NORMANDS

une liqueur neutre1 qui est formée par la combinaison de ces deux corps binaires. La formule de ce sel, qui est du sulfate de potasse, se formera en mettante côté l'une de l'autre la formula de l'acide et celle de la base, en commençant, généralement du moins, par celle de la base: KO,S03; les deux formules doivent être séparées par une virgule. CaO,CO- représente du carbonate de chaux ; NaO,Az08 de l'azotate de soude; PbO.CO'du carbonate de plomb. Ce qui précède paraît aussi naturel que logique; cependant cette manière de représenter un sel implique une hypothèse à laquelle nous avons déjà fait allusion. On comprend, en effet, que le carbonate de plomb peut être formulé autrement: au lieu d'écrire PbO,C02, on peut écrire PbC,03, cette dernière formule représentant les proportions de plomb, de carbone et d'oxygène qui constituent le carbonate de plomb sans aucune indication hypothétique sur la manière dont les atomes de ces corps peuvent être groupés dans la molécule de rarbonate de plomb ; tandis que, dans la formule PbO,<;02, on suppose que la molécule binaire PbO est juxtaposée à la molécule CO2. Nous avons déjà dit plus haut que cette hypothèse, fondée sur un grand nombre de faits à la vérité, ne pouvait pas cependant rendre compte de la plupart des réactions que présentent les composés organiques.

Formules des sels acides et de< sels basiques. — Véquiva'ent d'un corps composé est égal à la somme complète des équivalents des corps simples qui le constituent. L'équivalent de l'eau est égal à 1 + 8 = HO ; celui de l'acide sulfui ique à 16 + 8 + 8+8 = SO3 ; celui du sesquioxyde fer = 28 X 2 + 8X3= Fe^O3. L'équivalent du sulfate de potasse sera : (21 + 8 = KO, + ( i 6 + 8 x 3 = SO3; = 69 = KO.S03.

Le sulfate de sesquioxyde de fer, qui contient 3 équivalents d'acide sulfurique pour chaque équivalent de sesquioxyde, s'écrira : Fe:03,3S03. Le bisulfate de potasse: K0.2S03. Le phosphate tribasique de chaux : 3CaO,Ph05, etc.

Corps quaternaires ou sets doubles. — La formule de l'alun ou sulfate double d'alumine et de potasse s'écrit:

A1203,3S03, KO.SO3 Sulfate d'alumine Sulfate de potasse.

Les deux formules des deux sulfates se juxtaposent pour former celle du sulfate double.

Nous avons cru devoir donner en détail la nomenclature si simple, si précise et qui a été si féconde, de Lavoisier et de ses illustres col'aborateurs, p iree que nous la regardons comme la ieçon la plus importante d'un cours de chimie.

Cependant l'expérience de l'enseignement montre que la plupart des élèves arrivés à la fin de leur cours sont incapables d'écrire la formule d'un corps composé qu'on leur nomme, aussi bien que de nommer la substance représentée par une formule écrite. A quoi cela tient-il surtout? A ce qu'ayant trop rapidement passé sur cette importante leçon, et ne la sachant point par conséquent, ils ne comprennent point les leçons suivantes; la chimie leur paraît difficile, rebutante, ils la négligent complètement, et cela tout simplement parce qu'ils n'en savent point le langage. Une formule est pour eux un jargon incompréhensible capable de rebuter la plus heureuse mémoire. On ne saurait donc trop insister dans le commencement d'un cours sur l'importance absolue de la nomenclature. Les élèves sont aussi effrayés, sinon découragés, par ces noms bizarres qu'on leur prodigue dès la première ou la deuxième leçon. Quoique la connaissance de la nomenclature soit indispensable pour suivre fructueusement un cours do chimie, il n'est point pour cela nécessaire de l'expliquer dans la première ni môme dans la deuxième leçon ; il

est très utile au contraire, avant de commencer la nomenclature, et afin de familiariser les i avec les noms et avec les choses, de consacrer plusieurs leçons (trois ou quatre au moins) à d> néralités appuyées d'un grand nombre d'expériences choisies, répétées lentement devant l'auditoire, auquel on doit faire toucher les substances dont on se sert. [A. JacquemardJ

