I. Programme du brevet complet, 1" série fFrance

Ce pro^r.nmme n'a pas tliî caractère officiel, mais il peut èfrc considéré comme donnant bien la physionomie ordinaire d(« examens. Nous l'empruntons au Gvl'le des aspirants et aspirantes aux divers , brevets de capacité, par 31. A. Lenient, directeur de l'École normale de la Seine.

ARITHMÉTIQUE

. Définitions préliminaii^es . — Ce qu'on appelle grandeur ou quantité, unité, nombre. — Diverses espèces de nombres.

Numération. — Objet de la numération. — Formation des nombres. — Numération parlée. — Numération écrite. — Règle à suivre pour écrire en chiffres un nombre énoncé. — Traduire en langage ordinaire un nombre écrit en chiffres.

Addition. — Objet de cette opération. — Règle à suivre pour additionner plusieurs nombres. — Preuve de l'addition.

Soustraction. — Théorie de celte opération. — Sa preuve par l'addition.

■ Multiplication. — Définition de la multiplication. — Ce qu'on appelle multiplicande, multiplicateur, produit, facteurs du produit. — La multiplication lî'est qu'une addition abrégée. — Nature des unités du produit. — Multiplication d'un nombre quelconque par l'unité suivie de plusieurs zéros.

Différents cas qui peuvent se présenter dans la multiplication : 1" multiplier l'un par l'autre deux nombres d'un seul chiffre: table de Pj^thagore; 2" multiplier un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul chiffre ; -S» multiplier un nombre de plusieurs chiffres par un nombre de plusieurs chiffres. — Ce que l'on doit faire quand il y a un ou plusieurs zéros à la droite du multiplicande, ou à la droite du multiplicateur, ou bien à la droite des deux facteurs.

Principes relatifs h la multiplication. — Nombre de chiffres dont peut se composer le produit de deux facteurs. — Le produit de plusieurs nombres ne change pas quand on intervertit l'ordre des facteurs. — Multiplication d'un nombre par le produit de plusieurs facteurs d'un certain nombre.

Ce qu'on appelle multiples et puissances d'un nombre. — Usages de la multiplication. — Preuve de la multiplication.

Division. — Définition de cette opération. — Ce qu'on appelle dividende, diviseur, quotient. — La division n'est qu'une soustraction abrégée.

Différents cas que peut présenter la division : 1° lorsque le diviseur est un nombre exprimé par tin seul chifl're et que le dividende est moindre que dix fois le diviseur; 2" lorsqtie. le dividende et le diviseur étant quelconques, le quotient n'a qu'un seul chiffre ; îl» lorsque, les deux termes étant dos nombres quelconques, le quotient a plusieurs ciiifl'res. — Comment on reconnaît qu'un chiffre placé au quotient est trop fort ou trop faible. — Procédés à suivre pour effectuer sans tâtonnements la division d'un dividende partiel par le diviseur.

Principes relatifs à la division. — Division d'un

ARITHMETIQUE

produit de plusieurs facteurs par un certain nombre. — Division d'un nombre par un produit de plusieurs facteurs. — Cas où le dividende et le diviseur sont termines par des zéros. — Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise le dividende et le diviseur par un même nombre, la division des résultats obtenus donne le même quotient; mais le reste, s'il y en a un, est multiplié ou divisé par ce nombre.

Usages de la division. — Preuve de la division.

Divhi'jilitê des nombres. — Définitions et principes généraux. — Lorsqu'un nombre en divise plusieurs, il divise leur somme. — Tout nombre qui en divise un autre divise ses multiples. — Lorsqu'un nombre en divise deux autres, il divise leur difrérence.

Tout nombre qui divise une somme de deux parties et l'une de ces deux parties, divise l'autre.

— Un nombre étant composé de deux parties, tout nombre qui divise l'une de ces parties sans diviser l'autre ne divise pas la somme. — La division du nombre donné et celle de la partie non divisible par le diviseur donnent alors le même reste.

Caractères de divisibilité par "2 et par 5, par 4 et 2.^, par 8 et 125. — Divisibilité par 9 et par 3.

— Caractère de divisibilité par 1 1 .

