R=SL

En désignant par D le volume du déblai, par S' Ja surface du profil du fossé, et par /', le chemin parcouru

par le centre de gravité de ce profil, on aura la rela-

tion,

el :

Si — est le rapport du foisonnement des terres, nous T2

aurons, pour exprimer que le déblai doit être égal au remblai, l'équation :

R= D(° ) D'où, eu substituant pour R et D leurs valeurs , et 2 Ï 2

l' m =S = ( iQ m1 »

équation qui donne S’ en fonction de /', On obtiendra

dégageant S';

une approximation suffisaute, en prenant pour l' la longueur de la ligne milieu du fossé.

Reste maintenant à déterminer, à l’aide de S”, les dimensions du fossé , en l’astreignant pour les talus d’es-

carpe et de contrescarpe aux conditions sus-énoncées.

Soient æ la largeur du fossé, y sa profondeur, et x l'angle du talus naturel des terres; nous aurons :

(= A S'=y (æ Lycota)

D'où :

EU 5 Lt: cot « Hi ee tang & (æ 7 S' ) 4 7 ÿ >: cotz }

Dans la valeur de y on ne tient compte que du signe moins , parce que c’est le seul qui convienne à la question, puisque y doit diminuer quand x augmente, et vice verst. En se donnant x ou y, on pourra toujours, à l’aide de ces relations, obtenir la valeur de l’autre variable; æ étant astreint à avoir au moins 4 mètres, et y étant compris entre 2 mètres et 4 mètres. Lorsqu’en oscillant entre ces limites, on obtiendra pour y une valeur imaginaire, on changera alors l’inclinaison de la plongée, ce qui donnera une autre valeur deS’, et permettra, au moyen de gnelques tâätonnemens, d'obtenir une valeur réelle du radical.

Lorsque la fortification est assise sur un terrain accidenté, les crêtes intérieures ne peuvent plus être conpuisque

n’abriteraient pas les défenseurs placés sur le terre-plein.

tenues dans un plan horizontal, alors elles Il faut défiler l’ouvrage, et comme on n’a pas le temps deleverpar courbes horizontales le terrain environnant,

il faut nécessairement que les opérations de défilemen

4% FO se fassent immédiatement, sans avoir recours aux moyens employés dans la fortification permanente,

Supposons que novus voulions défiler une lunette d’une hauteur située en avant , et dont le point culminant soit bien déterminé. Le plan de défilement devant passer à 1,50 mètres au-dessus du terrain , nous le supposerons abaissé de cette quantité, et alors il deviendra tangent auxhauteurs. Nous déterminerons, sur la gorge de l'ouvrage, le point d’intersection de cette ligne avec la droite joignant le saillant de la lunette et le point culminant du terrain. Nous planterons en ce point un piquet de 1,00 mètres de haut, dont le sommet sera évidemment dans le plan de défilement, Eu faisant passer par ce sommet et par le point culminant un rayon visuel , il sera contenu tout entier dans le plan de défilement, et son intersection avec une perche plantée au saillant de l’ouvrage, déterminera un point appartenant à ce même plan. En le relevant de 1,50 mètres, on aura la hauteur de la crête intérieure du saillant.

Si on avait à se défiter de plusieurs hauteurs, l'emploi d’un seul plan conduirait le plus souvent à des reliefs excessifs. On emploiera alors deux plans qu'on fera se couper suivant la capitale de l'ouvrage , et suivant cette insersection , on construira une traverse destinée à préserver les défenseurs des vues de revers. Quelquefois on 2e pourra plus se contenter d’une seule charnière, et on sera forcé d’en employer plusieurs. C’est à la sagacité de l’ingénieur à déterminer quels seront les meilleurs moyens à employer, en ne perdant jamais de vue que les reliefs doivent étre aussi petits que possible. Dans tous les cas, lorsque les différens plans de défilemeut se couperont en goutüuère , il faudra nécessairement construire des traverses suivant leur intersection.

Dans les cas dont nous venons de nous occuper, la balance des déblais et remblais ne pourra se faire que par faces, et même par portions de face. On aura recours alors au théorème de Thomas Simpson, ou au profil moyen. ( Foy. Remgrais).