NORMANDS. — Histoire générale, XVIII; Histoire de France, YII-YIJI. — C'est sous le nom de Normands ou Nor/twwns (hommes du Nord) qu'on a désigné, au moyen âge. les pirates de race Scandinave (Danois, Suédois et Norvégiens) qui, dès le xie siècle, s'élancèrent sur l'Europe et les îles Britanniques. Marins excellents par la situation de leur pays, aventureux par caractère, par religion (leur paradis n'était ouvert qu'aux braves morts en combattant), ils montaient des barques d'osier recouvertes de cuir, et, sous la conduite d'un roi de mer, connaissant les lettres mystérieuses qui, gravées sur les rames ou sur l'ép'e, préservent du naufrage ou de la mort, ils allaient à la découverte et à la conquête. Leurs premières incursions en Europe eurent sans doute pour cause la guerre que fit Charlemagne aux Saxons; l'empereur construisit contre eux des forteresses et des flottilles qui ne purent pas les arrêter. En 802, un de ces chefs normands, P.urik, appelé par les habitants de Novgorod, en Russie, contre leurs voisins, prit le titre de grand-duc des Varègues, et fonda le premier des Etats normands, dont le rôle devait être si important jusqu'aux temps modernes. A partir de cette époqu courses des Normands ont deux buts : les terres polaires et les côtes d'Angleterre et de France. Entraînés dans les mers du Nord par la pêche de la baleine, ils s'établissent aux lies Feroë, vers 8G1 ; en Islande, vers 870, où ils fondèrent un petit Etat; puis dans le Groenland (« terre verte »), qui fut découvert et baptisé par Eric le Roux (vers 9S2). Le Labrador, découvert aussi par eux, ne reçut ce nom qu'au xve siècle. Pendant ce temps, profitant de l'anarchie qui suivit le règne de Charlemagne, d'autres bandes ravageaient les côtes de France. Elles choisirent trois stations principales : 1° station de la lieuse et de l'Escaut, d'où elles étendirent leurs incursions sur la Hollande, la Zélande, la Frise, la Flandre, le Hainaut et les bords du Rhin jusqu'à Aixla-Chapelle. Charles le Gros ayant tué en trahison leur chef Godefried, les Normands de la Meuse s'unirent aux Normands de la Seine et assiégèrent Paris, que défendirent Eudes, comte de l'Ile-de-France, l'évêque Gnzlin et Ebles, abbé de Saint-Germain des Prés. Ils furent vaincus à Louvain, en 891, par Arnulf de Germanie qui mit fin à leurs ravages; 2" station de la Loire ; ils remontèrent ce fleuve jusqu'en Auvergne, après avoir pillé Nantes. En 866, Robert le Fort, comte de Paris, périt en leur livrant la bataille de Brisserte. Dans le pays entre Seine et Loire vivait aussi un paysan nommé Tertulle, que Charles le Chauve créa sénéchal d'Anjou. Il fut la tige des Plantagenets. Le chef des Normands de la Loire, Thiebold, s'établit entre Chartres et Tours et devint la tige des comtes de Blois et de Champagne (879) ; 3° station de la Seine, d'où ils pillèrent Rouen (891), et les rives do la Seine jusqu'à Paris. Ils songèrent ensuite à rester dans ce pays « qui languissait inculte et tout couvert de grands bois. » Roll, leur chef, s'établit à Rouen; Charles le Simple lui offrit la main de sa fille Gisèleàcondition nu'il se ferait chrétien, et lui céda, par le traité de Saint-Clair sur Epte, le pays situé entre l'Epte et la Bretagne, qui prit le nom de Normandie (911). Roll divisa la terre entre ses compagnons; les Neustriens furent réduits à l'état de serfs et de colons. La Normandie devint entre ses mains riche

NUAGES

et prospère, mais les Normands conservèrent toujours leur ancien amour des expéditions lointaines, et avec leur établissement ne se termina point leur rôle en Europe.

En 1016. quarante chevaliers normands de Neustrie, revenant d'un pèlerinage en Terre-Sainte, arrivèrent à Salerne au moment où la ville était assiégée par des Sarrasins ; ils les attaquèrent, les vainquirent et se mirent à la solde des princes d'Italie. Le duc de Naples leur donna Aversa en récompense de leurs services. En 1033, les fils d'un gentilhomme du Cotentin, Tancrède de Hauteville, amenèrent en Italie une bande plus nombreuse, chassèrent les Grecs de la Pouille et Vengèrent en comté. Attaqués par le pape Léon IX, ils le vainquirent près de Civitella etobtinrent de lui l'investiture de la Pouille, de la Calabre et de la Sicile (1053,. Le dernier des fils de Tancrède, Robert Wiscart ou le Rusé, lui paya tribut et prit le titre de duc de Pouille et de Calabre ; un de ses frères régna sur la Sicile. Les Normands devinrent alors les défenseurs dévoués du Saint-Siège et de l'Eglise. Ils soutinrent Grégoire VII contre Henri IV, empereur d'Allemagne, dans la querelle des investitures, et forcèrent l'empereur à lever le siège du château Saint-Ange (1084). Ils prirent aussi une part active aux croisades. Lorsque la première croisade fut prôchée (1095), la Pouille et la Calabre étaient gouvernées par Bocmond, fils de Robert Wiscart, qui partit à la tête de son armée et s'établit à Antioche que l'on érigea en principauté. Boëmond commanda une seconde expédition en 1 107, et voulut la mener à la conquête de Constantinople ; maisil échoua dans son projet. La domination normande finit, dans le royaume des Deux-Siciles, en 1194, par la conquête d'Henri VI, empereur d'Allemagne, héritier, par sa femme, du dernier roi normand Guillaume.