Preuves par 9 de la multiplication et de la division. — Théorie et pratique.

Ce qu'on appelle plus grand commun diviseur de plusieurs nombres. — Théorie de la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres.

— Tout nombre qui en divise deux autres divise leur plus grand commun diviseur. — Recherche du plus graud commun diviseur de plusieurs nombres.

Sombres premiers. — Définition. — La suite des nombres premiers est illimitée. — Méthode suivie pour trouver quels sont, dans la suite naturelle des nombres, ceux qui sont premiers. — Marche à suivre pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers.

Théorèmes relatifs aux nombres premiers. Tout nombre qui divise un produit de plusieurs facteurs et qui est premier avec l'un d'eux divise nécessairement l'autre. — Tout nombre premier qui divise un produit divise en même temps un des facteurs de ce produit. — Lorsqu'un nombre est divisible par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux, il l'est aussi parleur produit. — Former tous les diviseurs d'un nombre.

Conditions nécessaires pour qu'un nombre en divise un autre et pour qu'un nombre soit divisible par un autre. — Détermination du plus grand commun diviseur de plusieurs nombres au moyen des facteurs premiers de ces nombres. Trouver le plus petit nombre divisible à la fois par plusieurs nombres donnés.

Fractions ordinau'es. — Définition et origine des fractions. — Ce qu'on appelle numérateur, dénominateur. — Manière d'écrire et de lire une fraction. — Expressions fractionnaires et nombres fractionnaires.

Propriétés fondamentales des fractions. — Comment on rend une fraction un certain nombre de fois plus grande ou plus j^etite. — Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie ou qu'on divise ses deux termes par un même nombre.

Ce qu'il arrive lorsqu'on augmente ou qu'on diminue dun même nombre les deux termes d'une fraction ou d'une expression fractionnaire.

Simpli/iCiitiun des fractions. — Une fraction irréductible est celle qui ne peut pas être écrite en termes plus simples. — Règle à suivre pour réduire une fraction à sa plus simple expression.

lli^'/ucfion des fractions au même dénominateur.

— Théorie et pratique. — Réduction des fractions à leur plus petit dénominateur commun.

Addition des fractionu — Règle à suivre pour

additionner des fractions ayant le même dénominateur ou des dénominateurs différents. — Addition des nombres fractionnaires.

Soustraction det fractions. — Différents cas que peut présenter la soustraction des fractions ou desnombres fractionnaires.

Midtiplication des fractions. — Multiplication d'une fraction par un nombre entier. — Multiplication d'un nombre entier par une fraction. — Multiplication d'une fraction par une fraction. — Cas où les facteurs sont des nombres fractionnaires. — Ce que l'on appelle fraction de fraction. — Trouver une fraction ordinaire équivalente à une fraction de fraction.

Division des fractions. — Division d'une fraction par un nombre entier. — Division d'un nombre entier par une fraction. — Division d'une fraction par une fraction. — Cas où le dividende et le diviseur sont des nombres fractionnaires.

Extension aux fractions des propriétés relatives aux facteurs et aux diviseurs, étudiées dans la multiplication et la division des nombres entiers.

Fractions décimales. — Numération des fractions décimales. — Manière d'écrire en chilïres un nombre décimal énoncé ou une fraction décimale. — Traduire en langage ordinaire un nombre décimal.

On ne change pas la valeur d'une fraction décimale en écrivant ou en supprimant sur sa droite un ou plusieurs zéros. — Ce qu'il arrive lorsqu'on avance la virgule de plusieurs rangs vers la droite ou vers la gauche d'un nombre décimal.

Addition. — Soustraction. — Multiplication des^ nombres décim<iux.

Divisio?i des nombres décimaux. — Division d'un nombre décimal par un nombre entier. — Division d'un nombre décimal par un nombre décimal. — Division d'un nombre entier par un nombre décimal. — Quand le diviseur est un nombre entier, le quotient est exact à moins d'une unité de l'ordre dont est le dernier chiffre du dividende.

Manière d'obtenir le quotient de deux nombres à. moins d'une unité décimale d'un ordre donné.

