III. Calculer à 0,01 près la racine carrée de

l'expression 3 — V2- — ll faut d'abord calculer cette expression elle-même avec quatre chiffres décimaux, et pour cela extraire la racine carrée de 2 à 0,0001 près. On trouve pour cette racine 1,4142; par suite, la valeur do l'expression 3 — y2 est, avec quatre décimales exactes, 1,5858 ; et la racine carrée demandée est enfin 1,25 à 0,01 près.

9. — Remarque. — Dans tout ce qui précède, nous avons calculé des racines carrées approchées par défaut, c'est-à-dire, des nombres tels, que leurs carrés soient inférieurs ou au plus égaux aux nombres donnés. On peut aussi se proposer de chercher des racines approchées par excès; en voici la définition générale :

La racine carrée d'un nombre N, approchée

par excès à - près, est égale à la racine approchée par défaut, augmentée de - .

Ainsi, la racine carrée par défaut à une unité près du nombre 419857 est 047; la racine carrée par excès à une unité près est 048. De même, nous

avons trouvé que ■=- était la racine par défaut à

- près de la fraction — ; la racine par excès à 7 153

- près sera — . La racine carrée de 3 est 1,7320 7 1

à 0,0001 près par défaut; la racine carrée de 3, à 0,0001 près par excès, sera 1,7321.

Il est préférable, dans certains cas, de prendre l'approximation par excès. Considérons, par exemple, le nombre 58 dont la racine carrée à une unité près par défaut est 7, avec 9 pour reste ; le nombre 58 peut être compris entre le carré de 7

et celui de 7 + -, ou, au contraire, entre le carré

de 7 + s et Ie carré de 8. Dans le premier cas, il

vaudra mieux prendre 7 pour la racine approchée il une unité près; dans le second cas, on aura une valeur plus approchée en prenant 8. Or la seule

inspection du reste permet de trancher la question : Si le reste ne sw/ia^se pa< la racine trow ée, la racine par défaut est préférable ; c'est le contraire, si le reste est supérieur à la racine. Pour justifier cette règle, formons le carré de

7 + - , comme on a fait, à l'article Carré, le carré

de 30 + 7 ou celui de 37 -j- 1.

Ainsi le carré de 7 -{-- est égal à 7!-f 7+7- ;

d'autre part, le reste de l'opération est égal à

58 — 72. Si ce reste est inférieur à 7+7, c'est-

à-dire s'il ne dépasse pas 7, le nombre donné

58 est inférieur à (7-f- ) , et 7 est la racine

carrée à une demi-unité près. Mais si le reste est supérieur à 7, le nombre 58 est compris entre 1 -f-- ) et 82; 8 est alors la racine carrée de 58

à une demi-unité près par excès. C'est ce dernier cas qui se présente ici, puisque le reste 9 surpasse 7. [H. Bos.]

RACINE CUBIQUE. — Arithmétique, XLIX et L.

1. La racine cubique d'un nombre est un deuxième nombre dont le cube est égal au premier (V. Cube). La racine cubique d'un nombre s'indique en plaçant le nombre sous le signe

V , qui ne diffère du signe de la racine carrée que par l'inscription du chiffre ou indice 3 dans l'angle de gauche du radical.

Ex. : La racine cubique de 8 est 2 ; car le cube de 2 est 8 : ce résultat s'écrit indifféremment des deux manières suivantes :

ou 23 = !

ces égalités sont équivalentes.

2. — Si un nombre entier n'est pas le cube d'un autre nombre entier, il ?i'est pas ?wn plus le cube d'une fraction, et par conséquent, il n'a pas de racine cubique.