18. La défense des retranchemens est confiée à des troupes d'infanterie, soutenues par un certain nombre de pièces de canon, Au saillant, on construit une barbette, afiu de découvrir tout le terrain environnant , et d’avoir un champ de tir plus vaste. Sur les faces, les pièces sont à enbrasures, la direction du tir peuvant se fixer par avance, et restant la même pendant toute la durée de l'attaque.

19. Indépendamment de ces moyens de défense, il en est d’autres, compris sous la dénomination générale de défenses accessoires.

On dispose le long de la contrescarpe des arbres cou-

chés dont on tourne les branches vers l'ennemi. Ce sont

des abattis. En avant du saillant qui est le point d’at-

taque, à cause du secteur privé de feux , on dispose des trous de loup. Ce sont des cavités affectant la forme d’un tronc de cône, la base supérieure étant la plus grande. Leur profondeur est d'environ 1,00 mètres et au centre est planté un fort pieu acéré. On hérisse le terrain de petits piquets saillans de 30 à 4o centimètres et espacés de 20 à 30. On répand des chausse-trapes , espèce de clous à quatre pointes, disposées de marière à ce qu'il y en ait toujours une en l'air, On plante des palissades dans le fond du fossé, au pied de la contrescarpe. On enterre sous le parapet des fraises ou palissades inclinées, qui font saillie sur le talus d’escarpe, et s'opposent à l’escalade. Lorsque les localités le permettent , on emploie les eaux comme défense accessoire , soit en tendant des inondations, soit en remplissant les fossés d’eau.

20. On appelle lignes, des retranchemens composés dans lesquels entrent comme élémens les différens ouvrages que nous avons précédemment décrits. Les lignes sont continues où à intervalles.

Les premières, comme le dit leur nom, embrassent tout le terrain à défendre par une suite d'ouvrages entre lesquels il n'existe point de solutions de continuité. On y emploie, pour les parties les moins susceptibles d'attaque, la ligne à crémaillère, en ayant soin de faire retourner les crans de 3 en 3 mêtres.Dansles autres portionson a recours au tracé bastionné.Les lignes offrent de grands inconvéniens. Leur grand développement exige un temps considérable pour leur construction, et un grand nombre d'hommes pour leur défense. Forcees en un point, elles deviennent complètement inutiles.

Les lignes à intervalles se composent de combinaison de redoutes, de lunettes, et de redans. On les dispose ordinairement sur deux lignes, et de manière qu’elles se flanquent réciproquement. Dans ce cas on ferme à la gorge les redoutes et les lunettes, soit par un fossé , soit par des chevaux de frise, ou des palissades; et cela, afin que de la cavalerie lancée au galop, ne puisse pas, après avoir franchi l'intervalle des lignes, venir prendre les ouvrayes par la gorge.

21. Iadépendamment de cesretranchemens construits exprès, un général habile sait utiliser tout ce quise présente pour l’employer à sa défense. Les villages, les maisons isolées, les moulins, les églises, les cimetières etc. Le seul principe qui puisse être donné pour de telles dispositions, est que les défenseurs ne soient-pas exposés à des feux de revers et d’enfilade, et, que dans le cas d'insuccès, leur retraite soit toujours assurée.

(Foy. les ouvrages de Vauban, de Cormontaigne, de Carnot, et le Mémorial de l'officier du génie).

FOURIER (Jean-Bapnisre-Josepu-Baron), l’un des plus célèbres géomètres modernes, naquit à Auxerre le. 21 mars 5768, d’une famille honorable, originaire de lorraine, et dans le sein de laquelle il trouva de nobles

exemples à imiter. Pierre Fourier, réformateur et général de l’ordre des Prémontrés, était son oncle. On sait que ce religieux, aussi distinguépar ses lumières que par ses hautes vertus, est le fondateur d’une cengrégation de femmes vouées à l'éducation des jeunes filles pauvres, quia servi de modèle à toutes les institutions semblables qui existent de nos jours.