Pendant ce temps, la puissance des ducs de Normandie n'avait cessé de s'accroître sous le gouvernement de Robert le Magnifique. Les Normands étaient entrés en relations avec la Grande-Bretagne et avaient essayé d'y rétablir les rois saxons. A la mort du dernier roi danois, le fils d'Ethelred II, Edouard le Confesseur, réfugié en Normandie, monta sur le trône. Les Normands , avec lui , devinrent tout puissants en Angleteire. A sa mort (1066), Guillaume le Bâtard secondé par le pape Alexandre II, disputa le trône au fils du comte saxon Godwin, Harold. Il envahit l'Angleterre, vainquit Harold à Hasiings et soumit tout le royaume. Une enquête territoriale consignée dans le grand-terrier, rôle royal ou grand rôle, ou, comme l'appelèrent les Saxons, Doomsday-book (livre du jour du jugement), divisa tout le royaume en 62,500 fiefs partagés entre les compagnons de Guillaume. Les Saxons, réduits à l'état de serfs, furent soumis a la taille, aux lois du couvre-feu, d'anglaiserie, etc. Le code de chasse et le code forestier leur fermèrent les forêts. Le français-roman, que les Normands avaient perfectionné et employé les premiers dans leurs poésies, fut désormais la seule langue employée dans les actes publics, en Angleterre. — V. Scandinaves {Etats), Charles le Simple, Guilluume-le Conquérunt, Italie, Angleterre.

jTh. Lindenlaub.]

NORVÈGE. — V. Scajidinnves (États).

NUAGES. — Météorologie, VII-X. — Les nuages sont des brouillards vus de loin ; ils en reprennent l'aspect quand on s'en approche ou qu'on y pénètre. Leur nature change suivant la situation qu'ils occupent et suivant la saison.

Le plus ordinairement, dans nos climats, les nuages sont formés par des amas de. vapeur condensée en globules liquides d'une extrême ténuité. Ces globules tombent dans l'air avec une lenteur d'autant plus grande qu'ils sont plus fins. Si la

masse d'air dans laquelle ils descendent est, au contraire, animée d'un mouvement ascensionnel d'ensemble, il peut arriver qu'ils montent en réalité, malgré leur chute relative : une barque qui remonterait le cours d'un fleuve avec une vitesse moindre que celle de l'eau descendrait en réalité par rapport aux rives. Aussi voit-on généralement les nuages monter ou descendre avec les heures du jour.

La couche d'air dans laquelle se forment les nuages est saturée de vapeur d'eau; la couche d'air placée au-dessous ne l'est généralement pas encore ; les globules d'eau qui y pénètrent dans leur chute se vaporisent promptement, comme les panaches de vapeur condensée qui s'échappent des cheminées des locomotives se dissipent dans l'air plus ou moins sec. C'est une seconde cause de délimitation inférieure des nuages. Quant a leurs limites latérales, elles sont dues à la distance ; leur précision apparente disparaît à mesure qu'on s'en approche davantage. Ces limites d'ailleurs sont perpétuellement changeantes au gré des courants d'air intérieurs. L'épaisseur des nuages, plus variable encore, peut quelquefois atteindre et dépasser un millier de mètres.

Parmi la masse des globules qui composent un nuage, il s'en trouve de plus volumineux que d'autres et dont la chute est plus rapide. Les premiers peuvent heurter les seconds et les absorber; ils augmentent progressivement de volume jusqu'à former des gouttes de pluie.

Les globules d'eau, une fois formés, peuvent subir l'action de froids intenses sans se congeler. Les physiciens disent qu'ils sont alors à 1 état de sur fusion; mais s'ils touchent un corps solide, et surtout un fragment de glace, ils se congèlent subitement : de là ces verglas désastreux comme celui du 20 janvier 1879.

Si la condensation de la vapeur d'eau a lieu à une température inférieure à 0°, cette vapeur, au lieu de se condenser en globules aqueux, se transforme en lamelles cristallines très fines qui restent isolées ou se groupent en flocons de neige, chaque cristal en appelant un autre. Dans le premier cas on a un brouillard cristallin du nord, dans le second on a une chute de neige. Les brouillards cristallins en couches très minces et vus de très loin forment, même pendant l'été, ces nuages filamenteux qu'on nomme cùvus.

Les météorologistes attachent une assez grande importance à la forme des nuages. Quelques-uns même divisent ces formes en classes très nombreuses dont ils font une nomenclature détaillée. Nous indiquerons seulement quelques-unes des formes principales.

Les cirrus, a queues de chat » des marins, sont des nuages extrêmement élevés, très légers et très déliés, composés, comme il vient d'être d'.t de particules cristallines de vapeur congelée. On peut les rencontrer en toute saison. Ils accusent l'invasion des courants du sud-ouest dans les hautes régions de l'air.

Si cette invasion fait des progrès assez lents, les lamelle/s de glace fondent, les filaments se rassemblent, les nuages deviennent^- mmelés, le ciel se moutonne.

Les cumulus, « balles de coton » des marins, ont des formes arrondies, massives, souvent très volumineuses. Ce sont surtout les nuages d'été, ou de montagnes; ils sont dus à la condensation de la vapeur au sein des masses d'air soulevées par les courants ascendants.

Les stratus sont des nuages de formes très allonsrées, ayant l'aspect de bandes, que l'on aperçoit près de l'horizon. Ils sont, le plus souvent, à peine visibles des lieux qu'ils dominent; la perspective seule, les montrant par la tranche, les fait paraître plus compacts.