Conversion des fractions ordinaires en fractions décimales. — Exposé de la méthode générale de réduction. — Définition des fractions décimales périodiques. — Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fraction ordinaire soit exactement réductible en décimales. — Nombre do chifi'res décimaux que devra contenir alors l'expression décimale de la fraction proposée.

Caractères auxquels on peut reconnaître que la fraction décimale résultante sera périodique. — Nombre maximum de chiffres que pourra contenir la période.

Conversion de^ fractions décimales en fractions ordinaire^. — Règle générale. — Étant donnée itne fraction décimale périodique simple ou mixte, trouver la fraction ordinaire génératrice.

Caractères auxquels on reconnaît qu'une fraction ordinaire irréductible est équivalente à une fraction périodique pure ou à une fraction périodique mixte. — Nombre de chiffres irrcguliers que, dans ce dernier cas, la fraction décimale devra contenir.

Approcher de la valeur d'un nombre décimal à moins d'une demi-unité d'un ordre décimal donné.

Système métrique. — Ce qu'on appelle mesurer une quantité. — Diverses espèces de mesures.

Mesures de lonr/ueur. — Mètre ; ses divisions, ses multiples. — Rapports de l'ancienne toise de six pieds au mètre.

M f sures de surface ou de superficie. — Mètre carré ; ses multiples et ses sous-multiples. — Relations qui existent entre ces diverses mesures.

Mesures agraires ; are, hectare, centiare. — Rapport de ces mesures au mètre carré. — Mesures topographiquos.

ARITHMETIQUE

Mesures de volume. — Mètre cube. — Ses sousmultiples. — Démontrer que chacune des unités de volume est mille fois plus grande que l'unité immédiatement inférieure. — Stère.

Mesures fie capacité. — Litre ; ses multiples et ses sous-multiples. — Rapport de ces mesures avec le mètre cube. — Formes et dimensions des diverses mesures employées.

Mesures de povls. — Gramme ; subdivisions et multiples usités.

Monn<ties. — Franc. — Subdivisions en usage.

— Diamètre et poids des monnaies de France. — Rapport, à poids égal, de la valeur de l'or à la valeur de l'argent.

Titre des monnaies et de l'orfèvrerie.

Calcul di; grandeurs rapportées aux unités du système métrique. — Numération des mesures métriques. Opérations sur ces mesures. — Convertir un nombre quelconque d'unités métriques en unités de l'ordre immédiatement supérieur ou inférieur. — Usage des tables de conversion des anciennes mesures légales.

Calcul des nombres complexes tirés de la division de la circonférence et du temps.

Racine carrée. — Définition du carré et de la racine carrée d'un nombre. — Composition du carré de la somme de deux nombres. — Extraction de la racine carrée d'un nombre plus petit que 100.

Extraction de la racine carrée d'un nombre plus grand que 100. — ïliéorie et pratique.

Caractères auxquels on reconnaît qu'un chiffre mis à la racine est exact. — Dire si une racine est erronée de plus ou de moins d'une demi-unité. — Extraction de la racine carrée d'un nombre entier à moins d'une unité décimale donnée.

Extraction de la racijie carrée n'iin nombre décimal.

Extraction de la racine carrée /l'une fraction.

— Règle à suivre : 1» lorsque les deux termes de la fraction proposée sont dos carrés parfaits ; 2" lorsque, des deux termes de la fraction, le dénominateur seul est un carré parfait ; 3o lorsque le dénominateur n'est pas un carré parfait.

Trouver la racine carrée d'une fraction ordinaire à moins d'une unité décimale donnée. — Extraction d'une racine dont l'indice est une puissance parfaite de 2.

Racine cubique. — Définition du cube et de la racine cubique d'un nombre. — Composition du cube d'un nombre renfermant dos dizaines et des unités. — Extraction de la racine cubique d'un nombre plus petit que lOdO.

Extraction de la racijie cubique d'un nombre plus grand que 1000. — Théorie et pratique.

IMoyen de s'assurer de l'exactitude d'un chiffre écrit à la racine.

Trouver la racine cubique d'un nombre entier à moins dune unité décimale donnée.