Le nombre 50, par exemple, est compris entre 33 ou 27 et 43 ou 64 ; donc il n'y a pas de nombre entier dont le cube soit égal à 50: je dis qu'il n'y a pas non plus de nombre fractionnaire dont le cube soit égal à 50. En effet, un nombre fractionnaire peut toujours être mis sous la forme d'une

fraction à deux termes irréductible - (V. Fracas tions, 3 et 8). Le cube de cette fraction est yj

(V. Cube, 3) ; mais les deux nombres a et b étant premiers entre eux, leurs cubes le sont aussi

a3 (V. Diviseurs, 23) ; donc la fraction 77 est irréductible, et par conséquent ne peut pas être égale à un nombre entier, toi que 5u. Le nombre 50 n'a donc pas de racine cubique.

Lorsqu'un nombre n'a pas do racine cubique,

RACINE CUBIQUE

c'est-à-dire quand il n'est pas un cube parfait, on appeWe racine cubique de ce nombre à une unité près, la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans ce nombre ou, ce qui revient au même, le plus grand nombre entier dont le cube est contenu dans le nombre donné. Ainsi, la racine cubique de 50 à une unité près est 3, parce que le plus grand cube entier contenu dans 50 est 27, dont la racine cubique est 3; le nombre 50 est compris entre le cube de 3 et le cube de 4, ce qu'on exprime par la double inégalité :

Nous allons indiquer successivement comment on extrait à une unité près la racine cubique d'un nombre entier et celle d'un nombre fractionnaire; puis nous définirons la racine cubique approchée, non plus à une unité près, mais avec une approximation quelconque, et nous apprendrons à la calculer.

3. — Racine cubique d'un nombre entier à une imité près. — Nous distinguerons deux cas, suivant que le nombre donné est inférieur ou supérieure 1000.

1er Cas. Le nombre donné est plus petit que 1000. — La racine cubique d'un nombre plus petit que 1000 est plus petite que 10; car 1000 est le cube de 10. Il suffit alors, pour trouver le plus grand cube entier contenu dans un nombre inférieur à 1000, et par suite, la racine cubique de ce nombre à une unité près, de former la table des cubes des 9 premiers nombres. Voici cette table :

Nombres 12345 6 7 8 9 Cubes.. 1 8 27 6i 125 216 343 512 729

Si le nombre donné est égal à l'un de ces cubes, on a immédiatement sa racine cubique exacte ;

ainsi, y 125 = 5, y 5 12 = 8, etc. Si le nombre donné n'est pas un cube parfait, on cherche dans la table précédente le plus grand cube qui y est contenu ; la racine cubique de ce cube est, par définition, la racine cubique à une unité près du nombre donné. Soit, par exemple, 412 le nombre donné ; le plus grand cube entier contenu dans 412 est 343, dont la racine cubique est 7; ce nombre 7 est donc la racine cubique de 412 à une unité près.

4. Reste. — Lorsqu'on extrait à une uniié près la racine cubique d'un nombre, on appelle reste de l'opération l'excès du nombre donné sur le cube de sa racine cubique approchée. Ainsi, dans l'exemple précédent, le reste est 412 — 34 5 = GO.

Le reste ne peut pas surpasser la somme faite en ajoutant le triple du carré de lu racine au triple de cette racine. Soit a la racine cubique à une unité près d'un nombre entier N ; N sera compris entre a3 et (a + l,3 ; donc le reste, qui est égal à N — ft3, sera plus petit que la différence (a + l)3 — a3, laquelle est égale à 3a2 -f- 3<t + 1 (V. Cube, 2) ; et, par conséquent, ce reste sera au plus égal à 3g3 + :ta; c q. f. d.

5. — 2e Cas. Le nombre donné est plus grand que 1000. — La racine cubique cherchée est alors plus grande que 10, c'est à-dire qu'elle a plusieurs chiffres. La théorie de l'opération repose tout entière sur les deux principes suivants:

I. Le cube d'un nombre composé de dizaines et d'unités se compose du cube des dizaines, de trois fois le produit du carré des dizaines par les unités, de trois fois le produit des dizaines par le carré des unités, et du cube des unités (V. Cube, 1).

