Triangles. — Parmi les triangles, il faut distinguer

Le triangle isoscèle (fig. 3), qui a deux côtés égaux :

Fig. 3.

Le triangle équilatéral (fig. 4), qui a ses trois côtés égaux :

Fig. 4.

POLYGONES — 1657

Le triangle rectangle (fig. b), qui a un angle droit :

Fig. 5.

Dans le triangle rectangle le côté opposé à l'angle droit se nomme hypoténuse : c'est le plus grand des trois côtés.

Dans presque tous les traités de géométrie, on donne la dénomination de scaléne au triangle dont les trois côtés sont inégaux ; cet adjectif, emprunté au grec et signifiant boiteux, devrait être abandonné, car on n'en fait jamais usage.

On appelle hauteur d'un triangle la perpendiculaire abaissée d'un sommet sur le côté opposé : ce côté est alors considéré comme la base du triangle. Telles sont AD perpendiculaire sur la base BC (fig. 6), et CF perpendiculaire sur la base AB.

Dans un triangle rectangle les côtés de l'angle droit sont l'un la base et l'autre la hauteur.

Dans un triangle isoscèle, le côté inégal est habituellement pris pour base.

3. — Théorème. — La somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits.

Prolongeons le côté AG (fig. 7) et du point C tirons la droite CE parallèle au côté AB.

Fig. 7.

L'angle DCE est égal à l'ançle A , car ils sont correspondants par rapport aux parallèles AB et CE ; l'angle BCE est égal à l'angle B, puisqu'ils sont alternes-internes par rapport aux mêmes parallèles. Les trois angles consécutifs assembles au point C sont donc égaux aux trois angles du triangle; or leur somme vaut deux angles droits ; donc celle des trois angles du triangle vaut aussi deux angles droits.

Corollaires. — Dans un triangle, il ne peut y avoir qu un angle droit ou qu'un angle obtus.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

L'angle BCD, formé au dehors d'un triangle par un côté, et le prolongement d'un autre côté, se nomme angle extérieur du triangle ; il est égal à !a somme des deux angles intérieurs qui n'ont pas le même sommet que lui.

4. — Théorème.— Dans un polygone la somme des angles est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a de côtés moins deux.

Dans l'hexagone ABCDEF vfig. 8), menons du sommet A les diagonales AC, AD, AE. Elles divisent le polygone en autant de triangles qu'il y a de côtes moins deux. Or, la somme des angles du polygone n'est autre que la somme des angles de

POLYGONES a r

Fig. 8.

ces triangles ; donc elle vaut, comme cotte dernière, 2 angles droits multipliés par le nombre des triangles, c'est-à-dire 2 angles droits multipliés par le nombre des côtés diminué de 2.

5. — Théouème. — Dans tout triangle, chaque côté est plus petit q'ie la somme des deux autres.

En effet, d'un sommet à l'autre, la ligne droite est plus courte que la ligne brisée formée par les deux autres côtés du triangle.

De ce principe résulte celui-ci : chaque côté est plus grand que la différence des deux autres. En effet, désignons par a, b, c les trois côtés d'un triangle ; nous avons d'abord :

Or on peut, sans altérer l'inégalité, retrancher aux deux membres une même quantité, c par exemple ; on a alors :

a — c < 6 ou 6>a — c.

6. — Théorème. — Dans un triangle isoscèle les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

Soit le triangle isoscèle ABC (fig. 9), dans lequel

les côtés AR et AC sont égaux. Imaginons un deuxième triangle, A'B'C, qui serait le premier triangle retourné, comme un feuillet rabattu de gauche à droite. Portons ce deuxième triangle sur le premier, en appliquant le côté A'C sur le côté AB qui lui est égal. L'angle A' n'étant autre que l'angle A, le côté A'B' doit se placer sur la direction du côté AC, et comme ils sont égaux, l'extrémité B tombe au point C ; par suite, la base C'B' se confond avec la base BC. L'angle C, qui n'est autre que l'angle C, coïncide avec l'angle B ; donc l'angle C est égal à l'angle B.

7. — Théorème. — Réciproquement, si dans un triangle dex angles sont égaux, les côtés opposés à ces angles so?it égaux.

En effet, supposons qu'après avoir tiré une base BC (fig. 9 , on ait construit les angles B et C égaux. Pour faire voir que le côté AC se trouve égal au côté AB, on peut employer la même démonstration que dans le théorème précédent Seulement, en portant le deuxième triangle sur le premier, on applique la base C'B' sur la base BC, le point C'en B et le point B' en C. L'angle B', qui n'est autre que l'angle B, étant égal à l'angle C, le côté B'A' se place sur la direction du côté CA et son extrémité A' tombe sur cette direction ; de même, à cause de l'égalité des angles G et B, le côté C'A' se place sur la direction du cô;é BA,

POLYGONES

et son extrémité A' tombe sur cette direction : le point A', devant être ainsi à la fois sur BA et sur CA, se trouve au point A. Ainsi, les deux triangles coïncident, et par conséquent A'B' est égal à AC, ce qui revient à dire que AB est égal à AC.

