ZI :: pz : RI

ce qui est la seconde analogie du n° 5. La construction que nous venons de donner renferme donc en effet la solution générale du problème,

Pour opérer ces constructions, on agit comme dans les problèmes de la géométrie descriptive en supposant le plan du tableau rabaissé sur le plan de niveau, ce

qui donne les fig. 3 bis et 4 bis. La première se rapporte au cas où le point donné est au dessous du niveau de l'œil, et la seconde au cas où il est au-dessus.

Nous pouvons procéder maintenant à l'exposition des principales méthodes de la perspective pratique.

10. Mcthode du treillis perspectif. Cette méthode est fondée sur la construction d’un carré ABCD (PI. 51,

fig. 5), qui représente le champ original du tableau,

PE c'est-à-dire tout l’espace de terrain que les objets que l'on veut représenter doivent occuper. Ce champ se nomme aussi le plan géométral. On divise ce carré en plusieurs autres carrés les plus petits qu'il est possibie, que le bord inférieur du tableau est

et l'on suppose

posé sur le côté AB du carrré. Ceci posé, ayaut mené sur le plan du tableau la ligne horizontale ST à la hauteur qu'on juge convenable, on tire la ligne verticale QR, selon qu'on veut placer le spectateur vis-à-vis le milieu ou vers un des côtés du tableau , en sorte que o est le point de vueet cR la hauteur de l'œil audessus du terrain.

Par le point o on mène à toutes les divisions du côté AB les droites oA , oh, oN, oP, oB; puis on porte le rayon principal, qu'on détermine selon qu'on a jugé à propos d’éloigner l'œil du tableau, de part et d'autre du point o sur la ligne horizontale, prolongée s’il est nécessaire, comme en O et en O'; de ces deux points on tire aux mêmes divisions du côté AB, les droites O4, OM, ON, OR, OP,O0Bet O'A, O'M, O'N, O'R, OP,OB, puis on joint les points d’intersections de ces droites par les lignes 11, 22, 33, 44, 55 ct de; ce qui forme un assemblage de trapèzes renfermés dans le trapèze AdcB qui est la perspective du carré ABCD et de tous ses petits carrés. C’est ce trapèze AdcB qu'on nomme le treillis perspectif.

On reconnait aisément que AdcB est la perspective du carré ABCD, en observant que le point A cest le point d'incidence du point D et que la ligne AB est égale à la distance AD du point D au plan du tableau, d’où il suit, d’après le n° 9, que le point d’intersection des lignes oA et OB est la perspective du point D. Il en est de même de tous les autres points du carré ABCD. .

11. Les droites Ad, Me, Nf, Ri, PÆ4, Be dont les divisions inégales représentent les divisions égales des droites AD, ME, NF,RI, PK et BC se nomment les échelles fiyantes des longueurs, parce qu’elles servent à dégrader les dimensions des objets, à mesure que les parties de ces ebjets s'éloignent du plan du tableau ; et les parallèles 11,22, 33, ctc., se nomment les échelles fuyantes des largeurs et des hauteurs, parce qu’eïles servent à dégrader les largeurs etles hauteurs des objets à mesure qu'ils s'éloignent du plan du tableau.

12. Puisque le treillis perspectif représente sur le tableau le terrain compris dans le carré ABCD, il est évident que si on dessine dans ce carré le plan des objets qu’on veut mettre en perspective sur le tableau, de manière que les divisions de ce carré servent d'échelles au plan, il sera facile de mettre ce même plan en perspective. Car s’il s'agissait, par exemple, de mettre en perspective un carré posé sur le terrain obliquement par rapport au tableau, on le dessiuerait dans le

carré ABCD (PI. 51, fig. 6) en lui donnant la situation oblique qu'il a sur le terrain, puis on marquerait daus le treillis perspectif les points o, 72, mm, 1, correspondans aux sommets du carré ONMI, et placés, dans les petits trapèzes du treillis correspondans aux petits cariés du plan géométral, d’une manière semblable à celle dont les points O, N, M, et I sont placés dans les carrés. En menant par ces points les droites on, nm, mi, io le quadrilatère onmi sera la perspective du carré ONMI.

13. Sice carré ONMI était la base d’un cube qu’on voulüt mettre en perspective, il faudrait des points 0, n, m, à élever lhorizontale des perpendiculaires 0H, 2Q, mP et :E, et comme le cube doit avoir pour hauteur le côté du carré,on mesurerait ce côté en prevant pour échelle la droite AB et ses subdivisions ; admettons, pour exemple, que le côté OT contienne trois côtés des petits carrés ou trois des subdivisions de AB, il faudra donner à chacune des perpendiculaires trois fois la longueur du trapèze où est son pied, ce que l’on fait en prenant avecun compasles longueurs de ces trapèzes, de manière à tenir ses pointes dans la droite qui passerait par le pied de la perpendiculaire parallèlement à AB. Les hauteurs perspectives des côtés du cube étant ainsi déterminées, on tirerait les droites HQ, QP, PFet FH, et l’on aurait la perspective du cube.