Le jeune Fourier fitses études à l'École militaire d'Auxerre, où il se distingua par la rapidité de ses progrès, l’aménité de ses mœurs et la vivacité de son esprit. Ce fut seulement à l’âge de treize ans qu’il commença l’étude des mathématiques, et son aptitude pour ces hautes sciences se manifesta avec plus d’éclat encore que celle qui l'avait fait distinguer dans ses premiers cours. Dès l’âge de dix-huit ans il occupa la chaire de mathématiques dans l’école où il avait étudié, et lors de la fondation de l’école normale, Fourier fat un des jeunes professeurs que le département de l'Yonne envoya à ce lycée scientifique pour se fortifier dans l’art si difficile d’instruire les autres. Il ne tarda pas à se rendre digne de cette honorable distinction, il s’attira l’attention de Monge etde Lagrange, et ces illustres maitres le désignèrent au choix du gouvernement, pour professer les mathématiques à l'École Centrale des travaux publics, grande et puissante instifution, devenue depuis si utile à la France et si célèbre en Europe sous le nom d’Ecole polytechnique. Quoique Fourier n’eût encore publié aucuns travaux , il fut dès-lors considéré comme un géomètre du premier mérite, etil fut du nombre des savans que le Directoire permit au général Bonaparte d'emmener en Orient. Fourier devint nécessairementmembre de l'Institut d'Égypte, et malgrésa jeunesse il s’y fit remarquer par l’activité de ses recherches etl’importance de ses travaux. l’ailleurs, les savans, les généraux et les soldats, tout était jeune dans cette glorieuse armée qui, à travers tous les périls, allait porter sur la terre désolée des Pharaons le drapeau, les lumières et les arts de la France! Nous regrettons de ne pouvoir entrer ici dans quelques détails honorables pour la mémoire de Fourier et qui se rattachent à cette immortelle expédition; quelques mots seulement encore sur sa vie publique. En 1802, l'illustre chef de l'armée d'Égypte devenu premier consul, s’entoura de tous les hommes distingués que l'orage révolutionnaire avait épargnés, et dans le double but d’honorer la science et de régénérer dignement l'administration du pays, il crut devoir arracher à leurs utiles travaux un grand nombre de savans qui devinrent les chefs des diverses branches de l'administration civile et miltaire, dans le vaste plan d'organisation qu'il avait conçu.

Fourier ne put échapper à cette pensée qui a peut-être été funeste aux progrès de la science; il fut appelé à la | préfecture du département de l'Isère, où le temps et les

révolutions , qui, depuis encore, onttroubléplus'eurs fois les destinées de la France, n’ont pu faire oublier cet administrateur éclairé, bienveillant et juste.

Cependant Fourier, tout en se livrant avec zèle aux fonctions de la magistrature, alors importante, dans l’état dont il était revêtu, trouva les moyens de donner beaucoup de temps à l'étude et aux travaux scientifiques qui ont rendu son non recommandable. L'Institut de France proposa, en 1806, un prix pour la solution de cette question : déterminer les lois de la propagation de la chaleur dans les corps solides. Fourier concourut, et son mémoire fut couronné. Mais il sentit lui-même que ses recherches n’avaient cependant rien encore de définitifet de concluant ; car en 1811 il adressa de nouveau à l’Institut un second mémoire plus volumineux sur la même question. Ces deux écrits ont depuis formé les bases principales de sa Théorie analytique de la chaleur.