Extraction de la racine cubique d'un jiom'.rc de'cimal.

Extraction de la racine cubique 'l'une fraction.

— Règle à suivre : 1° les deux termes étant des cubes parfaits ; 2° des deux termes de la fraction le dénominateur seul étant un cube parfait : 3° le dénominateur de la fraction proposée n'étant pas un cube parfait.

Trouver la racine cubique d'une fraction à moins d'une unité décimale donnée. — E.xtraction d'une racine dont l'indice est une puissance parfaite de 3.

Rapport des grandeurs concrètes. — Définitions préliminaires. — Rapport ou raison. — Proportion. — Application aux rapports des propriétés principales des quotients ou fractions.

Dans une suite de rapports égaux la somme dos numérateurs et celle des dénominateurs forment un rapport égal aux rapports proposés.

l^otiofis générales sur les grandeurs qui varient dans le même rapport ou dans un rapport inverse.

Problèmes anciennement connus sous le nom de règles de trois simples ou composées. — Méthode de réduction à l'unité. — Mettre en évidence les rapports des quantités de même nature qui entrent dans le résultat final, et en conclure la règle générale h suivre pour écrire immédiatement la solution demandée.

Intérêts simples. — Formule générale qui fournit la solution de toutes les questions relatives aux intérêts simples.

Escompte en dehors ou commercial. — ^léthode des diviseurs fixes pour un nombre donné de jours. — Solution de toutes les questions relatives à l'escompte. — Escompte en dedans. — Analogie de la règle d'escompte en dedans avec la règle d'intérêt quand le capital primitif et l'intérêt sont réunis. — De l'échéance commune.

Partages proportionnels . — Partager une somme en des parties proportionnelles à des nombres donnés. — Règles de société.

Arithmétique appliquée. — Principales simplifications apportées aux calculs d'intérêts et descompte dans les maisons de banque et de commerce. — Méthode des nombres et des diviseurs.

Voiiiptes courants.

Échéance moyenne.

Hentes sur l'Etat. — Du pair. — Achat de rentes, connaissant la cote. — Droit de commission de l'agent de change. — Taux d'une rente. — Des comptes courants portant intérêt. — Modes d'emprunts publics.

Clianges. — Cours des changes. — Solution des principales questions auxquelles les changes peuvent donner lieu.

Arbitrage. — Règle conjointe.

Application des partages proportionnels au partage de l'actif dans une faillite, à la répartition des dividendes dans les compagnies d'actionnaires, etc.

Mélanges et alliages. — Valeur des objets d'or ou d'argent d'après leur titre.

Moyennes arithmétiques. — Prix moyen.

Progressions arithmétiques. — Principales propriétés des progressions arithmétiques ou par différence. — A'alour d'un terme quelconque d'une progression arithmétique. — Insérer un nombre quelconque de moj-ens arithmétiques entre deux nombres donnés. — Calculer la somme des termes dune progression arithmétique.

Progressions géométriques. — Principales propriétés des progressions géométriques ou par quotient. — Valeur d'un terme quelconque d'une progression géométrique. Insérer un nombre quelconque de moyens géométriques ou proportionnels donnés. — Calculer la somme des termes d'une progression par quotient.

Logarithmes. — Théorie des logarithmes déduite des progressions. — P.'-incipales propriétés des logarithmes. — Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes de ses facteurs. — Corollaires relatifs à la division, à l'élévation des puissances, à l'extraction des racines.

Construction d'une table de logarithmes.

Usage des tables de logarithmes. — Caractéristique. — Un nombre étant donné, trouver son logarithme. — Logarithme d'un nombre entier quelconque. — Logarithme d'un nombre décimal — Logarithme d'une fraction décimale. — Logarithme d'une fraction ordinaire. — Usage des caractéristiques négatives.

Étant donné le logarithme d'un nombre, trouver ce nombre. — Cas où la caractéristique du logarithme est négative. — Cas où le logarithme est entièrement négatif.

Applii-ati'iJi des logarithmes aux questions d'intérêts composés. — Temps au bout duquel un capital est double, triplé, etc.

ARITHMETIQUE

Application des logarithmes aux aniiuités. - Placements par annuités.