14. On doit remarquer que dans ces opérations le carré où plan géométral est censé derrière le tableau par rapport à l’œil, et qu’ainsi 11 faut dessiner dans ce carré vers AB ou du côté du treillis les objets qu'on veut représenter sur le devant du tableau, et vers CD ceux qui doivent paraître éloignés.

15. Lorsque sur une des faces planes d’un objet qu'on met en perspective ou même sur deux ou plusieurs faces planes parallèles quelconques, il y a plusieurs droites paralièles entre elles, telles que sont les moulures des ornemens d'architecture, il faut pour abréger et en même temps pour opérer plus exactement, déterminer leur poiut de concours perspectif, qu'on appelle alors leur point accidental. Or lorsque ces parallèles sont en même temps deslignes de niveau, ce qui est le cas le plus ordinaire, leur point accidental est dans la ligne horizontale; de sorte qu'ayant la perspective d’une seule de ces parallèles, il suffit de la prolonger jusqu’à la ligne horizontale et le point de rencontre est le point accidental de toutes les parallèles : car puisque l’on suppose que toutes ces lignes sont de niveau, le rayon tiré de l'œil parallèlement à ces lignes est de niveau et par conséquent couché sur le plan horizontal; donc il ne peut rencontrer le tableau que dans la ligne horizontale.

Avant ainsi la position »m de la perspective de la

droite originale NM, on la prolongera jusqu'à ce qu’elle rencontre en R la ligne horizontale suffisamment prolongée. Ce point R sera le point accidental de la droite originale OI et celui des deux côtés de la base supérieure du cube qui sont parallèles à NM et à OI. Il en est de même du point L, où doivent aboutir les perspectives des parallèles ON, IM et de leurs correspondantes dans la base supérieure du cube,

Si les parallèles originales n'étaient pas des droités de niveau, il faudrait avoir la perspective de deux d’entre elles; et les ayant prolongées du côté vers lequel ces perspectives s’inclinent, jusqu’à leur point de rencontre, ce point sera le point accidental de toutes les autres.

16. Cette pratique est fondée sur ce que deux droites parallèles originales semblent toujours concourir vers un même point, cé dont on peut s'assurer en regardant une allée d'arbres dont les deux côtés sont parallèles, et, par conséquent, sur ce que les perspectives de ces droites doivent égalément tendre à concourir sur le tableau. Or l'œil doit voir par un même rayon le point de concours des deux lignes originales et celui de leurs perspectives; donc le point de concours des deux lignes de perspective est dans le point du tableau où son plan est traversé par la droite qui va de l’œil au point de concours des deux lignes originales. Mais le point de concours apparent de deux parallèles originales étant infiniment éloigné de l'œil, la droite tirée de l'œil à ce point leur est parallèle; denc le point de concours des deux droites originales est au point du tableau où son plan, prolongé s'il est nécessaire, est rencontré par une droite tirée de l’œil parallèlement à ces droites originales.

Cependant , si les droites originales sunt en même temps parallèles au plan du tableau, comme la droite tirée de l’œil à leur point de concours apparent ne peut rencontrer le plan du tableau, puisqu’alors elle lui est parallèle, ces draites ne peuvent avoir de point de concours sur le plau du tableau, et leurs perspectives doivent être des lignes parallèles. Aïnsi en supposant, comme nous l’avous fait jusqu'ici, le tableau posé verticalement ou d'aplomb, Æs perspectives de toutes les druites verticales originales sont des droites verticales ; les perspectives de toutes Les droites horizontales ou de niveau et en méme temps parallèles au plan du tableau, sont des droites posées de niveau sur le tableau ; et les perspectives de toutes les droites originales parallèles au tableau et inclinees à l'horizon, sont des paral!èles inclinees de La méme quantité sur le tableau.

Toutes les autres parallèles semblent concourir.

17. Dans la pratique de la perspective ; l'usage du treillis peut être particulièrement utile lorsqu'on se pro-

pose de faire un petit tableau et que les objets qu'on

veut y représenter doivent présenter leurs faces sous différentes obliquités. Mais lorsqu'il s’agit de grands tableaux et surtout si l’on doit y peindre un grand nombre d'objets éloignés les uns des autres, comme on ne pourrait construire un assez grand carré ou plan géométral, le treillis devient insuffisant. Cependant si l’on en pouvait faire un assez grand pour contenir tous ces objets, en diminuant leurs dimensions de la moitié, du tiers où du quart , ou en général dans un rapport exact quelconque , on pourrait les mettre en perspective sur un treillis, puis les copier sur le tableau en doublant, triplant, quadruplant, etc. , toutes les lignes tracées sur ce treillis, et l’on aurait une perspective d’autant plus exacte, qu'il aurait fallu moins augmenter les dimensions prises sur ce treillis.

