Division de la cù en parties égales

— p Peur diviser la circonférence en 4 parties égales, il su, "lit de mener deux diamètres perpen-

diculaires entre eux. Si l'on divise ensuite chacun des quatre ai es en deux parties égales, on a la circonférence divisée en 8 parties égales, puis en 1G, en 32, etc. En appliquant le théorème de Pythagore à l'un des quatre triangles isoscèles dont le carré inscrit est composé (fig. 4), on trouve facilement

que le côté du carré inscrit est égal au rayon mul- .iplié par y^.

2° La corde qui sous-tend la sixième partie de la circonférence est égale au rayon.

En effet soit l'hexagone régulier inscrit ABCDEF fig. 1). Dans le triangle isoscèle ABO l'angle au centre AOB est égal à la sixième partie de quatre angles droits, c'est-à-dire à 60°. La somme des angles à la base OAB et OBA est égale à 180»— GO", c'est-à-dire à 120°, et comme ils sont égaux, chacun vaut Gu°. Ainsi le triangle AOB ayant ses trois angles égaux, ses trois côtés sont égaux.

Le côté de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est donc égal au rayon.

La circonférence divisée en 6 parties égales se trouve par là môme divisée en 3 parties égales, ce qui donne le moyen d'inscrire le triangle équiiatéral. Puis en divisant les six arcs en deux parties égales, on en aura 12, puis 24, et ainsi de uite.

3° Pour avoir la corde qui sous-tend la dixième partie de la circonférence, il faut diviser le rayon en leux parties telles que la plus grande soit moyenne proportionnelle entre la plus petite et le rayon entier, ou, comme on dit ordinairement, partager le rayon en moyenne et extrême raiso7i : la corde est égale à la plus grande des deux parties.

Pour faire ce partage on construit un triangle rectangle COA (fig. 5), dont les côtés de l'angle

Fi;.-. ?. ■

droit sont l'un le rayon OA et l'autre OC la moitié du rayon; d'- l'hypoténuse AG on retranche la moitié du rayon (CI = CO) ; le reste AI est la corde cherchée.

Si on rabat AI sur la circonférence à droite et ;i gauche du point A, les cordes AF et AG seront deux côtés du décagone régulier inscrit; la corde FG Bera le côté 'lu pentagone régulier.

Observation. — Nous ne jugeons pas à propos d'exposer ici la démonstration de cette question qui est en dehors du cuir-' de l'enseignement primaire ; nos lecteurs la trouveront dans tous les traités de géométrie classique.

6. — Construction d'un polygone régulier dont le côté est donné. — La construction du triangle equilatéral et du carré est déjà connue.

Pour l'hexagone, il suffit de décrire une circonférence avec un rayon égal au côté donné, et de porter ensuite ce rayon six fois sur la circonférence.

Quant aux autres polygones réguliers, on ne peut pas employer la circonférence, comme pour l'hexagone; car on ne connaît pas le rayon de la circonférence qu'il faudrait décrire.

Voici deux procédés à suivre. Soit par exemple à construire un pentagone régulier dont le côté aura 3 centimètres.

1° Après avoir tiré une droite égale à 3cn>, on mène de ses deux extrémités deux droites de 3cm faisant avec elle, l'une à droite, l'autre à gauche et du môme côté de cette droite, des angles de 108°. On répète la même construction aux extrémités de chacun de ces côtés et on continue ainsi.

Ce procédé est un peu défectueux, à cause des erreurs inévitables causées par l'emploi du rapporteur dans la construction des angles.

2° Ayant décrit une circonférence d'un rayon quelconque IA (fig. G) on la divise par tàtonne-

Fig. 6.

ment (ce qui est plus rapide) en cinq parties égales; soit AK une de ces parties. On tire la corde AK ; on la prolonge pour lui donner une longueur AB égale au côté du polygone demandé ; du point B on tire BO parallèle à Kl jusqu'à la rencontre du prolongement du rayon AI, et du point O pris pour centre, avec OA pour rayon, on décrit une circonférence qui passe au point B : l'arc AB est la be partie de la circonférence. Il ne reste plus qu'à porter AB cinq fois sur la circonférence pour avoir le pentagone.

La démonstration ne présente pas la moindre difficulté; il suffit de remarquer que le triangle isoscèle KIA est l'un des cinq triangles isoscèbs du pentagone régulier qui serait inscrit dans le cercle IA. et que le triangle BOA est semblable au triangle KIA.

7. — Construction de l'octogone régulier. — La construction précédente s'applique à tous les polygones réguliers ; cependant il y a pour l'octogone un autre procédé d'une grande simplicité.

Soit AB (fig. 7) le côté de l'octogone à con-

struire. En son milieu on élève une perpendiculaire sur laquelle on porte IG = IA, et à la suite une longueur GO = GA; puis du point O pris pour centre on décrit une circonférence passant par les extrémités de AB. L'arc AB est précisément la huitième partie de la circonférence; il ne reste plus qu'à porter 8 fois cette corde AB sur la circonférence. Nous laissons au lecteur le soin de trouver la démonstration ; elle se réduit à faire voir que l'angle AOB est égal à un demi-angle droit.

8. — Construction du décagone régulier. — On peut employer une construction analogue pour le décagone régulier (fig. 7).

Sur AB.côté du décagone à construire, on forme un triangle equilatéral ACB; sur le prolongement de la hauteur GI, on porte GO égal à CA, et le point O est le centre de la circonférence à décrire par les extrémités A et B ; l'arc AB sera la 10e partie de la circonférence.

9. — De l'emploi des polygones réguliers. — La forme de quelques polygones réguliers est fréquemment employée pour certaines constructions, comme les bassins des jardins publics ; c'est surtout dans le dallage et la parquetage qu'on les voit le plus souvent.

Il n'y a que trois espèces de polygones réguliers qui puissent servir à former un dallage composé de polygones d'une seule espèce. On peut assembler autour d'un point, de manière à couvrir exactement tout l'espace : 1° quatre carrés ; 2° six triangles équilatéraux ; 3» trois hexagones. Et en effet trois angles d'hexagones réguliers placés autour d'un point font 3 fois 120° ou 3t)U°. Les six triangles équilatéraux forment par leur ensemble un hexagone régulier.

Des octogones réguliers laisseraient entre eux quatre un vide carré.

On utilise dans le parquetage diverses combinaisons de polygones réguliers et même de losanges pour produire des figures variées : c'est dans les traités de dessin linéaire que nos lecteurs les trouveront.

10. — Polygones réguliers étoiles. — 11 existe une autre espèce de polygones ayant leurs angles égaux et leurs côtés égaux ; mais ces côtés s'entrecroisent et donnent au polygone une forme particulière qui les a fait appeler polygones étoiles.

Soit une circonférence (fig. 8; divisée en 5 par-

2e Partie.

Fig. 8.

ties égales; les cordes des cinq arcs forment le pentagone régulier convexe ABCDF.

Si on joint les points de division de deux en deux, c'est-à-dire un point au deuxième après lui, par des droites, menées par exemple de A en C, de C en F, de F en B, de B en D, on finit par arriver au point de départ A, après avoir fait deux fois le tour de la circonférence. Le pentagone AGFBD \ ainsi formé est un pentagone étoile.

Par leur intersection les côtés de ce pentagone forment dans son intérieur un pentagone régulier convexe A'B'C'D'F'.

Si la circonférence est divisée en 8 parties égales