Amortissement. — Déterminer l'annuité nécessaire pour amortir en un temps donné une dette contractée à un certain taux annuel. — Chercher au bout de combien de temps sera libéré un particulier qui consacre, chaque année, une certaine somme au payement de l'intérêt et à l'amortissement d'une dette.

Caisses d'épargne et de retraites.

Résolution des principales questions auxquelles peuvent donner lieu les assurances sur la vie, les rentes viagères et les tontines.

Notions élémentaires siir l'emploi des lettres et des signes dans les calculs, comme moyen d'abréviation et de généralisation.

Définition et principes généraux sur les équations du \" degré. — Application ù la résolution dos problèmes.

II. Programme du coins supérieur des écoles primaires DE LA SEINE, SERVANT AUSSI DE PROGR-UIME POUR l'examen DU BREVET OBLIGATOIRE OU DE 2° ORDRE.

Ce programme est extrait de V Organisation pédagogique des écoles publiques de la Seine. — Les noms des mois entre parenthèses indiquent la division mensuelle des matières dans ces écoles.

Aritlimétique (Progr. du cours moyen).

/Oct.). — Théorie de la numération.

Nombres entiers : explication raisonnée des quatre opérations fondamentales sur les nombres entiers.

(Xov.). — Divisibilité des nombres. — Caractères de divisibilité par 2. 3, 5, G, 9. — Preuves par 9 de la multiplication et de la division.

(Dec). — Nombres premiers. — Recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres. — Décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers. — Recherche du plus petit multiple et du plus grand commun diviseur de plusieurs nombres.

(Janv.). — Fractions ordinaires. — Fraction proprement dite, expression fractionnaire. — Principes sur les fractions. — Simplification des fractions. — Réduction des fractions au même dénominateur.

(Fév.). — Opérations snr les fractions ordinaires. — Addition et soustraction. — Multiplication. — Division.

(Mars). — Nombres décimaux. — Explication raisonnée des règles du calcul des nombres décimaux. — Analogie des nombres décimaux, d'une part avec les fractions ordinaires, d'autre part avec les nombres entiers.

Conversion des fractions ordinaires en décimales, et réciproquement.

Carré et cube d'un nombre. — Règle pratique pour l'extraction de la racine cnrj'ée et de la racine cubique. (Indication très-élémentaire en vue des applications au système métrique.)

(Avril). — Ce qu'on appelle rfljapor^ de deux nombres : Proportio7i.

Notions générales sur les grandeurs (jui varient dans le même rapport et dans un rapport inverse.

(Mai-Août,. Applications aux opérations pratiques. — Problèmes connus sous le nom de règles de trois, d'intérêt et d'escompte. — Méthode de réduction à l'unité.

Exercices empruntés k des questions usuelles, telles que les rentes sur l'Etat, les actions et les ijbligations industrielles, les caisses d'épargne, la répartition des impôts, etc.

Problèmes de société, de mélange et ^'alliage.

Problèmes divers.

Système métrique (Progr. du cours moyen). (Oct.). — Notions générales. — Le système mé-

trique est décimal : avantages qui en résultent. — Ce qu'on entend pariuesurer. — Diverses espèces de mesures; leur emploi. — Définitions des unités de mesures ; de leur rapport avec le mètre.

Multiples et sous-multiples décimaux des unités métriques ; comment on les exprime et ce qu'ils sont par rapport à l'unité. — Mesures effectives : unités, multiples et sous-multiples, doubles et moitiés de ces mesures.

(\ov.). — Mesures de longueur. — Le mètre: ses multiples et ses sous-multiples. — Une longueur étant exprimée en mètres, en décimètres, en centimètres, etc., la rapporter ù une autre unité de longueur. — Valeur en mètres d'un degré du méridien, de la lieue de poste et de la lieue commune ou de 25 au degré.

(Dec). — Mesures de superficie. — Définition du carré. — Mètre carré; ses multiples et ses sousmultiples. — Are ; son multiple et son sous-multiple. — Rapports entre les mesures de superficie proprement dites et les mesures agraires. Une surface étant exprimée au moyen d'une unité superficielle, la rapporter à une autre unité.