NUMÉRATION

NUMERATION

Les tiitnbus sont des nuages bas, étendus, d'où t'échappent le plus souvent les pluies ou les neiges.

Les brumes ou bionillanls sont des nuages plus ou moins denses, descendant jusqu'à la surface du sol, s'y formant même le plus souvent, et au milieu desquels nous sommes plongés.

Les nuages, quelle que soit leur forme, peuvent prendre naissance dans deux conditions différentes, mais pouvant se superposer.

Quand le temps se refroidit, soit par l'effet du rayonnement terrestre, soit par l'invasion de vents d'S régions du nord, une partie de la vapeur contenue dans l'air ne peut plu-, y conserver l'état gazeux: elle se condense (cirrus brumes, brouillards". <v»uand l'air chaud et humide des régions voisines du sol mont'' progressivement dans l'atmosphère, soit par l'effet de l'inégal échauffement des terres couvertes de cultures différentes, soit par l'effet d 'S inégalités d'un sol accidenté ou montagneux, cet air se refroidit progressivement par le fait même de son ascension et de l'expansion qu'une diminution de pression produit en lui. Il arrive finalement à une hauteur ou à une température à laquelle il ne peut plus garder toute sa vapeur, qui se condense en partie (cumulus). Les montagnes élevées sont fréquemment couronnées par des nuages ayant cette seconde o. igine, et c'est à des nuages de cette nature que les marins reconnaissent au milieu des grands océans équatoriaux la présence, au loin, d'ilôts même des plus petites dimensions. [Marié-Davy.]

NUITS. — Histoire générale, XXXIX-XL. — Xous complétons notre article Jow nées par l'cnumération des Nuits historiques les plus célèbres. Ce sont : la nuit de la Saint-Brice (1002,, dans laquelle les Anglo-Saxons égorgèrent tous les Danois établis en Angleterre; la nuit triste la noche triste en espagnol, 1er juillet 1520), durant laquelle Cortez et ses compagnons, assaillis par une insurrection des indigènes, durent évacuer Mexico; la nuit de la Saint-Barthélémy (J4 août 1372) . souillée par le massacre des protestants français; ia nuit du 4 août ! 789, durant laquelle se tint la fameuse séance de l'Assemblée constituante où eut lieu la renonciation aux privilèges *eodaux.

NUMÉRATION. — Arithmétique, Mil. — Étym. : du latin numeratio, action de compter.

Nombre; unité. — Qu'un enfant interrogé au tableau soit invité parle maître à dire combien d'élèves sont assi> à la table qui est devant lui ; il compte et répond qu'il y en a six, par exemple : le terme six est un nombre, et l'élève est Yuniié. Qu'on lui demande ensuite d'indiquer la longueur de la table ; il porte le mètre d'un bout de la table à l'autre, et s'il trouve qu'il y est contenu quatre fois par exemple, il est dit que la table a une longueur de ■ juatre mètres; ici le terme quatre est un nombre <;t le mètre est Yunité.

D'après ces exemples (qu'on fera bien de multiplier) on voit que mesurer une quantité quelconque, c'est chercher combien de fois elle contient une • ertaine quantité de même espèce, connue ou adoptée par l'usage.

Cette quantité connue, qui sert à évaluer les quantités de même espèce, est appelée unité.

On appelle nombn: l'expression qui indique combien il y a d'unités dans la quantité mesurée.

Unité fractionnaire ; nombre fractionnaire; fraction; n rnbre entier. — On peut avoir à mesurer une quantité moindre que l'unité. Soit par exemple à mesurer la longueur d'un cahier : le mètre, qui est l'unité ordinaire de longueur, étant trop grand, on emploie pour mesure une des dix parties égales dont se compose la longueur du mètre et qui s'appeiïentdé imètre; si elle se trouve contenue trois fuis, par exemple, dans la longueur du cahier, on

fait connaître cettr> longueur en disant qu'elle a trois décimètres. Dans ce cas, trois est le nombre et le di-cimèlre est l'unité. Mais cette unité, n'étant qu'une des parties égales dans lesquelles le mètre est subdivisé, peut être appelée unité fractionnaire, du mot fraction qui signifie partie, portion de quelque chose.

Pour mesurer une longueur moindre que le mè-

j tre, on pourrait prendre toute autre partie du mè-

I tre comme unité ; par exemple, en le partageant en

deux parties égales, on aurait la mo tié du mètre

ou demi-mètre ; en le partageant en trois, on aurait

la troisième partie appelée aussi r>>rs; en le par-

' tageant en quatre parties, on aurait la quatrième

1 partie appelée aussi quart; en cinq, six, etc., on

aurait la cinquième partie, la sixième partie du

mètre, etc. L'une quelconque de ces partieségales

étant employée comme mesure de longueur sera

une unité fractionnaire. On dira par exemple que

la largeur de la table est égale à trois quarts de

mètre, que la longueur d'une règle est égale à cinq

fois la huitième partie du mètre, ou, comm: on dit

souvent, à cinq huitièmes de mètre.

