OA = X, OB = Y, OC = Z
AOD = «, BOD = p, COD=y
on aura pour les trois composantes de la force R :
X = Rcosa, Y = Rcosp, Z = Rcosy.
Ces formules sont générales et représentent, quelle que soit la direction de la force, la projection
MECANIQUE
MECANIQUE
d« cette force sur les directions OA,OB,OC. Il suffit de regarder comme positives les composantes suivant les directions OA.OB,OG et comme négatives celles qui tirent suivant leurs prolongement*. En effet, si l'angle a est obtus, son cosinus est négatif, et le produit R cos a le sera aussi ; mais alors la composante X sera dirigée en sens contraire de OA ; donc R cos a pris avec son signe représentera à la fois la grandeur et le sens de la première composante.
Problème. — Déterminer par le calcul la résultante d'un système quelconque de forces concourantes.
Solution. — Soient F,F',F"..., les forces données appliquées au même point O d'un corps solide. Menons par ce point trois axes rectangulaires de direction arbitraire, OX, OY, OZ (fig. G), auxquels
En effet, pour que la résultante R soit nulle, il faut et il suffit que l'on ait à la fois :
II faut bien remarquer que le corps ne serait pas nécessairement en équilibre si la somme des projections des forces était nulle pour un seul axe, si l'on avait par exemple Xj == 0 seulement : en effet, il pourrait se faire que la résultante R fût située dans un plan perpendiculaire à l'axo OX sans être nulle ; mais si l'on a en même temps Y, = 0 et Zj = 0, cette résultante est nécessairement égale à zéro.
Moments des forces concourantes situées dans un même plan. — On appelle moment d'une forée F par rapport à un point 0 (fig. 7) le produit.
Fig. 6-
nous rapporterons les forces F, F .F" ,.„. Pour que les positions relatives de ces forces soient bien déterminées, il suffit que nous connaissions les angles que fait chacune d'elles avec les trois axes ; nous désignerons les angles que fait F avec OX, OY, OZ, par a, [3, v; nous appellerons de même a', p', y» ^es angles qui correspondent à F', etc.
Décomposons chacune des forces en trois autres dirigées suivant OX, OY, OZ : nous aurons pour les composantes de F :
F cos a, F cos p,. F cos y,
pour celles de F":
F' cos a', F' cos £', F' cos y',
et ainsi de suite.
Toutes les forces dirigées suivant OX se composeront en une seule que nous appellerons X, : de même les composantes suivant OY fourniront une résultante Yj, et celles qui agissent suivant OZ donneront la résultante partielle Zj ; nous aurons par conséquent :
Xj = F cos a -f- F' cos a' +....
Y, = F cos p + F' cos p' +....
Zj = Fcos y-f-F'cos y'+....
Il ne restera plus qu'à composer les trois forces rectangulaires Xj,Yi,Z,, pour avoir la résultante définitive R ; nous aurons donc :
Rs = X1i + Y1* + Z,«.
Quant à la direction de cette résultante, elle sera donnée par les angles a, b, c, qu'elle fait avec les trois axes; les cosinus de ces angles sont:
X, il z«
cosa = ~, cosb=-±, coac=-r~
lv 1 > 1 \
Proposition II. — Pour que plusieurs forces concourantes se fassent équilibre, il faut et il suffit que la somme algéorique des projections de cas forces sur trois axes rectangulaires queli passant par ce point soit égale à zéro pour chacun de ces axes.
F x OP de son intensité par la distance de cepoint à la direction de la force ; ce point est appelé centre des moments, et la perpendiculaire abaissée sur la forcp en est le bras de levier.
Il est clair que le moment d'une force est nui quand cette force passe par le centre des moments.
Les moments des forces F et F' par rapport au point O (fig. 8) sont :
FXOA et F'XOA';
mais si l'on imagine que la figure soit mobile autour du point O, on voit oue la force F tend à
VjS
Fig. S.
faire tourner la figure dans le sens des aiguiller d'une montre, tandis que la force F' tendrait à la faire tourner en sens contraire. On caractérise cette opposition de sens des rotations fictives de la figure autour du point O, sous l'action séparée des forces F et F', par une opposition de signes ; on dit que le moment de F est positif et que celui de F' est négatif ; nn met le signe + devant le premier et le signe — devant le second en écrivant :
