H 63 — LIGN. PROPORTIONNELLES

deux quadrants. L'angle ABC ayant pour mesure la moitié de BmC, l'angle A'Bt.1 doit avoir pour mesure la moitié du reste de la circonférence, ou lu moitié de BDG. Ainsi le théorème s'applique à un angle obtus comme à un angle aigu.

30. — On appelle segment d'un cercle la partie de ce cercle comprise entre un arc et sa corde. Ainsi l'espace ABB'B"GA (fig. 18) est un segment. Il en

Fig. 1R.

est de même de AMCA. Tout angle qui a son sommet sur un arc de cercle, et dont les côtés aboutissent aux extrémités de sa corde, est dit ns.rit dans le segment compris entre cet arc et cette corde. Ainsi l'angle ABC est inscrit dans le segment ABB'B"CA, et l'angle AMC est inscrit dans le segment AMi^A.

Tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux, puisqu'ils ont pour mesure la moitié de l'arc sou- tendu par une môme corde; et le segment est dit capable de l'angle dont il s'agit Ainsi, par exemple, les angles AB»'., AB'C, AB'C, etc., sont tous égaux, elle segment est ditcapable delà valeur commune do ces angles.

Deux angles, tels que ABC et AMC, inscrits dans les deux segments opposés correspondants à une même corde AC, sont supplémentaires, puisque la somme de leurs mesures est la moitié d'une circonférence entière, ou deux quadrants.

Tôt angle inscrit 'ions u/e demi-ci< conférence est un angle droit, 'puisqu'il a pour mesure la moitié d'une demi-circonférence, c'est-à-dire un quadrant.

31 . — Cette propriété fournit un moyen de mener une tangente à une • irconféren e O (fig 1'.)) par un point A extérieur à. cette circonfé- ence. Pour ce-la joignons AO; et sur cette droite comme dia-

Fig. 19.

mètre, décrivons une circonférence qui coupera la première en deux points B et B'. Tirons AB ; ce sera une tangente à la circonférence O. Car, si l'on ioint BO l'angle ABO, inscrit dans une demi-circonférence, sera droit, et AB étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon OB sera tangente à la circonférence O.

On aurait une seconde tangente en joignant AB'.

[H. Sonnet ]

LU; NES l'nOl'OKTIONNELLES. —Géométrie, IX, X. — Dépni'ious. Le rapport de deux lignes e»t le quotient qu'on obtient en divisant entre eux les nombres qui expriment les grandeurs de ces deux lignes mesurées avec la même unité. Par exemple, la largeur d'une table étant de 8i centimètres et sa longueur de 1"',25, c'est-à-dire 125 centimètres, le rapport entre la largeur et la longueur est —i ce qui signifie que la largeur est

égale à 84 fois la 125e partie de la longueur. Entre

la longueur et la largeur, le rapport serait — -■ ce

qui signifie que la longueur est égale à 125 fois la

84e partie de la largeur. Le rapport— — est Vinv erse

du rapport -— •

On appelle proportion une égalité entre deux rapports. Si, par exemple, le rapport entre deux droites a et b est égal au rapport de deux autres droites c et d, on peut écrire

Cette égalité est une proportion, et on dit que les deux droites a et 6 sont proportionnelles aux deux autres droites c et '/. (V. Proportion.)

La théorie des lignes droites proportionnelles est une des plus importantes de la géométrie plane; nous allons en présenter l'exposé avec la simplicité qu'elle doit avoir dans l'enseignement primaire, et en faisant suivre chaque principe des applications dont il est susceptible.

Théorème I. — Lor^qun les deux côtés d'un angle sont coupés )>ar des droites parallèles entre elfes, si les parties interceptées sur un côté sont égales, les parties interceptées sur l'autre sont aussi égales entre elles.

Supposons les droites AA',BB' et CC parallèles fig. l,,et OA' = A'B' = B'f/; les parties OA.AB et BG seront aussi égales entre elles.

Fig. 1.

Pour le démontrer considérons-en deux seulement. AB et BC par exemple, et menons les droites AH et BK parallèles au côté OY. Ces droites sont égales l'une à A'B' et l'autre à B'G', comme étant les côtés opposés des parallélogrammes HAA'B' et KBB'C ; elles sont donc égales entre elles. Maintenant, imaginons qu'on porte le triangle BGK sur le triangle ABH, en appliquant le côtéBK sur le côté AH qui lui est égal : le côté BG se placera sur la direction du côté AB, puisque les angles CliK et BAH sont égaux à cause du parallélisme des côtés BK et AH, et l'extrémité G se trouvera sur cette direction. De même les angles CKB et BHA étant égaux comme ayant leurs côtés respectivement parallèles, le côté KG prendra la direction de HB et l'extrémité C se trouvera sur cette direction. Ainsi le point C, devant être à lu fois sur HB et sur AB. se trouvera à leur intersection B On voit par là que les deux triangles coïncident, ce qui montre que les côtés AB et BG sont égaux.

LIGN. IMIOPOUTIONNKI.LKS

1166— UGN. PROPORTIONNELLES

Application. — Division d'une droite en parties égal s.

La division d'une droite en 2, 4, 8, \C> parties égales revient à mener une perpendiculaire par le milieu d'une droite; c'est le théorème procèdent qui fournit le moyen de diviser une droite en un nombre quelconque de parties égales.

Soit à diviser une droite AB en trois parties égales (fig. 2). D'une extrémité B on mène une

droite indemne BX, faisant avec AB un angle quelconque. Sur cette droite, on porte a partir de B, à l'aide du compas, trois longueurs BB, BS, ST égales, mais d'une longueur arbitraire; on joint le dernier point T à l'autre extrémité A et, par les autres points S et B, on mène des droites parallèles à AT : ces parallèles coupent la droite AB en parties égales.

Notn. Cette division se fait très promptement, si on trace les parallèles à l'aide de la règle et de l'équerre.

Théorème II. — Quan>1 un triangle est coupa par une droite parallèle à l'un de ses côtés, les de»x autres côtés sont diviséi par cette droite en parties proportionnet'is.

En effet divisons le côté AB (fig. 3) en parties

égales, cinq par exemple, la partie AD est les ^ de

l'autre partie DB. Si du point D on tire DF paral-

lèle h BC, AF sera aussi les- de FC.

Fig. 3.

En effet si, parles points de division du côté AB, on mène des droites parallèles à BC, elles partagent le côté AC en cinq parties égales, et comme il y en a deux dans AF et;J dans FC, on voit queAF est

les | de FC.

Donc les deux parties du côté AC sont proportionnelles aux deux parties du côié AB ; c'est ce qu'on exprime par la proportion suivante :

AD

AF FC

Corollaires. — 1° Les parties AD et AF sont les - des côtés correspondants AE et AC; les parties

;{ BD et CF sont les - de ces côtés ; donc les côtés

AB et AC sont coupés en parties proportionnelles entre elles et proportionnelles à ces côtés. On a ainsi :