18. En faisant un devis exact de toutes les dimensions, positions et distances de tous les objets qui doivent entrer dans le tableau , on peut encore se passer des petits carrés du plan géométral. Car, ayant divisé le bord du tableau en autant de parties égales qu’on jugera nécessaire, dont chacune représentera un centimètre, un décimètre, un mètre, ou en général une des mesures sur lesquelles le devis aura été réglé , mesure qui prend le nom de module, on fera un treillis sur ces divisions et on regardera chaque trapèze comme un espace d’un »cdule carré, On pourra donc arranger tous les objets sur ce treillis, selon le devis qu’on en aura fait.

19. Pour remplir le vide qui est sur les côtés du treillis perspectif, on peut prolonger les droites de, 55, 44,33, etc. , de part et d'autre jusqu'aux bords du tableau (PI. 51, fig. 5), et après avoir continué aussi de part et d'autre les divisions égales de la ligne de, on tirera du point de vue o des droites par tous les nouveaux points de divisions, Ces droites formeront avec les prolongemens de 55, 44, etc. , de nouveaux trapèzes qui seront les perspectives de nouveaux petits carrés, qu’on décrira si l’on veut, à côté de ceux du grand carré ABCD, ce qui augmentera je champ du plan géométral.

20. Perspectives sans treillis. Dans cette méthode, comme dans la précédente, on sappose que le plan de Ja base de chaque objet original est dessiné dans toutes ses proportions, à la distance du bord du tableau selon laquelle on veut qu’il en paraisse éloigné, Supposons qu'il s'agisse d’un prisme pentagonal, et que AB étant le bord du tableau, la base de ce prisme soit en EFGHI. (PL 51, fig. 7.)

On tirera sur le plan du tableau la ligne verticale QR , et on la prolongera au-delà de l’objet original; puis on prendra sur l'horizontale SP, oO égale au rayon principal, d’un côté et d'autre du point de vue 0, s’il est nécessaire. Sur un des bords du tableau , par exemple, vers le coin B,on prendra BC égale à la hau-

PE teur que doit avoir le prisme original, et du point P de laligne horizontale onmènera la droite PC. Le triangle PCB indiquera, comme nous allous le voir, la dégradation des hauteurs.

Ayant trouvé sur le tableau, par le procédé du n° 9, les perspectives e, f,g, h, à, des points E,F,G,H,1, on élèvera sur ces perspectives les perpendiculaires : D, eN, fM, gL, AK, en donnant pour longueur, à chacune de ces lignes, la partie interceptée dans le triangle PCB de la droite qu'on mène de son pied parallèlement à AB. Ainsi, la hauteur de Ja perpendiculaire menée au point e sera cp, et de même pour toutes les autres. Des extrémités D,K,L,M,N, tirant ensuite les droites qu’on voit dans la figure, on achèvera la perspective demandée du prisme pentagonal dont EFGH est la base.

21. On peut encore ici faire un devis exact des dimensions des objets et de leurs distances respectives, et construire à part des triangles pour la dégradation des hauteurs. Toutes les remarques que nous avons faites sur la méthode précédente s'appliquent également à celle-ci.

22. Perspective par le chässis perspectif. Cette méthode, qui renferme les deux précédentes, ieur est préférable pour l'exactitude.

Ayant choisi sur le tableau (PI. 51, fig. 8) un point o pour être le point de vue, on y fera passer la ligne horizontale qu’en prolongera de part et d'autre aussi loin que possible. Oa tirera aussi la ligne verticale QR, sur laquelle on prendra, depuis le point de vue o, vers Q ou vers R, une partie o C égale au rayon principal. Du point C comme centre avec une ouverture de compas à volonté, la plus grande et la meilleure, on décrira ur arc de cercle ED d'environ Go à 70 degrés, puis on le divisera de degrés en degrés , ou pour le moins de 10 en 10 degrés, en partant du point E. Par le centre C, on mènera des droites à chaque point de division , prolongées jusqu'a leur rencontre avec la ligue horizontale MIT qui se trouvera de cette manière divisée à la droite de la verticale. Pour qu’elle le soit dans toute son étendue , on portera ces divisions de l’autre côté du point o , comme cela est fait dans la figure.

23. Comme il est évident, d’après la construction, que ces divisions, comptées à partir du point 0, sont les tangentes des angles formés au point C, dont le rayon ou sinus total est Co , on peut encore trouver plus exactement ces divisions en faisant une échelle particulière ab divisée en tant de parties égales qu'on voudra, pourvu que 10 de ces parties soient précisément égales au rayon principal, et qu'une de ces parties soit subdivisée en dix autres, et ces dernières encore en dix , ce qui donne une échelle en millièmes parties du rayon

PE principal. À l'aide de cette échelle et de la table des tangentes naturelles, il sera facile de marquer sur la ligne horizontale toutes les divisions nécessaires.