Il n'est pas nécessaire que l'unité soit effectivement divisée en plusieurs parties égalas ; il suffit que l'esprit conçoive cette division ; par exemple le prix d'un objet sera un tiers, un quart, deux cinquièmes de franc.

On appelle donc unité f ' -actionnaire une partie quelconque de l'unité entière qui est employée aussi comme unité pour la mesure d'une quantité.

Le nom de cette «unité est facile à former; oi ajoute la terminaison ième au nom du nombre qui indique en combien de parties égales on a partagé l'unité entière pour former cette unité fractionnaire : un ci'iqwème, u?i sixième, un dixième, etc. Seulement on emploie depréférence les mots demie, tiers, quart, au lieu de deuxième, troisième, quatrième partie.

Le nombre qui exprime des unités fractionnaires est appelé nombre fractionnaire ; celui qui n'exprime que des unités entières est un nombre entier.

Quand le nombre fractionnaire exprime une quantité moindre que l'unité entière, il porte le nom de fraction. Ainsi cinq tiers de mètre, neuf quarts de franr sont des nombres fractionnaires; deux tiers de mètre, trou quarts de franc sont des fractions.

Nombre abstrait; nombre concret. — Un nombre, soit entier, soit fractionnaire, n'est pas toujours accompagné du nom de l'unité, comme quand on dit par exemple : un, deux, trois, ou bien une demie, '/eux tiers, t^ois quarts, etc., sans avoir en vue une espèce d'unité plutôt qu'une autre. Dans ce cas le nombre est at,strait, c'est-à-dire séparé de la quantité à laquelle il se rapportait. Par opposition, le nombre qui est accompagné du nom de l'unité est appelé nombre concret (du latin concretus, épais, solide) ; par exemple trois francs, cinq sixièmes de mé re.

Formation desnombres; numération. — Quelque grand que soit, par exemple, le nombre des haricots contenus dans un sac, tout enfant conçoit parfaitement qu'en ajoutant un haricot à ce nombre, puis un autre et ainsi de suite, on obtient des nombres qui peuvent aller en augmentant ainsi indéfiniment sans aucune limite. Il était donc nécessaire de trouver un moyen pour désigner tous les nombres, quelque grands qu'ils puissent être, par des noms faciles à retenir et à composer : c'est en cela que consiste la numération.

La numération est un système de règles d'après le-quelles tous les nombres peuvent Cire désignés à l'aide de quelques mots et écrits à l'aide de quelques caractères.

Bornée à la formation des noms qui désignent les nombres, elle se nomme numération parlée;

NUMÉRATION

NUMERATION

appliquée à l'écriture des nombres, elle se nomme numération écrite.

Numération parlée. — Même avant leur entrée à l'école, les enfants savent tous que le nombre qui ne désigne qu'une seule chose, une seule unité, est appelé un; que un ajouté à un forme le nombre deux ; que un ajouté a deux forme le nombre trois, et qu'en continuant à ajouter un successivement à un nombre précédent, on a les nombres appelés quatre, cinq, six, sept, huit, neuf et dix. Quoique la plupart des élèves soient capables de compter plus loin : onze, douze, etc., arrêtons-nous à dix. Observons que, l'esprit se trouvant fatigué par l'attention qu'exigent des nombres trop grands, un marchand, par exemple, compte ses œufs par douzaines, en disant trois douzaines, quatre douzaines. De même, et probablement à la vue des dix doigts des deux mains, on a formé de dix unités un groupe considéré comme une nouvelle unité plus grande nommée dizaine, et on compte les objets par dizaines : une dizaine, deux dizaines, trois dizaines, etc., jusqu'à neuf dizaines. Au lieu de une dizaine, on emploie le mot dix qui est plus court; les autres nombres de dizaines sont aussi remplacés par les mots suivants, tirés du iatin : deux dizaines, vingt; trois dizaines, trente; quatre dizaines, quarante; cinq dizaines, cinquante ; six dizaines, soixante j sept dizaines, septaite; huit dizaines, huilante; neuf dizaines, aonante.

Mais, par une irrégularité regrettable, les termes septante, huitade et nouante sont peu en usage, et à leur place on dit : soixmte-dix, quatre-vingts, quatre-vmgt-dix.

Pour désigner un nombre contenant des dizaines et des unités, on joint au nom des dizaines celui des unités : vingt-cinq, trente-huit, etc. Cependant au lieu de dix-un, dia-deux, dix-trois, d<xquatre, dix-cinq, dix-six, on se sert de mots équivalents venus du latin : onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize. Au delà on reprend la règle : dix-sept, dix-huit, etc.

Avec ce qui précède, on est en état de désigner tous les nombres depuis un jusqu'à nonante-neuf, ou, pour employer l'expression plus usitée, quatrevingt-dix-neuf.

En ajoutant une unité simple à ce dernier nombre, on a neuf dizaines plus une dizaine ou dix dizaines: ce nombre est appelé cent . Le groupe de dix dizaines est considéré aussi comme une troisième espèce d'unités appelées centaines, et on compte par centaines, comme on compte par dizaines et par unités simples : une cent nue, deux centaines. etc., ou plutôt cent, deux cents, etc., jusqu'à neuf cents.