II. La racine cubique du plus grand cube entier contenu dans le nombre des mille d'un nombre donné plus grand que 1000, est égale au nombre

des dicaines de la. racine cubique de ce nombre. Considérons, par exemple, le nombre 41812, qui contient 41 mille; la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 41 est 3 ; je dis que la racine cubique à une unité près du nombre 41812 contient 3 dizaines et n'en contient pas davantage. En effet, le cube de 3 est, par hypothèse, au plus égal à 41 ; donc le cube de 30 ou 3 dizaines est au plus égal à 41 000; par conséquent, il est, à plus forte raison, contenu dans 41812. D'autre part, le cube de 4 surpasse 41 d'au moins une unité, c'està-dire qu'il est au moins égal à 42 ; donc le cube de 4 dizaines ou 40 est au moins égal à 42 000, et, par suite, est supérieur à 41 812. Ce nombre 41 812 est donc compris entre le cube de 3 dizaines et celui de 4 dizaines ; on d'autres termes, sa racine cubique est comprise entre 3 dizaines et4 dizaines ; c. q. f. d.

G. Proposons-nous maintenant d'extraire à une unité près la racine cubique du nombre 1I574S954.

Ce nombre étant plus grand que 1000, sa racine cubique est plus grande que 10; et on obtiendra les dizaines de cette racine en extrayant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 115 748 (2e principe).

Le nombre 115 748 étant lui-même plus grand que 1000, sa racine cubique contiendra des dizaines, que l'on obtiendra en extrayant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 115.

Le nombre 115 est plus petit que 1000; sa racine cubique à une unité près est 4 (1er cas) ; donc la racine cubique de 115 748 contient 4 dizaines et pas davantage (2e principe). Nous allons chercher les unités de cette racine.

Je remarque pour cela qu'en vertu du premier principe énoncé ci-dessus, le nombre 115 748 se compose de cinq parties :

1° Le cube des 4 dizaines de sa racine ;

2° Trois fois le produit du carré des dizaines de la racine par les unités;

3° Trois fois le produit des dizaines par le carré des unités ;

4° Le cube des unités;

5° Le reste, s'il y en a un.

La première de ces parties est connue ; c'est le cube de 4 dizaines ou Gi mille ; si on la soustrait du nombre 115748, le reste 51 "4S contiendra les quatre autres parties. Or, le triple produit du carré des dizaines par les unités est un nombre exact de centaines , d'où il résulte qu'il est contenu dans les 517 centaines du nombre 51748. Si donc on divise 517 par le triple du carré de 4, c'est-à-dire par 48, le quotient obtenu sera le chiffre des unités de la racine ou un chiffre trop fort : il peut, en effet, être trop fort, parce que les 517 centaines du nombre 51 748 contiennent, non seulement le triple produit du carré des dizaines par les unités, mais encore les centaines provenant des trois autres parties dont se compose ce nombre. Le quotient de la division de 517 par 48 est 10 ; il est donc certainement supérieur au chiffre des unités de la racine, lequel est au plus égal à 9 ; mais 9 pourrait lui-môme être encore trop fort. Pour savoir si ce chiffre convient, il faut examiner si le cube de 49 est contenu dans 115748, ou mieux, si le nombre 51 748 contient :

1° Le triple produit du carré de 4 dizaines par 9;

2° Le triple produit de 4 dizaines par le carré de 9;

3° Enfin, le cube de 9.

On forme simplement le total de ces trois nombres de la manière suivante : on additionne d'abord le triple du carré des dizaines, le triple produit des dizaines par les unités, et le carré des unités, et on multiplie ensuite cette somme par les unités ; voici l'opération :

RACINE CUBIQUE

Le nombre 53649 est plus grand que 51748; donc le chiffre 9 est trop fort; j'essaie alors le chiffre immédiatement inférieur 8 :

Le nombre 46 592 étant inférieur à 51 748, le chiffre 8 est bon; la racine cubique de 115 748 à une unité près est 48, et le reste de l'opération est 51748 —46592 = 5156.