24. Ceci fait, sur le bord iuférieur AB du tableau, en partant d'une des extrémités ct allant vers l’autre, on marquera autant de parties égales AT, LIT; IT, 1TT; HL,IV, etc., qu'on voudra, lesquelles sont destinées à représenter les mesures où modules des dimensions des objets originaux. Depuis l'extrémité S de la ligne horizontale , on prendra sur son prolongement une partie SM égale au rayon principal, et du point M on mènera des droites à tous les pointsde divisions T, IT, IL, IV, ctc., l'intersection de ces droites avec le côté ou montant AF du tableau donuera autant de points de divisions qu’on cotera 1, 2,3, 4, etc., et qu'on portera sur l’autre montant BG.

25. Eofin, sur le bord inférieur AB du tableau et de part et d'autre du point R, on marquera des divisions égales à celles qui auront servi à diviser les montans AF et AG, et on les cotera 1,2, 3,4, etc. Et même pour une plus grande commodité, dans la pratique, on marquera ces mêmes divisions de part et d'autre du poiut Q

sur le bord supérieur FG du tableau. Le tableau ainsi divisé prend le nom de chdssis perspectif.

Dans ce châssis, les divisions de la ligne horizontale servent à placer les perspectives des lignes de niveau, posées obliquement par rapport au plan vertical. Les divisions des montans sont des échelles fuyantes des longueurs ou des éloignemens des objets au plan du tableau ; et les divisious des bords inférieur et supérieur sont des échelles de front, c’est-à-dire, des parties des objets qui sont parallèles au plan du tableau.

26. Pour bien comprendre l’usage des chéssis perspectifs, il est essentiel de se rendre compte de sa construction et, pour cet effet, il faut imaginer 1° que le centre C soit ralevé au-dessus du point de vueo, de manière que le plan du triangle rectangle CoH soit perpendiculaire au plan du tableau. Il est évident alors que le point C est le point où l'œil doit être placé , et que les degrés de l'arc ED, dont le centre est dans l'œil, sont propres à mesurer les angles d'obliquités, par rapport au plan vertical , des lignes originales situées dans le plan horizontal : on peut donc marquer sur la ligne horizontale les points où aboutissent tous les rayons tirés de l'œil à chacun de ces degrés. 2° Imaginant de même que SM soit relevé perpendiculairement sur le plan du tableau , de manière que l'angle o SM soit droit ; qu’en même temps la droite AB soit relevée perpendiculairement au même plan du tableau, mais du côté opposé à l'œil, et qu'ainsi le plan de toutes les droites tirées de M aux divisions de AB soit perpendiculaire au plan du tableau, AF étant l’intersection com-

mune de ces deux plans, il est clair que les divisions de

PE sU{

AB marquent alors les éloignemens ou distances au plan du tableau mesurées sur le terrain. Par exemple, AI marque un module de distance au-delà du tableau, et conséquemment Ar, sur le côté AF, est sa perspective ; car les triangles rectangles semblables M1S et Ar,

donnent AI: MS::Sr:A1, d'où AI: AI+LMS::S1:S1 + Ar,

ce qui est identique avec la première analogie du n° 7. Ilen est de même des autres divisions.

27. On voit, d'après ce qui précède , que si l'on ne pouvait prolonger facilement le plan du tableau pour avoir assez de divisions sur les montans , on pourrait trouver ces divisions par un calcul facile; et c’est le parti qu'il faut prendre lorsqu'on a un grand tableau à tracer, En voici un exemple.

Soit le rayon principal oC de 10 modules , et la hauteur de l'œil au-dessus du plan du terrain de6 modules. Pour avoir toutes les distances Si, S2, S3, etc., en supposant que l'intervalle de ces divisions doive être d’un module , on aura ces proportions

10 + 1:10::6: Sr —= 5,45 10 + 2:10 :: 6: S2 — 5,00 10. 32 10.5: 6: 83 — 461 10 + 4 :10::6:S4 — 4,29 10 + B:10::6:S5 — 4,00 10 + 6:10:: 6: SG —= 3,75 10 + m'a ront O7 23,53 10 + 8:10::6:S8 — 3,33 10 + Q:10 6: Sgr —1316 10 + 10 : 10 :: 6 : Sio — 3,00 10 + 17 : 10 :: 6 : Srr — 2,86 10 + 12 : 10 :: 6 : S19 = 2,73

etc: etc.

Ainsi par le moyen d’une échelle divisée en parties décimales dont la distance de la ligne horizontale au bord inférieur du tableau contiendra 6,00 dans cet exemple, il sera très-aisé de marquer exactement sur les montans du tableau toutesles divisions dont on aura besoin.