Pour désigner un nombre contenant des centaines, des dizaines et des unités, on joint au nom des centaines celui des dizaines et des unités; par exemple : Deux cent trente-quatre ; cinq centqnatrevingt-dix-s-pt (ponvcinq cent nonante-sept), etc. On est ainsi en état de compter depuis un jusqu'à neuf cent quatre-vingt-dix-neuf {neufcentnonante-neuf}.

On distingue les unités simples, les dizaines et les centaines par ordres: les unités simples sont les unités du premier ordre; les dizaines sont celles du deuxième ordre ; les centaines, celles du troisième ordre.

Augmenté d'une unité simple, le nombre neuf cent quatre-vingt-dix-neuf devient un nouveau nombre contenant neuf centaines, neuf dizaines et une dizaine, c'est-à-dire dix centaines; on le nomme mille. Le groupe de mille unités simples est regardé comme une nouvelle unité, qui est celle du quatrième ordre ; ces unités se comptent comme les unités simples : un mille ou plus simplement mille, deux mille, etc. jusqu'à neuf mille.

Pour ne pas répéter sans nécessité les détails des explications précédentes, il suffira de dire pour ce qui suit que dix unités de mille font la dizaine de

mille, ou unité du cinquième ordre, que dix dizaines de mille font la centaine de mille ou unité du sixième ordre, que dix centaine* de mille font Y unité de million ou unité du septième ordre, et ainsi de suite: rlizaine de million, unité du huitième ordre ; centaine de million, unité du neuvième ordre ; unité de billion, dizaine fie billion, centaine de billion. L'unité de billion est aussi appelée milliard, particulièrement en termes de finances.

Il est inutile de pousser cette nomenclature plus loin, et d'énoncer des unités telles que les billions^ les quatrillions , etc., qui, par leur grandeur en dehors de toutes les réalités ordinaires, ne disent rien à l'esprit des élèves.

Ce qui est plus important, c'est la remarque suivante: les unités des divers ordres se succèdent, de telle manière que chacune vaut dix unités de l'ordre immédiatement inférieur. Tel est le principe de la numération parlée.

Ainsi le nombre dix sert de base à ce système de numération, qui pour cette raison s'appelle numération décimale.

Observons encore que les divers ordres d'unités forment naturellement des groupes contenant chacun les trois ordres : unités, dizaines et centaines. Ces groupes sont les classes d'unités principales : classe des unités simples; classe des mille, classe des millions, etc.

Pour éviter toute équivoque, on se rappellera que le mot unité seul désigne toujours l'unité simple, celle du premier ordre.

Numération écrite. — Chaque ordre ne contient pas plus de neuf unités ; car treize par exemple est la même chose que une dizaine et trois unités; de même quarante-huit désigne quatre dizaines et huit unités. Par conséquent neuf caractères suffisent pour représenter les neuf nombres d'unités de chaque ordre ; ces caractères, nommés chiffre*, sont:

1 un; 2 deux; 3 trois; 4 quatre; h cinq; (5 six; 7 sept; 8 huit; 9 neuf.

Ces chiffres nous viennent des Arabes.

Ainsi le chiffre 7 représentera aussi bien sept unités de mille que sept centaines ou sept dizaines ou sept unités simples ; mais il faut qu'en même temps il indique l'ordre des unités qu'il exprime. C'est ce qui se réalise d'après la règle suivante : le chiffre des unités simples étant écrit le premier, celui des dizaines sera le second en allant de droite à gauche, celui des centaines le troisième, celui des unités de mille le quatrième, et ainsi de suite, de sorte que Yordre /tes unités d'un chiffe est marqué par le rang qu'il occupe. Par exemple, dans le nombre 675'.), le chiffre 6 exprime t> unités du quatrième ordre ou 6 mille, le chiffre 7 exprime 7 unités du troisième ordre ou 1 cents; le chiffre 5 exprime 5 unités du deuxième ordre ou 5 dizaines (cinquante) ; enfin le chiffre 9 exprime 9 unités du premier ordre ou 9 unités simples.

Il peut arriver qu'au-dessous de ses unités les plus élevées, un nombre manque d'un ou même de plusieurs des ordres inférieurs. D.ins ce cas, pour que chaque chiffre occupe le rang qu'il doit avoir, on écrit à la place des ordres qui manquent le caractère 0, nommé zéro. Ainsi le nombre quatre cent sept unités contient 4 unités du troisième ordre, 7 unités du premier, et n'a pas de dizaines ; il s'écrira 407. Le nombre quatre cent soixante-dix quatre cent septante) contient 4 unités du troisième ordre, 7 du second et n'a pas d'unités du premier; il s'écrira 470.

Le zéro chez les Arabes portait le nom de çnfar, qui signifie « vide ». Importé en Italie, ce mot devint cifra et zefiro. La syllabe fi étant brève, ce

NUMÉRATION

dernier mot se réduisit à zéro, pendant que le premier finit par désigner les neuf autres caractères; notre terme chiffie n'est autre que le mot cifra avec la prononciation italienne du c. Les Anglais ont conservé au mot chiffre [cipher) son sens étymologique de zéro; les neuf autres caractères portent le nom de figures, qu'ils ont eu longtemps aussi en français.