Corollaire. — Dans un triangle équiangle, les trois côtés sont égaux.

8. — Théorème. — Dans un triangle isoscèle la bissectrice de l'angle du sommet tombe au milieu de la base et lui est perpendiculaire.

En effet, soit le triangle isoscèle ABC (fig. 10), et

AD bissectrice de l'angle BAC. Si on replie le triangle le long de la bissectrice et qu'on rabatte la partie de droite sur la partie de gauche, le côté AC prend la direction du côté AB. et comme il lui est égal le point C tombe au point D ; par suite DC coïncide avec DB ; donc le point D est le milieu de BC. De plus, on voit que l'angle ADC coïncide avec son adjacent ADB ; ces deux angles sont donc égaux, et, puisque BDC est une ligne droite, la droite AD, formant avec elle deux angles adjacents égaux, lui est perpendiculaire.

Corollaires . — La droite menée du sommet d'un triangle isoscèle ou d'un triangle équilatéral au milieu de la base est perpendiculaire à la base et est bissectrice de l'angle du sommet.

9. — Théorème. — Si dans un triangle deux angles sont illégaux, le côté opposé au plus grand angle est plus grand que le côté opposé au plus petit.

Soit l'angle ABC > C (fig. 11). Tirons du som-

Fig. 11.

met B la droite BD de manière à former l'angle DBC égal à l'angle C. Dans le triangle BDC le côté BD se trouve égal à DC. Or la droite AB est moindre que la ligne brisée AD-f-DB; donc elle est moindre aussi que AD + DC, c'est-à-dire que AC.

10. — Théorème. — Béciproquement, si (Unis un triangle deux côtés sont inégaux, l'angle opposé au plus grand côté est plus grand que l'angle opposé au /dus petit.

En effet soit AB < AC (fig. 11). Si l'angle C n'était pas plus petit que l'angle ABC, il lui serait supérieur ou égal. S'il lui était supérieur, le côté AB serait plus grand que le côté AC; or, il a été supposé plus petit. Si l'angle C était égal à l'angle ABC, les deux côtés AB et AC seraient égaux; or on les a supposés inégaux. L'angle C ne pouvant être ni supérieur, ni égal à l'angle ABC, est donc nécessairement plus petit que lui.

11. — Cercle circonscrit ou inscrit a m triangle. — 1" On peut toujours décrire une circonférence cassant par les trois sommets d'un triangle; le cercle ainsi formé est dit circonscrit au triangle.

Son centre se trouve à l'intersection des perpendiculaires élevées par le milieu de deux côtés.

La perpendiculaire élevée au milieu du troisième côté passe par le point d'intersection des deux autres.

2° On peut toujours décrire une circonférence qui soit tangente aux trois côtés d'un triangle : le cercle ainsi placé est dit inscrit au triangle.

Son centre se trouve à l'intersection des bissectrices de deux angles; la bissectrice du troisième angle passerait par le point d'inteflection des doux autres. Le rayon est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'un quelconque des trois côtés.

12. — Egalité de deux triangles. — Pour reconnaître l'égalité de deux triangles, il n'est pas nécessaire de comparer les trois côtés et les trois angles de l'un avec les trois côtés et les trois angles de l'autre, il suffit de s'assurer que trois de leurs six parties sont égales, l'une des trois au moins étant un côté. De là les trois cas d'égalité énoncés dans le théorème suivant.

Théorème. — Deux triangles sont égaux :

1° Lo)\squ'ils ont un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux ;

2° Lorsqu'ils ont deux côtés respectivement égaux et formant entre eux un angle égal;

3° Lorsque leurs trois côtés sont respectivement égaux.

Considérons les deux triangles ABC et A'B'C (fig. 12).

Fig. 12.

1° Soit CB = C'B'; C = C' ; B = B'.

Portons le deuxième triangle sur le premier, en appliquant le côté C'B' sur le côté égal CB. A cause de l'égalité des angles C et C, le côté C'A' se place sur la direction de CA et son extrémité A' se trouve sur cette direction ; de même à cause de l'égalité des angles B' et B, le côté B'A' se place sur la direction de BA et son extrémité A' se trouve sur cette direction : le point A', devant être à la fois sur la direction de CA et sur celle de BA, tombe au point A. Ainsi les deux triangles coïncident, et par conséquent ils sont égaux dans toutes leurs parties.

2° Soit CB = C'B' ; CA = C'A' ; C = C.

Si l'on porte le deuxième triangle sur le premier, en appliquant l'angle C sur l'angle C, le côté C'B' coïncide avec le côté égal CB, et le côté C'A' avec le côté égal CA; par suite le troisième côté A'B' coïncide avec le côté AB. Ainsi les deux triangles se confondant sont égaux.