28. Avant d'exposer les usages du chdssis-perspectif, nous devons rappeler ici quelques-unes des lois générales de la vision. Si l’on suppose qu'un spectateur ait placé son œil à l'égard du tableau, comme il le doit être, pour considérer la perspective lorsqu'elle sera tracée, et qu’il regarde au travers de ce tableau qu'on imagine transparent comme une glace , tout ce que le cadre du tableau lui permet de voir, dans un terram indéfini, libre, uni et de niveau comme une vaste plaine, il est évident qu'il doit voir le terrain terminé

par une ligne de niveau, qui est confondue dans la circonférence d’un cercle qui parait séparer le ciel de la terre, et dont l'œil est le centre : ce cercle est l'horizon céleste, Or, la perspective de la portion visible de ce cercle doit être une ligne droite. Car, puisque ce cercle où horizon a son centre dans l'œil, les rayons qui vont de l'œila tous les points de sa circonférence visible forment un plan; leur intersection avec le plan du tableau est donc l'intersection de deux plans , laquelle ne peut être qu'une droite ; et il est évident que c'est la ligne horizontale du tableau qui est la perspective de cette portion visible de l'horizon céleste, et que les divisions de la ligne horizontale sont les perspectives des degrés de ce cercle.

29. De ce que l'œil est le centre de l'horizon céleste , il suit que si deux droites originales, placées sur un plan de niveau qui passe par l'œil du spectateur, sont inclinées l’une à l’autre, de sorte que le sommet de l'angle de leur inclinaison soit dans l'œil même, les degrés de l'horizon céleste, et par conséquent les divisions de la ligne horizontale du tableau, sont propres à mesurer cet angle, ct à représeuter l'inclinaison de ces deux droites.

Puisque tous Îes plans parallèles entre cux doivent paraitre se réunir à une distance infinie de l'œil, le plan du terrain eten général tout plan de niveau paraît s’incliuer vers le plan horizontal qui passe par l'œil, pour se confondre avec lui dans la circonférence de l'horizon céleste ; il suit ge La ligne horizontale du tableau est la ligne oùse rencontrent toutes les perspectives de tous

les plans de niveau.

Tous les plans de niveau sur lesquels sont posées les parties des objets propres à être dessinés, sont à une distance finie les uns des autres, tandis que la circonférence de l'horizon céleste est à une distance infinie de l'œil : l'intervalle entre ces plans est donc infiniment petit à l'égard de la distance de l'œl au lieu où ils paraissent se réunir : donc tous les plans de niveau qui passent à une distance finie au-dessus ou au-dessous de l'œil sont, par rapport à la circonférence de l’horizou céleste, et par conséquent par rapport à la ligne horizontale du tableau, comme un seul et même plan couché sur celui de l'horizon céleste où confondu avec le plan horizontal qui passe par l’œil : la perpendiculaire ou verticale tirée de l'œil sur tous ces plans de niveau, et qui mesure leur intervalle réel, est comme un point confondu avec le centre de cet horizon.

Ainsi un angle quelconque formé par deux droites sur un plan de niveau, se trouvant situé dans la verticale qui passe par l'œil, est, à l'égard de la circonférence de l'horizon céleste, ou de la ligne horizontale du tableau, comme s’il était dans l'ail même; ét par con-

séquent les divisions de la ligne horizontale sont encore propres à la mesurer, et à en donner la perspective.

Enfin les différens objets à la portée de l'œil et destinés à être dessinés sur un tableau, sont à une distance finie les uns des autres et par rapport à l'œil, tandis que la circouférence de l’horizon céleste en est à une distance infinie : donc tous les points qui forment les parties de ces objets, doivent censés infiniment proches les uns des autres et de l’œil, et par conséquent tous les angles que font entre elles, sur des plans de niveau , les droites qui terminent les faces et les côtés des objets doivent être censés au centre de l'horizon céleste , et mesurables par les divisions de la ligne horizontale.

30. Il résulte de ces considérations 1° que les divisions de la ligue horizontale sont propres à mesurer et à représenter en perspective tous les angles qui sont dans un plan de niveau quelconque.

2° Que pour mettre en perspective un angle original quelconque, il faut chercher sur le tableau le point de perspective du sommet, et tirer de ce point deux droites qui aboutissent aux divisions propres à marquer les degrés de cet angle , ou qui aboutissent aux mêmes divisions de la ligne horizontale, auxquels eussent abouti deux rayons tirés de l’œil parallèlement à chaque côté de cet angle.

3° Que si de tant de points C, D, E, qu'on voudra (PL. 52, fig. 1), pris sur le champ du tableau on tire deux droites à deux mêmes divisions À et B de la ligne horizontale, les angles ACB, ADB, AEB seront les perspectives d’angles originaux égaux entre eux et dont

le nombre des degrés qui les mesure est égal à celui des

divisions comprises entre À et B. En effet, puisque AC, AD, AE aboutissent à un même point accidental A , elles sont les perspectives de trois parallèles (n° 15) : de même les trois droites BC, BD , BE sont les perspectives de trois parallèles ; or, des parallèles qui rencontrent d’autres parallèles ne peuvent former que des angles égaux entre eux.