On conclut de là que la racine cubique de 115 748 954 contient 48 dizaines, et qu'en retranchant du nombre le cube de ces 48 dizaines, on obtient pour reste 5156 954. Un raisonnement identique à celui que nous venons de faire montre qu'en divisant les 51 569 centaines de cenombre par le triple du carré de 48 dizaines, c'est-àdire par 6912 centaines, on obtient le chiffre des unités de la racine ou un chiffre trop fort. On trouve 7 pour quotient, et on essaie ce chiffre comme précédemment :

Le nombre 4909303 étant inférieur à 515 6954, le chiffre 7 est. bon; la racine cubique à une unité près du nombre 115748 954 est 487, et le reste de l'opération est 515 6954—490 9303 = 247651.

Voici la disposition adoptée pour les calculs :

4Go92

Règle. — Pour extraire à une unité près la racine cubique d'un nombre entier plus grand que 1000, on partage ce nombre en tranches de trois chiffres à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant n'avoir qu'un ou deux chiffres.

On extrait la racine cubique du plus grand cube entier contenu dnns la première tranche à gauche, ce qui donne te chiffre des plus hautes unités de la racine ; et on soustrait le cube de ce chiffre de la première tranche à gauche.

A la droite du reste, on abaisse la tranche suivante du nombre donné, et on divise les centaines du nombre ainsi formé par te triple du carré du premier chiffre de la racine; le quotient trouvé est le second chiffre de la racine ou un chiffre plus fort. Pour essayer ce chiffre, on additionne ensemble le triple carré du premier chiffre de la racine suivi de deux zéros, le triple produit du premier chiffre de la racine par le second chiffre présumé suivi d'un zéro, et le carré

de ce second chiffre; et on multiplie la somme par le chiffre à vérifier. Si ce produit pet traire du nombt c qu'on a obtenu en abaissant la seconde tranche à la droite du premier reste, le quotient trouvé est le second chiffre de la racine, et le j'este de cette soustraction est le reste qui ter» vira à continuer l'opération. Si la soustraction indiquée n'est pas possible, on diminue le quotient trouvé, successivement, d'une, deux... unités, jusqu'à ce que la vérification réussisse.

A la droite du second reste, on abaisse la tranche suivante du nombre donné, et on divise les centaines du nombre ainsi formé par le triple du carré de la partie déjà trouvée à la racine ; le quotient est te troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort; on l'essuie comme le précédent.

On continue d° même jusqu'à ce qu'on ait abaissé l'une après l'autre toutes les tranches du nombre donné.

Remarque. — Chaque fois qu'on veut calculer un nouveau chiffre de la racine, on a besoin de former le triple carré de la partie déjà trouvée à la racine; cette opération peut se faire très rapidement à l'aide des calculs qu'on a faits pour vérifier le chiffre précédent. Reprenons l'exemple déjà employé : après avoir trouvé les deux premiers chiffres 48 de la racine, on doit calculer le produit 482 X 3 ; mais

(V. Carré, 1) ; donc

d'autre part, on a trouvé pour essayer le chiffre 8,

donc

40X8X3= 960, «2= Gi;

Comme la somme 4K00 + 960 + 64 a déjà été calculée, il suffira de lui ajouter 960 et 64 X 2 ; on aura donc, en définitive,

7. — Racine cubique d'un nombre fractionnaire à une unité près. — La règle et la démonstration sont les mêmes que pour la racine carrée [Y. Racine carrée, 7).

8. — Racine cubique d'un nombre quelconque avec une approximation donnée. — On appelle

racine cubique d'un nombre N à - près, le plus

grand multiple de - dont le cube est contenu

dans N ; la fraction - s'appelle la fraction d'approximation.

Proposons-nous de trouver la racine cubique

de N à - près. Soit x le nombre entier par lequel n

il faut multiplier - pour avoir cetto racine; elle

sera alors - X x ou, plus simplement, - . D'après

?! n la définition précédente, le nombre donné N sera compris entre les cubes des deux multiples consécutifs de -, - et - ; on aura donc :

RAGE

ou, en effectuant les cubes des deux fractions,

î!<N<il+il'.