LEVIER ENREGISTREUR. MOMENT D’INERTIE

A. — Le moment d'inertie d’un levier est égal à la somme des moments d'inertie des

particules qui constituent le levier.

1. — Le moment d'inertie d’une particule quelconque d’un levier est égal à la masse de

la particule multipliée par le carré de sa distance à l'axe du mouvement du levier. Ge qui est démontré de la façon suivante :

Soit OA le levier considéré; O l’axe du mouvement; M une particule dont la masse est m;r la distance qui sépare la particule M de l’axe du mouvement O. La vilesse linéaire v de M, la vitesse angulaire w du levier et la longueur r sont reliées par la

Ù relation suivante : d = rw; donc w — à (4).

F L’accélération a de la particule M est représentée par la relation suivante : a — LE

, | LEE { , L’accélération angulaire « du levier OA est d’après la formule (1) la-— partie de l’ac-

<élération de la particule M. On a donc : à — . En mullipliant les deux lermes du

Or Fr représente le moment de la force par rapport à l’axe du mouvement du levier. Étant donnée la relation générale qui relie la force, l'inertie et l’accélération et qui est représentée par l'équation suivante :

moment de la force moment d'inertie, soit équivalente de l’expression de à donnée par la formule précédente (2), il faut que mr? représente le moment d'inertie de M.

Donc le moment d'inertie d’une particule du levier est égal à la masse de la particule multipliée par le carré de sa distance à l’axe du mouvement.

F rapport mr Par”, On Au

Accélération angulaire (x) — et pour que cette expression de «

50 GRAPHIQUE (Méthode).

— L'expression du moment d'inertie du levier se déduit facilement des expressions des moments d'inertie des particules du levier. En effet, les masses des particules étant mi, M, Ms, ete., et leurs distances de l’axe du mouvement étant 71, 72, rs, etc. , leurs moments d'inertie sont : mara?, Morr?, Mars?, etc... La somme de ces moments d'inertie est égale au moment d'inertie I du levier. On a donc :

I = mari? Æ Moro? + Mara? +... = Z(mr?).

3.— Le moment d'inertie d’un levier dépendant des moments d'inertie des particules qui le composent, il résulte que deux leviers de même poids et de même longueur peuvent avoir des moments d'inertie différents.

Le moment d'inertie est d'autant plus grand que les particules les plus pesantes sont les Pre éloignées de l’axe du mouvement.

4. — Le moment d'inertie entre dans l’expression de la force vive d’un levier en mouvement. |

En effet, toutes les particules d’un levier se déplaçant dans la direction de la trajectoire avec une vitesse v, la force vive de chacune de ces particules de masse m est

\ ; | x my représentée par - mv°. Pour l’ensemble du levier on a donc 2 | —

Fi Ai

Remplacons la vitesse v par son expression en vitesse angulaire : rw. On a :

mT 2 w?2 co)

Force vive = X La vitesse angulaire «w étant la même pour toutes les particules, on a :

, 1 Force yivé =" wt> 2 MT

Z (mr?) représentant le moment d'inertie I du levier, on a :

4 ; Force vive — 5 L'eo?.

5. — Quand le mouvement qu'on étudie cesse d'agir sur le levier enregistreur, celui-ci

ne s'arrête pas immédiatement. En vertu de la loi de l’inertie, il continue à se mouvoir

suivant la trajectoire de son mouvement antérieur. La force vive de ce déplacement est

Lé r f À L donnée par la formule précédente : = I w°?, qui nous montre qu’elle est proportionnelle

au moment d'inertie du levier multiplié par le carré de la vitesse angulaire. Donc la déformation du tracé du mouvement étudié est d’autant plus importante que le moment d'inertie du levier est plus grand et que la vitesse angulaire du levier, c’est-à-dire l’'amplification du levier, est plus considérable.

L’amplification d’un mouvement par le levier enregistreur, quand elle est trop grande, devient un élément de déformation des tracés. Aussi, quand on veut avoir le tracé fidèle d’un mouvement, ne faut-il pas en exagérer l’amplification, mais se contenter de petits tracés qu’on amplifie optiquement par projection.

6. — En résumé, le moment d'inertie d’un levier est fonction de son poids, de sa longueur ef de la distribution des masses qui le constituent par rapport à son axe.

Pour avoir un faible moment d'inertie, il faut choisir un levier léger, pas trop long, et s’amincissant à mesure qu'il s'éloigne de son axe.

Le tracé d’un mouvement peut être déformé non seulement par l’inertie du levier, mais aussi par une trop grande amplification. Même avec un levier ayant un très faible moment d'inertie, les tracés sont déformés, si la vitesse angulaire du levier est trop grande. Ces déformations croissent avec le carré de la vitesse angulaire, c’est-à-dire avec le carré de l’amplification.

B. — La détermination mathématique seule du moment d'inertie d'un levier de forme complexe est impossible; il faut y joindre l’expérimentation.

GRAPHIQUE (Méthode). 51

1. — Bour (1886) a fait des recherches expérimentales pour déterminer le moment d'inertie des leviers employés en physiologie. Voici sa façon de procéder : IL faisait tomber un poids connu sur le levier, et il mesurait la vitesse angulaire du mouvement provoqué par la chute du poids. Les corps mobiles étaient pesés avec soin. Les valeurs obtenues, pour être exactes, doivent être multipliées par 9814, valeur de l’accélération de la pesanteur.

2. — Voici comment STaRKkE a déterminé, à l’aide de la méthode graphique, le moment d'inertie d’un levier de myographe : Le levier enregistreur étant dans une position horizontale, on attache un poids connu, P — M G (M étant la masse du corps, et G l’accélération de la pesanteur), à un fil qui passe sur une poulie de rayon R placée sur l’axe du mouvement du levier. La plume du levier trace sur la surface d'un cylindre enregistreur une courbe qui représente le déplacement du levier provoqué par la traction du poids. Cette courbe servira à la détermination du moment d'inertie du levier. Pour cela, il faut trouver la relation qui relie les ordonnées S et les abscisses T de la courbe avec le moment d'inertie.

Soit o l’angle de rotation du levier ; s l’arc tracé par le rayon R de la poulie pour la rotation « du levier. Entre s et S, l’ordonnée de la courbe tracée par le levier, il y a la relation suivante.

SE XS, ; :

À étant une constante égale à ra + Entre l’abscisse T de la courbe tracée par le levier et le temps f, on à la relation

he tel

æ étant une constante dépendant de la vitesse du cylindre.

Nous savons que l'accélération angulaire d’un corps rigide qui tourne autour d'un axe est égale au moment de la force qui fait tourner le corps divisé par le moment . d'inertie du corps. Soit w la vitesse angulaire ; © étant l'angle de rotation du levier, et & le temps, on a la relation suivante :

ne, t et pour l’accélération angulaire :

LORS dé dt?

Le moment de la force qui est le poids P — M G, accroché au rayon R de la poulie, est le suivant :

Moment de la force MGR

I étant le moment d'inertie du levier, et M R? le moment d'inertie du poids, on a l'équation suivante : Une

de MGR.

de I+MR:

Intégrons cette équation. Nous avons pour première intégrale :

MGR (AVE SLR er PR I + MR?

La seconde intégrale sera :