4° Qu'une droite comme AD ou AE tirée sur le tableau d’un de ses points quelconques D ou E, et aboutissant à un point À de la ligue horizontale est la perspective d’une ligue originale couchée sur un plan de niveau, et inclinée au plan vertical, du côté où est le point A, d'une quantité exprimée par le nombre qui marque le degré où est le point A : par exemple, AD et AE sont les perspectives de deux droites de niveau, qui déclinent de 10 degrés à droite du plan vertical.

Nous pouvons donner maintenant la solution des principaux problèmes que présente la pratique de la perspective par le chdssis.

31. D'un point donnéT) (PI. 52, fig. 1) sur un tableau, mener une droite perspectivement parallèle à une droite donnée en perspective comme EF.

Prolongez EF jusqu'à ce qu’elle rencontre la ligne horizontale en quelque point B et menez BD. Ce sera la parallèle demandée.

32. Faire à l'extrémité E d’une droite donnée en perspective EF , et posée originalement sur un plan de niveau, un angle dans le méme plan d'un nombre donné de degrés.

Prolongez EF jusqu'à sa rencontre en B avec la ligne horizontale, Depuis ce point B, comptez sur les divisions le nombre de degrés demandé du côté où l’angle doitêtre, comme de Ben A, et tirez AE.

Si le nombre des degrés demandé était plus grand que celui contenu entre B et o, on prendrait à la gauche du point de vue o le nombre de degrés suffisant pour le compléter avec celui contenu de B en 0.

S'il fallait au contraire construire l'angle à la droite du point B, et siles divisions de la ligne horizontale n'étaient pas suffisantes , on prendrait depuis B vers la gauche un nombre de degrés égal au supplément de l'angle demandé, comme depuis B jusqu’en A, et par les points AetE, on tirerait une droite AEG qui donnerait l'angle perspectif demandé FEG.

33. D'un point D (PI. 52, fig. 2) donné sur une droite CE , mise en perspective, élever une perpendiculaire perspective à cette droite.

Ce problème revient au précédent. Ayant prolongé CE jusqu’à la ligne horizontale en B, il faut prendre un point À tel qu'il y ait 90°, depuis B, sur les divisions et tirer AD.

34. D'un point donné sur un tableau mener perspectivement une perpendiculaire à une droite donnée.

Soit CE (PI. 5, fig. 2) la droite donnée, et F Île point donné, Ayant prolongé CE jusqu'à la ligne horizontale en B, prenez un point À éloigné de 90° du point B; par les points A et F faites passer la droite AD, elle sera la perpendiculaire demandée.

35. Etant données les distances au plan du tableau et au plan vertical d'un point original placé sur le terrain, trouver son point de perspective.

Par les divisions des montans qui marquent la distance donnée au plan du tableau menez une droite; puis menez une seconde droite du point de vue au point de la division de la base, ou bord inférieur du tableau, qui marque la distance du point original au plan vertical. L'intersection de ces droites donnera le point de perspective cherché. Par exemple si la distance au plan du tableau était de 4 modules, et la distance au plan vertical de deux modules à gauche, le point de perspective serait en Gr.

Si: le point donné n'était pas sur le terrain, mais élevé au-dessous, ou, enfoncé au-dessous , comme dans un fossé, il faudrait imaginer une droite tirée de ce point original perpendiculairement sur le terrain , la-

PE 505 quelle mesure alors la hauteur ou l'abaissement da point par rapport au terrain, et comme cette perpendiculaire est en même temps parallèle au plan du tableau et au plan vertical, le point du terrain auquel cette perpendiculaire aboutit , est à la même distance à l'égard de ces deux plans que le point original. Il faut donc, comme ci-dessus, déterminer sur le tableau la perspective du point du terrain où la perpendiculaire aboutit, et y ayant fait passer une droite parallèle à la ligne verticale, il faut en déterminer perspectivement la longueur, selon la distance du point original au plan du terrain, ce que nous allons voir plus loin; et l’extrémité de cette perpendiculaire sera la perspective du point original donné.

36. Mettre en perspective une droïte originale donnce de grandeur et de position sur le terrain.

Soit la longueur de la ligne donnée de 2 modules. 2) doit être éloignée du plan vertical de 2 modules et du plan du

Si l’une de ses extrémités G (PL. 52, fig.

tableau de 4, on cherchera, par le procédé précédent, la perspective G de ce point; mais pour trouver celle de l’autre extrémité, il se présente trois cas.