De grands événemens, qu’il nous est impossible de passer entièrement sous silence, vinrent peu d'années après troubler la carrière politique et scientifique de Fourier. En 1815, le retour imprévu de Napoléon, qui passa par Grenoble en rentrant en France, jeta dans une étrange perplexité un grand nombre de fonctionnaires que les Bourbons avaient conservés en place. Le préfet de l'Isère, voyant d'ailleurs l'impossibilité de résister à l'entrainement enthousiaste des populations et de l’armée en faveur de Napoléon, ne trouva rien de mieux à faire que de se retirer. devant lui. Mais Napoléon, qui avait justemeut comparé sa marche au vol de l'aigle, retrouva Fourier à Lyon; il pardonna son hésitation à son ancien collègue de l’Institut d'Égvpte ; etle nomma préfet du Rhône. Peu de temps après, cependant, Fourier n'ayant point paru s'associer avec assez de dévoument et d'énergie aux projets de Napoléon, fut disgracié. Il vint à Paris, où il s'est entièrement livré depuis aux travaux scientifiques pour lesquels il avait une aptitude plus réelle, En 1816, il lut à l’Académie des sciences un mémbire sur les vibrations des surfaces élastiques, qui fut accueilli avec une faveur marquée par cette compagnie, car dans le courant de la même année, elle appela Fourier dans son sein à la presqu'unanimité des voix. Le roi Louis X VITE, appréciant mal le caractère et la vie politique de ce savant, lui refusa sa sanction, mais en 1817, une unanimité aussi remarquable ayant de nouveau appelé Fourier à l’Académie des sciences , le roi s'empressa d'approuver son élection. Il partagea avec Cuvier les fonctions de secrétaire perpétuel , et devint bientôt un des membres les plus actifs et les plus distingués du corps savant qui avait insisté, d’une manière si honorable pour lui, à l'appeler dans son sein. À ses recherches sur la chaleur, ii ajouta en 1820 la solution d’un problème fort compliqué, qui se

rattache à ce phénomème. Il consiste à former les équations différentielles qui expriment la distribution de la chaleur dans les liquides en mouvement; lorsque toutes les molécules sont déplacées par des forces quelconques, combinées avec les changemens de température. Ces équations appartiennent à l'hydrodynamique générale, Enfin, en 1822, Fourier publia l'ensemble de ses travaux sur les diverses questions que présentent l’existeuce et la diffusion de la chaleur, dans un ouvrage spécial, qu’on peut regarder comme le plus important de ceux qu’il a composés. Nous n’entrerons point ici dans l’exposition systématique de la théorie de Fourier, qui d’ailleurs, comme il le dit lui-même , devrait, si elle était définitive, former une des branches principales de la physique générale. En effet, elle repose uniquement sur l'observation de quelques faits primordiaux, suivant lui, auxquels il rattache tous les principes des phénomènes que présente la chaleur, et dont il a voulu déduire la démonstration mathématique des lois qui les régissent. Nous dirons seulement avec cette franchise austère qui caractérise nos jugemens , ét que ne saurait attiédir la vénération profonde que rous professons pour la mémoire de Fourier, qu'il ne s’est point placé dans un point de vue favorable à la découverte des lois du phénomène qui a été l’objet de ses études. Comme la plupart des géomètres modernes, dont le savoir est incontestable, Fourier manquait essentiellement “de cette philosophie élevée qui peut seule juitier la science à la connaissance des causes premières ; il appartenait comme eux aux idées philosophiques du dernier siècle, et ses travaux consciencieux et recommandables ne s'élèvent point au-dessus des connaissances qui peuvent se déduire de la seule considération de l’expérience. Il ne faut qu'ouvrir son livre pour être confirmé dans cette opinion dès la lecture des premières lignes. » Les causes principales, dit-il, ne nous sont point connues, mais elles sont assujetties a des lois simples et constantes, que l’on peut découvrir par l’observation, et dont l'étude est l’objet de la philosophie naturelle. » Nous n'avons pas besoin de faire remarquer combien cette proposition est vide de sens philosophique.

Néanmoins, l'ouvrage de Fourier présente plusieurs parties fort remarquables, il contient quelques théorèmes nouveaux heureusement formulés et des intégrations qui attestent à un haut degré le mérite de l’auteur comme géomètre. En 1827, l’Académie française apprécia, en lui donnant ses suffrages ; les connaissances littéraires que ses études sérieuses ne lui avaient pas fait népliger. Les écrits mathématiques de Fourier se font remarquer par un style élégänt «et pur ; pat la rectitude des idées et la manière heureuse avec laquelle elles sont exprimées. Ces qualités d’historien