De ce qui précède ressort ce principe : Dans tout nombre écrit, un chiffre de i anj quelconque exprime <<es unités dix /ois pus grandes que celles itu chiffre qui est immédiat' ment à sa droite.

C'est là le principe fondamental de la numération écrite.

Règle pour écrire les jwmbres. — On écrit successivement de (faucha a droite le chiffre des centames, le chiffre des dizaines et celui n'es unités de chaque closse d'unités prm ipales, en commençant pur la classe le plus élevée *-t en ayant soin de mettre un zéro à la place de chaque ordre manquant dans le nombre.

Soit par exemple: trente-quatre millions vingthuit mille six <ent sept unités. Ce nombre contient 34 millions ; la classe des mille n'a pas de centaines et renferme seulement 2 dizaines et 8 unités; la classe des unités simples contient 6 centaines et 7 unités, mais pas de dizaines. Ce nombre s'écrira donc ainsi:

Règle pour lire un nombre écrit en chiffres. — Pour lire un nombre, on le divise en tranches de trois chiffns par des points à partir de la nroite; lu dernière peut n'avoir qu'un ou deux chiffres. Chaque tranche correspond ainsi aux clauses d'unités principales. La première à dioite représente la classe lies unités simples, la seconde celle des mille, etc., et dans chaque tranche le premier chiffre à droite exprime les unités, le second les dizaines et le troisième les centaines. Ou lit alors chaque tranche de gauche à droite en énonçant après chacune le nom de la classe de ses unités principales,

Sota. — Nous n'avons pas besoin de recommander aux maîtres de commencer par des nombres n'ayant pas plus de trois chiffres, et de monter graduellement à ceux de six chiffres, puis à ceux de neuf, sans dépasser les billions. Au delà ce sont des nombres fantastiques dont les élevés n'auront jamais à faire usage.

Influence des zéros sur la droite d'un nombre entier. — Un nombre entier prend une valeur 10 l'ois plus grande, quand on écrit un zéro sur sa droite ; 100 fois plus grande, quand on en écrit deux ; 1000 fois plus grande, quand on en écrit trois, etc.

En effet, soit le nombre 68 ; avec un zéro sur sa droite il devient 680. Dans le premier, le chiffre 8 exprime des unités simples, et dans le deuxième des dizaines; le chiffre 6 dans le premier exprime des dizaines et dans le deuxième des centaines : par la présence du zéro, chaque chiffre du nombre a donc pris une valeur 10 fois plus grande que celle qu'il avait auparavant.

De là cette distinction entre la valeur absolue d'un chiffre et sa valeur relative, c'est-à-dire celle qn'U prend d'après le rang qu'il occupe.

NlMÉHATION DES NOMBRES DÉCIMAUX. — Des plu*

fortes unités aux plus faibles, une unité de chaque ordre est la 10e partie de celle qui la précède immédiatement; si donc on prolonge la sorte det ordres d'unités au-dessous des unités simples, on a d'abord la loe partie de l'unité, puis la 10' partie du 10e, qui est la 1 00' partie de l'unité, puis la 10e partie du 100e, qui est la 1000e partie de l'unité, etc. : c'est ce que montre de la manière la plus nette le mètre avec ses subdivisions en décimètres, centimètres et millimètres.

Ces unités fractionnaires sont appelées unités décimales (du latin decimus, dixième), parce que chacune est la 10e partie de la précédente; elles doivent être regardées comme la continuation de la série des ordres d'unités entières.

Un nombre qui exprime des unités décimales est appelé nombre décimal; s'il est moindre que l'unité entière, il prend le nom de fraction décimale. Ainsi 3 mètres et 3 dixièmes est un nombre décimal; 3 dixièmes de mètre, 34 centièmes de franc sont des fractions décimales.

liègle. — Pour écrire un nombre décimal, on écrit d'uborl la pt.rtie entière du nombre, eu la marquant par u < zéro s'il n'y a pas d'unités entières; à droite on place une virgule, puis au Ier rang à droite de cette virgule le chiffre des dixièmes, au 2e rang le chiffre des centièmes, au 3e rang celui des m llièmes, etc. On a soin de mettre un zéro à la place des unités décimales qui manqueraient.

Par exemple, pour quatre unités trente-huit mil* lièmes deux cent-millièmes, on écrira 4,03802.

Souvent la fraction décimale à écrire est énoncée comme un nombre entier suivi du nom de la dernière unité décimale : trois mille huit cent deux cent-millièmes. Dans ce cas on l'écrit comme un nombre entier à la droite de la virgule, en ayant soin que le dernier chiffre à droite se trouve au rang indiqué par l'ordre de ses unités décimales. Aussi le cent-millième devant être au 5* rang, le nombre 3802 devra être précédé d'un zéro, et on écrira 0,03802.

Observation. — A propos de la virgule, nous devons profiter de cette occasion pour protester contre la détestable habitude prise par les imprimeurs d'employer la virgule à séparer les nombres en tranches de trois chiffres, et de l'omettre à la place qui lui appartient. Sous prétexte de faciliter la lecture du nombre, ils le rendent inintelligible, comme le montre cet exemple extrait du compte-rendu d'un journal financier: Les recettes des Ti amways-Nord sont de 54,128; celles i'e la semaine précédente n'avaient <'té que de 50,469.