1° La ligne originale est parallèle au plan vertical. Supposons que son extrémité G doive être la plus proche du tableau ; puisque la ligne a deux modules de longueur, l’autre extrémité doit être éloignée du plan du tableau de 6 modules. Tirez du point G au point de vue une droite Go et par les points 6 des montans une droite qui coupe Go en un point L, ce po'nt est l’autre extrémité cherchée.

Si le point G devait être l’extrémité la plus éloignée du tableau , on ôterait» de 4 et par les points 2 des montans On mènerait une droite dont l'intersection avec Go prolongé serait l'extrémité demandée.

2° La ligne originale est parallèle au plan du tableau. Alors, ou elle a son extrémité G la plus proche da plan vertical, ou cette extrémité en est la plus éloignée; dans le premier cas l’autre extrémité est à 2—2 modules du plan vertical, c’est-à-dire au point X de la ligne verticale; dans le second cas , cette extrémité est à 2 + 2 modules du plan vertical, et il faut tirer la droite o{ du point de vue à la quatrième division du bord inférieur , le point A" est alors la perspective demandée.

3° La ligne originale est oblique au plan du tableau et au plan vertical. Supposons qu’elle doit décliner de 20 degrés à droite du plan vertical. Par le point G tirez une droite au 20° degré de la ligne horizontale à la droite du point de vuc; prenez GX peripectivement égale à la droite donnée, c’est-à-dire, de 2 modules, puis du point À menez une droite qui puisse couper G 20 et qui aboutisse en même temps en Q au degré de la ligne horizontale où est marquée la moitié

du complément de l’angle dont la ligne origimale est oblique à l'égard du plan vertical, c’est ici 35° moitié de 70° complément de 20°. L'intersection de G 20 et de ÀQ donnera en [ la perspective de l'extrémité de la ligne demandée. En effet en analysant cette construction on voir qu'on a mis en perspective un triangle isocèle GKI, dont les côtés perspectivement égaux sont GK et GI.

On peut encore résoudre le problème en construisant sur un plan à part ou en calculant par la trigonométrie un triangle rectangle dont la droite originale serait l’hypothénuse et dont un des angles serait égal à l'angle d’inclinaison par rapport au plan vertical, car on trouverait, par la valeur du côté opposé à cet angle, de combien l'autre extrémité de la ligne originale donnée est plus ou moins éloignée du plan vertical que n'est le point G; du point de vue o ayant tiré 0G2, on prendrait alors sur les divisions du bord inférieur du tableau la quantité 2m, dont l'extrémité I de la ligne cherchée est originalement plus près ou plus loin du plan vertical; et ayant tiré au point de vue la droite 10, son intersection avec G20 donnerait en I le point cherché.

37. Diviser une ligne donnee en perspective en un nombre donne de parties égales.

Soit PQ (PI. 52, fig. 3) la ligne donnée qu’il faut diviser en 4 parties égales. Par un point S quelconque p'is sur Ja ligne horizontale, tirez pur les extrémités P et Q deux droites ST et SD jusqu’au bord inférieur du tableau. Divisez l'intervalle DT en quatre parties égales TA, AB, BC, CD, et tirez SA, SB, SC; la ligne donnée se trouvera divisée en parties égales aux points a, b,c; carilest évident qu’elle se trouve interceptée entre des parallèles originales ST, SA, SB, SC, SD (voy. n° 15)et que ces parallèles sont également éloignées entre elles puisqu'elles coupent TD en parties égales. Donc elles couperont aussi PQ en parties perspectivement égales.

Pour plus d'exactitude il faut choisir le point S de manière que ST diffère le moins possible de SD.

38. S'il fallait diviser PQ en parties inégales entre elles, mais dont les rapports soient déterminés, on diviserait TD en parties proportionnelles à celles-ci, et en tirant du point S des droites aux points de division, elles couperaient PQ aux points demandés.

39. Il résulte de tous les problèmes précédens qu’on peut mettre sur le châssis le plan perspectif d’un objet d’après le devis de ses angles et de ses côtés. L’exécution en sera plus prompte et souvent même plus exacte, en y employant les positions et les longueurs de différentes diagonales qu’on imagine sur le plan original et dont le calcul est tiès-facile lorsqu'il s’agit de polygo-

nes réguliers, Voyons actuellement ce qui concerne les hauteurs perspectives des objets.

4o. Mettre en perspective des droites perpendiculatires au plan horizontal ou, ce qui est la méme chose , mettre en perspective les rayons de hauteur.

Supposons qu'il s'agisse d'élever du point Q (PI.

52, fig. 3) une perpendiculaire à l'horizon haute de

6 modules Par le point de vue 0, où par un point

quelconque pris sur la ligne horizontale , et par le point Q tirez une droite OF jusqu’au bord inférieur du ta-

bleau en F. Elevez au point F une perpendiculaire

EF à ce bord inférieur, faites-la de 6 modules pris

sur les divisions de ce bord et portée de Fen E, tirez 0E; l'intersection de cette dernière dioite avec une perpendiculaire QT à la ligue horizontale menée du point Q donnera en [le sommet de la ligne cherchée. En effetolF et oE sont les perspectives de deux lignes de niveau parallèles entre elles (voy. n° 15) et par constquent les droites FE et GI qu'elles interceptent sout originalement égales entre elles.