(Janv.). — Mesures de volume. — Définition du cube. — Mètre cube; ses sous-multiples. — Stère, décastèrc et décistère. — Rapports entre les mesures de volume proprement dites et les mesures pour les bois de chauffage et de construction.

^Fév.) — .Mesures de capacité. — Le litre ; ses multiples et ses sous-multiples. — Mesures effectives et fictives.

Rapports entre les mesures de capacité et les mesures de volume.

(Mars). Mesures de poids. — Le gramme; ses multiples et ses sous-multiples. — Mesures efi'ectives et mesures fictives. — Quintal et tonne métriques.

Correspondance entre les mesures de poids et les mesures de volume et de capacité ; poids d'un litre d'eau, d'un mètre cube d'eau, etc.

(Avr.). — Mo>i7iaies. — Le franc et ses sousmultiples. — Pièces de monnaie etfoctives. — Poids des pièces d'or, d'argent et de bronze. — Valeur relative des monnaies d'or, d'argent et de bronze, à poids égal; poids relatif do ces monnaies à valeur égale.

Valeur du kilogramme d'argent pur et du kilogramme d'argent monnayé ; du kilogramme d'or pur et du kilogramme d'or monnayé.

Titre des alliages d'or ou d'argent. — Connaissant le poids et le titre d'une pièce d'or ou d'ar gent, en trouver la valeur.

^Mai;. — Notions si^r la mesure du temps. — Jour, heure, minute, seconde. — Convertir en secondes un no'mbre composé de jours, d'heures, de minutes et de secondes ; réciproquement, un nombre étant donné, trouver combien il contient de minutes, d'heures et de jours.

(Juil.-Aoiit;. — Révision générale et exercices pratiques.

Application du système métrique à la mesure des surfacesetdes volumes (Cours supérieur^.

■(Oct.). — NotiO'S élémentaires de géométrie. — Révision générale du système métrique. — Définition des angles, de la circonférence ; mesure des angles en degrés, minutes, secondes. — Angles droits; — perpendiculaires, oblitiues. — Définition des parallèles. — Définition dos polygones, du triangle, du parallélogramme, du rectangle, du carré, du losange, du trapèze, etc.

(]Vov.). — Règle pratique pour l'extraction de la racine carrée.

.Mesure des aires. — Aire du rectangle, du carré. — Aire du parallélogramme, du triangle, du trapèze.

Exercices d'application.

(Dec. . — Mesurer l'aire d'un polygone quelconque en le décomposant, soit en triangles, soit

ARITHMETIQUE

en trapèzes et en triangles rectangles ; en le transformant en un triangle équivalent.

Aire d'un polj-gone régulier. — Mesure du cercle. — Mesure dune aire plane limitée par une ligne courbe.

Exercices d'application.

(Janv.). — Dea polyèdres. — Définition de la perpendiculaire à un plan, des plans parallèles. — Prismes, parallélipipèdes, pyramides.

(Fév.). — Règle pratique pour l'extraction de la racine cubique.

Mesure des volumes. — Énoncer sans démonstration les théorèmes relatifs à la mesure du parallélipipèdo, du prisme et de la pyramide.

Exercices d'application.

(IMars). — SuiTace latérale et volume du cylindre, du cône, du tronc de cône.

Exercices d'application.

Mesure de la surface et du volume de la sphère.

Exercices d'ajjplication.

(Avr.). — Cubage d'un massif de maçonnerie, d'un tas de sable ou de gravier, d'un fossé ; jaugeage d'un vase cylindrique, d'un seau ayant la forme d'un cûne tronqué, d'un tonneau ; cubage d'un tronc d'arbre, etc.

(Mai.). —Ce qu'on appelle densité. — Usage des densités.

Exercices d'application.

Calcul des nonihres comple.res tirés de la division de la circonférence et du temps.

Usage de tables drs cr.nversion des anciennes mesures en mesures légales.

'Juin-Aoiît). — Révision générale. — Comme pour le calcul, les exercices et les problèmes d'application, bien gradués, doivent accompagner chaque leçon.