = 4ns et F' = 5Hs appliquées directement au point A suivant les directions AB et AC ; les poulies de renvoi ont simplement pour but de remplacer les tractions des poids F et F', qui agissent suivant la verticale, par des tractions dirigées suivant les cordons obliques AB et AC. Une fois l'équilibre établi, la force R est donc égale et directement opposée à la résultante des forces F et F' : cette résultante est donc dirigée de A vers Z dans le prolongement

du cordon vertical AD, et, pour vérifier l'énoncé nV notre proposition, il suffit de faire la consti

Pig. î.

suivante sur le tableau noir qui est parallèle à la figure formée par les cordons et à une petite distance de cette figure :

Prenons sur AB la distance AM = 4d,n, et sur AC la longueur AN = 5dm, c'est-à-dire sur les directions des cordons des longueurs proportionnelles aux intensités des composantes F, F' ; achevons le parallélogramme AMNG, et nous trouverons: 1° que le sommet G est sur AZ, ce qui démontre que la résultante est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur F et sur F' ; 2° que cette diagonale AC contient 6 décimètres, ce qui prouve qu'elle représente en grandeur aussi bien qu'en direction la grandeur de cette résultante qui est de G"?. Les deux parties de l'énoncé sont donc vérifiées, et cette démonstration expérimentale suffit parfaitement ; elle nous paraît même préférable à la démonstration théorique, qui est très longue et que beaucoup d'élèves apprennent par cœur sans la bien comprendre.

Relations entre les composantes et la résultante. — Proposition I. — Le carré de la résultante de deux forces angulaires est égal à la somme des carrés des composantes plus deux fuis le produit de ces forces multiplié par le cosinus de leur angle.

En eiïvt, considérons (fig. 3) deux forces F et F'

Fig. 3.

faisant entre elles l'angle A; dans le triangle ACD nous aurons :

AD2 = AC* + CD* — 2AC X CD cos ACD

et comme

ACD = 180° — CAB = !80<> — A, cos ACD = — cos A,

nous trouverons en substituant

AD* = AC2 + CD* + 2AC X AB cos A,

c'est-à-dire

Rï = F2 -f F'2 -J- 2F X F' X Cos A.

Conséquence. — Si les forces F et F' sont rec-

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tangulaires, l'angle A est droit, son cosinus est nul et l'on a :

Ainsi le carré de la résultante de deux forces rectangulaires est égal à la somme des carrés des composantes.

Proposition II. — Si l'on considère deux forces F, F' et leur résultante R, il existe un rapport constant entre chacune de ces forces et le sinus de f angle formé par les directions des deux autres.

En effet, le triangle ACD fournit la relation :

sin CAD sinADC sin C sin(180°— C)'

c'est-à-dire

sin (F', R) sin (F, R) sin (F, F')

Décomposition d'une force en deux autres. — Problème. — Etant données une force R appliquée au point A et deux directions AX et AY issues de ce point et situées dans un même plan avec R, on propose de décomposer cette force R en deux autres F et F' dirigées suivant les directions AX et AY.

Solution. — On peut déterminer les intensités des forces F et F' par un tracé graphique ; il suffit de mener par l'extrémité D de la force R les parallèles DC à AX et DB à AY ; ces parallèles déterminent sur AX et AY des longueurs AB et AC proportionnelles aux composantes cherchées F et F'.

Si l'on veut calculer les intensités F et F', il suffit de s'appuyer sur la proposition précédente : elle donne les relations :

F = RsinCADF, = RsinBAD

sin BAC

Remarque. — Si les composantes doivent être à angle droit, on a :

sin BAC = I, et par conséquent

F = R sin CAD = R cos BAD F' = R sin BAD = R cos CAD.

Ainsi, chaque composante est égale au produit de la résultante par le cosinus de l'angle compris entre sa direction et celle de la résultante, ou bien chacune des composantes est la projection de la résultante sur les directions données.

Composition d'un nombre quelconque de forces concourantes. — Proposition I. — Pour trouver géométriquement la résultante d'un système de forces F, F', F", appliquées au même point 0 et dirigées d'une manière quelconque dans l'espace, on construit (fig. 4) un contour polygonal AB'C'D'E'

Fis. 4.

dont les côtés sont respectivement égaux et parallèles aux lignes OA,OB,OC,OD,OE qui représeyitent ces forces ; on joint au point d'application 0 l'extrémité E' de ce contour, et cette ligne OE' représente la résultante en grandeur et en direction. En effet, si nous composons d'abord les forces

F et F' qui sont représentées par les lignes OA et OB, nous construirons le parallélogramme OABB' ; puis nous composerons la résultante OB' avec OC qui représente F', ce qui nous donnera la résultante OC ; composant OC et OD, nous obtiendrons OD', et il ne restera plus qu'à composer OD' et OE, en construisant le dernier parallélogramme OD'EE' ; sa diagonale OE' représentera la résultante de toutes les forces pour sa direction et son intensité. Il est bien clair qu'il n'est pas nécessaire de tracer tous les côtés et les diagonales de ces divers parallélogrammes; il suffit de marquer le contour AB'C'D'E'.

Remarque. — Si le contour se ferme, la résultante totale est nulle et les forces se font équilibre.

Parallélipipède des forces. — Comme cas particulier, considérons trois forces F,F',F", appliquées au point O (fig. 5) et représentées par les

lignes OA,OB,OC non situées dans un même plan ; leur résultante sera représentée pour sa direction et son intensité par la diagonale OD du parallélipipède construit sur ces trois forces.

Si les trois forces forment un trièdre tri-rectangle, leur résultante R est donnée par la formule:

car dans un parallélipipède rectangle le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des trois dimensions.

Problème. — Décomposer une force en trois autres dont les directions ne sont pas situées dans tin même plan.

Soit OD la force R qu'il s'agit* de décomposer en trois autres dirigées suivant les directions OA,OB,OC. On obtiendra les intensités de ces trois composantes en menant par le point D trois plans parallèles aux plans OAB, OAC, OBC ; chacun d'eux coupera la troisième direction, et les longueurs OC, OB, OA ainsi déterminées représenteront les intensités des composantes inconnues.

Conséquence. — Si les trois directions données sont rectangulaires, chaque composante est égale à la projection de la force donnée sur la direction de cette composante; son intensité est égale à celle de la résultante multipliée par le cosinus de l'angle que fait cette résultante avec la direction de la composante considérée.

En effet, le triangle DOA est rectangle en A et Ton a :

OA = ODcosAOD

OB = OD cos BOD OC = ODcosCOD

Si donc l'on pose