3o Soit AC = A'C ; AB = A'B' = CB = C'B'.

Plaçons le deuxième triangle A'B'C ^fig. 13) au-

Fig. 13

dessous du premier ABC, en appliquant le côté C'B' sur son égal CB, dans la position BCD, et tirons la droite AD. Le côté CD qui n'est autre que C'A' est égal à CA; par suite dans le triangle iso-

POLYGONES

scèle ACD, l'angle A2 est égal à l'angle D2; on voit de la même manière que l'angle At est égal à l'angle D,. L'angle CDB et par suite l'angle A', est égal à l'angle CAB ; les deux triangles ACB et A'C'B', ayant ainsi un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux, sont égaux.

13. — Egalité de deux triangles rectangles. — Outre ces trois cas d'égalité qui s'appliquent à deux triangles quelconques, il y a deux autres cas particuliers aux triangles rectangles : ils sont énoncés dans le théorème suivant.

Théorème. — Deux triangles rectangles sont égaux :

1° Quand ils ont l'hypoténuse égale et un autre côté égal;

2° Quand ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal.

Considérons les deux triangles rectangles ABC, A'B'C (fig. 14).

1» Soit BC = B'C ; AB = A'B',

Si on porte le deuxième triangle A'B'C sur le premier ABC en appliquant A'B' sur son égal AB, le côté A'C se place sur la direction de AC à cause des angles droits A et A'.

Les hypoténuses sont alors deux obliques égales partant du même point B de la perpendiculaire BA ; elles doivent donc avoir leurs pieds à égale distance de la perpendiculaire et par conséquent se confondre. Donc les triangles coïncident.

v'Soit BC = B'C; C = C.

On porte le deuxième triangle sur le premier en appliquant l'angle C sur son égal C; alors C'A' se trouve sur la direction GA et l'hypoténuse C'B' coïncide avec son égale CB. Les deux côtés B'A' et BA sont deux perpendiculaires menées du même point B à la même droite CA ; donc elles doivent avoir la même direction; par suite le point A', devant être à la fois sur CA et sur BA, tombe au point A. Ainsi les deux triangles coïncident.

14. — Construction d'un triangle. — Des cas d'égalité exposés dans ce qui précède, il résulte que pour construire un triangle il faut connaître trois de ses six parties, l'une au moins étant un côté.

1° On connaît un cô/é et les deux angles adjacents. — Après avoir tiré une droite égale au côté donné, on mène de l'une de ses extrémités une droite faisant avec elle un angle égal à l'un des deux angles donnés, et de l'autre extrémité une droite faisant avec elle un angle égal à l'autre angle. Ces droites limitées à leur rencontre déterminent le triangle demandé.

2° On connaît deux côtés et l'angle compris entre eux. — Après avoir construit un angle égal à l'angle donné, on prend sur les côtés de cet angle, à partir du sommet, des longueurs égales aux côtés donnés, et on joint les extrémités par une droite.

3° 07? connaît les trois côtés. — Après avoir tiré une droite égale à l'un des trois côtés, on décrit de l'une de ses extrémités prise pour centre un arc, avec un rayon égal à l'un des deux autres côtés; puis de l'autre extrémité prise pour centre, avec un rayon égal au troisième côté, un autre arc qui coupe le premier. 11 n'y a plus qu'à joindre le point, d'intersection des deux arcs aux extrémités du premier côté.

Il faut observer que le triangle n'est possible qu'autant que le plus grand des trois côtés donnés est plus petit que la somme des deux autres. Dans le cas contraire les deux arcs ne se couperaient pas.

Cas particulier. — On connaît deux côtés ft l'angle opposé à l'un d'eux. — Soit a et b les deux côtés et A l'angle opposé au côtéo (fig. 15). Après

avoir construit l'angle A, on prend sur un de ses côtés une longueur AC = è ; puis de B comme centre on décrit, avec un rayon égal à l'autre côté a, un arc qui coupe l'autre côté AE de l'angle en B' et B. En tirant les droites CB' et CB, on a deux triangles différents ACB' et ACB, qui répondent à la question.

Si le côté a qui doit être opposé à l'angle A était moindre que la perpendiculaire CD, le triangle ne serait pas possible; si ce côté a était égal a cette perpendiculaire, le triangle rectangle ACD serait le triangle demandé.

On verra facilement que dans le cas où le côté opposé à l'angle A est plus grand que l'autre côté, le triangle est toujours possible et qu'il n'y en a qu'un. Il en serait de même si l'angle donné, au lieu d'être aigu, comme dans la construction précédente, était droit ou obtus.

15. — Théorème. — Si deux triangles ont deux côtés respectivement égaux, comprenant entre eux un angle, inégal, le 3e côté opposé au plus petit angle est j<lns petit que le 3e côté opposé au plus grand angle.

Soitdans les deux triangles ABC et A'B'C (fig. 16),