4x. Diviser les lignes perspectives des hauteurs en parties égales ou inegales dans un rapport donne.

Les lignes perspectives des hauteurs étant parallèles au plan du tableau, se divisent en parties égales par les procédés de la géométrie élémentaire, car les perspectives des parties égales des droites originales sont elles-mêmes égales. Il en est de même pour les parties inégales; elles sont proportionnelles à leurs perspectives.

42. Déterminer sur le tableau le point accidental des parallèles qui sont inclinées à l'horizon, et données de position.

Puisque les parallèles sont données de position, si l’on imagine un plan vertical qui passe par chacune d’elles, il est évident que tous les plans verticaux seront aussi parallèles entre eux et qu’on connaîtra la position qu'ils auront à l’égard du plan vertical du tableau. Or, ou ils seront parallèles à ce plan vertical, ou ils seront posés obliquement à son égard d’une quantité donnée.

43. I. Si les plans verticaux sont parallèles au plan vertical du tableau, le point accidental cherché est dans la ligne verticale du tableau, au-dessus ou au-dessous du point de vue , d’une quantité égale au nombre des degrés du complément de l'inclinaison de ces parallèles à l'égard de l'horizon, pris depuis le point de vue sur les divisions de la ligne horizontale. Le point accidental est au-dessus du point de vue, si l’inclinaison de ces lignes écarte leur sommet du plan du tableau, et au-dessous si elle l’en rapproche.

44. Supposons qu'il s'agisse de mettre en perspective un parallélipi pède rectangle dont les faces soient inclinées à l'horizon de 39°, et appuyé parallèlement au

plan vertical, contre un plan perpendiculaire à l'horizon ; comme si c'était une solive. (PI. 53, fig. 4.) IL est clair 1° que les côtés qui terminent les faces du parallélipipède sont des parallèles inclinées à l'horizon de 39”, et que les plans verticaux dans lesquels on suppose ces côtés, sont paralièles au plan vertical du tableau. 2° Que les plans des bases du parallélipipède sont aussi inclinés à l'horizon d'une quantité égale à 51°, complément de 39°, à cause des angles droits qui sont aux angJles solides du parallélipipède. 3° Que parmi les huit lignes qui terminent les deux bases, il ÿ en a quatre parallèles à l'horizon ; savoir : celle qui est couchée sur le terrain et sa parallèle AB, DC, et celle qui est appuyée sur le mur et sa parallèle ab, de; les quatre autres ad, be, AD, BC, sont inclinées à l'horizon de 39°. D'où l’on voit qu’il faut trouver dans la ligne verticale deux points accidentaux, l’un T au dessus du point de vue, pour les droites Aa, Bb, Ce, D qui terminent les faces, et dout l’inclinaison écarte leur sommet du plan du tableau , et l’autre P au-dessous du point de vue S pour celles AD, BC, ad, be qui terminent les bases, et dont l'inclinaison les rapproche du plan du tableau. Il faut donc prendre sur les divisions de la ligne horizontale uue droite égale au complément de 51e, c'est-à-dire, à la tangente de 39°, et la porter de S en T, et une ligne égale au complément de 39°, et la porter de S en P; la figure rend le reste sensible.

45. IT. Siles parallèles données sont dans des plans verticaux qui fassent un augle avec le plan vertical du tableau , comme si l’on supposait que le parallépipède de l’exemple précédent dût être appuyé sur un plan qui fit, avec le plan vertical, un angle 30°, ou, ce qui est la même chose, qui eût une obliquité de Go° à l'égard du plan du tableau ; alors il faudrait trois points accidentaux, l’un en T (PI. 52, fig, 5), pour les côtés qui terminent les faces, l'autre en Q, pour les côtés de la base qui sont appuyés les uns sur le terrain et les autres sur le mur , et pour leurs parallèles; et le troisième en P, pour les côtés de la base qui ne touchent le terrain ou le mur que par une de leurs extrémités, et pour leurs parallèles.

46. [n’y a aucune difficulté pour le point accidental Q des lignes qui sont couchées sur le terrain , il doit toujours être dans la ligne horizontale, au point qui marque leur obliquité à l'égard du plan vertical. Mais pour trouver chacun des deux autres , voici le procédé.

Prenez sur la ligne horizontale VQ la tangente VE du complément de l’inclinaison des faces à l'horizon, portez-la de O en F sur une perpendiculaire élevée du point de 45°, Joignez VI qui coupera en R la perpendiculaire DT, élevée du point D où est marqué le complément de la déclinaison des faces à l'égard du plan vertical; portez OF de D en K ; joïguez KR, faites