C'est aux auteurs qu'il appartient de combattre cet abus; nous le signalons particulièrement aux rédacteurs des Bulletins départementaux de l'instruction primaire, où cette confusion se montre trop souvent dans les énoncés des problèmes. Conservons à la virgule son emploi traditionnel, et, pour contenter tout le monde, séparons par un petit espace blanc les tranches de trois chiffres.

Règle. — Pour lire un nombre décimal, on lit d'abord la partie entière, puis la partie décimale en la faisant suivre du nom de l'unité décimale du dernier chiffre à droite. Soit par exemple le nombre 237,40658. On dira: 237 unités 40 mille 658 cent-millièmes. On peut dire aussi : 237 unités 406 millièmes 58 cent-millièmes; ou 237 unités 40 centièmes 658 cent-millièmes, etc.

Remarque. — On peut même lire le nombre décimal, sans faire attention à la virgule, comme si c'était un nombre entier exprimant des unités marquées par le rang qu'occupe le dernier chiffre à druite de la virgule.

Par exemple, le nombre 4,35 se lirait 435 centièmes.

Observation. — Il importe que les élèves s'habituent à envisager le nombre décimal comme un nombre entier. C'est en se mettant à ce point de vue qu'il est facile de faire marcher de pair l'étude des opérations sur les nombres décimaux avec celle des nombres entiers. Les commençants, sans y rencontrer plus de difficulté, y trouveront l'avantage de pouvoir résoudre de petits problèmes où ils pourront opérer sur des fractions décimales du franc et du mètre, par exemple, aussi bien que sur les unités entières.

De la présence des zéros sur la droite d'une frac

NUMERATION

NUTRITION

tion décimale. — On peut écrire ou supprimer des zéros sur la droite d'une fraction décimale sans altérer sa valeur.

En effet soit 2,34, c'esl-à- dire 2 unités 34 centièmes: en mettant un zéro adroite, on obtient 2,340.

La partie entière, 2 unités, n'a pas changé ; mais à la partie décimale, 34 centièmes a été remplacé par 340 millièmes; le nombre des unités décimales est devenu dix fois plus grand, et en même temps les unités sont devenues dix fois plus petites : la vl<Mir de la fraction décimale n'a donc pas changé.

replacement de la virgule. — Si dans un nombre décimal on avance la virgule vers la droite d'un rang, sa valeur devient dix fois plus grande; de deux rangs, cent fois plus grande; de trois rangs, mille fois plus grande.

Par exemple, si dans le nombre 4,728 la virgule est avancée de deux rangs à droite, ce qui donne 472,8, chaque chiffre prend une valeur cent fois plus forte: 4, qui dans le premier nombre exprime dos unités simples, exprime dans le second des centaines; 7, qui exprime dans le premier des dixièmes, exprime dans le second des dizaines, et la dizaine vaut 10n dixièmes; etc.

Réciproquement, si l'on recule la virgule à gauche, le nombre devient dix fois plus faible pour un rang, cent fois plus faible pour deux rangs, etc.

Des autres systèmes de numération. — Le système décimal a pris sans doute naissance dans le nombre des doigts des deux mains ; mais il est évident qu'on aurait pu adopter comme base tout autre nombre. Nous en trouvons un exemple dans l'usage populaire de compter par douzaines; il provient aussi de l'habitude de compter sur les quatre doigts, qui, avec leurs trois phalanges, forment un groupe de quatre fois trois ou douze. La douzaine est donc l'unité du second ordre ; celle du troisième vaudrait douze douzaines ; elle est encore usitée dans le commerce sous le nom de grosse : une grosse d'écheveaux de fil pour dire idouze douzaines d'écheveaux. Ce système de numération duodécimale se retrouve dans les subdivisions des anciennes unités de longueur : le pi>d, qui se divisait en 12 pouces; le pouce, en 12 lignes ; la ligne, en 12 points. Pour écrire des nombres dans ce système, il faudrait employer onze chiffres plus le zéro.

Le système qui exigerait le moins do. chiffres est celui où une unité de chaque ordre serait compoEéededeux unités de l'ordre immédiatement inférieur : c'est le système binaire. Il n'a d'autres cniffres que 1 et 0. Dans ce système l'expression 10 indique 1 unité du 2* ordre ou 2 unités simples ; l'expression 100 indique 1 unité du 3e ordre, ou 2 unités du 2e ordre, ou 2 fois 2 unités du 1er, c'est-à-dire 4 unités simples, etc.

Numération romaine. — Nous ne devons pas finir cet article sans exposer la numération romaine, qui est encore en usage aujourd'hui pour les inscriptions gravées sur les monuments, pour les chapitres et les divisions d'un livre, et souvent sur les cadrans des horloges.

Tout ce système repose sur les sept nombres :

qui sont désignés par les lettres suivantes :

Pour représenter deux ou trois unités de l'un des quatre premiers ordres, on répète la lettre correspondante à cette unité deux fois, trois fois :