brillent surtout à un degré remarquable dans l’introduction du grand ouvrage sur l'Égypte, à la rédaction générale duquel il a beaucoup contribué, et dans les divers éloges qu’il a eu l’occasion de prononcer comme secrétaire perpétuel de PAtadémie des sciences. Fourier, qui est mort à Paris en 1829, manquait de ce courage civil nécessaire aux hommes publics dans les temps de trouble et de malheur que nous avons traversés, mais il laisse dans l'administration, comme dans la science et les lettres , un nom recommandable et pur. Il était simple dans sa vie privée, spirituel et bienveillant; si conversation était attachante, et ilavait le rare talent de faire briller les personnes avec lesquelles il s’entretenait, Si, comme savant , la postérité, qui ne peut manquer de reconnaitre en lui un habile géomètre, ne le place pas au premier rang de ceux qui ont agrandi le cercle de nos connaissances, elle lui assignera néanmoins une place distinguée parmi les hommes célèbres de la période historique dans laquelle nous vivons, Sa mémoire enfin sera toujours chère à ceux qui l’ont connu. On a de lui: I. Discours préliminaire servant de pré-

J'ace historique au grand ouvrage sur l'Égypte, Paris,

1810, 1 vol. grand in-f°. II. Un grand nombre de Mémoires sur diverses questions de physique générale et de mathématiques, insérés dans le recueil de l’Académie des sciences. [IL Rapport sur les établissemens appelés Tontines, Paris, 1801, in-4°. IV. Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822, in-4°. V. Éloges de Delambre, de sir Williams Herschell et de Bréguet; divers discours sur les progrès des sciences mathématiques.

FOURNEAU (45t.). Nom d’une constellation méri® dionale introduite par La Gaille (voy. CONSTELLATION),

FOYER (Géom. et opt.). On désigne par ce nom , en géométrie ; certains points pris dans l'aire des sections coniques ; dont la propriété principale est de réunir les rayons qui viennent frapper la courbe, suivant des directions déterminées. V’oy. Ezzipse, HyYPER2OLE, Para- 2OLE. En optique, on appelle foyer d'un verre, foyer d'une lunette, etc., le point où les rayons lumineux réfléchis ou réfractés par le miroir , viennent se réunir. Lenrizre et

Voyez CarorrriQue, 5. Voy. aussi

Minoir.

FRACTIONS (Arith. et alg.). Espèce particulière de nombres ; que l’on considère populairement comme les parties d’une unité déterminée. Par exemple, l’ancienne livre, poids de marc, étant prise pour unité des mesures de pesanteur, la motié de cette livre, son tiers, son quart, etc., sont des fractions de la livre. Nous avons yu (ALG: 13) l’origine de ces nombres, qui doivent naissance à la branche inverse du second mode élé-

Ê mientaire de la construction des nombres ; nous avons vu -

également la manière de les exprimer et les propriétés

fondamentales qu'ils tiennent de leur construction ; il nous reste donc seulement ici à exposer quelques considérations particulières qui leur sont propres.

1. Les fractions ne changeant pas de valeur, lorsqu'on multiplie en même temps ou qu’on divise leurs deux termes par le même nombre (are. 13. 3°), il s’en suit qu’une fraction peut être exprimée d’une infinité de manières différentes; c'est ainsi, par exemple, que cha-

cune des fractions

exprime une seule et même quantité. L'expression la plus simple d’une fraction est celle dans laquelle les nombres qui forment son numérateur et son dénominateur sont les plus petits possibles , telle est £ dans la suite ci-dessus. Or, une fraction quelconque étant donnée, trouver son expression la plus simple, c’est ce qui constitue le problème de réduire une fraction à sa plus simple expression.

Désignons par .

une fraction quelconque susceptible

de réduction, et par ñ l'expression la plus simple de cette fraction, nous aurons

Ps mn:

d’où nous tirerons

Mb = Na

égalité qui nous fournira les deux relations suivantes:

La première nous apprend que N doit être exactement divisible par 2, En effet, le quotient de Na par b devant être un nombre entier, M et & n’étant pas divisi-

u a qu atod- notes bles par D, puisque j St une fraction réduite à sa plus

simple expression , il faut nécessairement que N soit exactement divisible par b, pour que le produit Na le soit lui-même. La seconde relation nous apprend que M doit être aussi exactement divisible par a, puisque le quotient de M, divisé par à, doit être égal à celui de N par à, qui, d’après ce que nous venons de voir, est un nombre entier. Ceci posé, désignons ce quotient par Q, nous aurons

» Fu M a.Q N= PO NM —= Q&RE za

Ainsi, pour réduire la fraction À à la forme , , il faut

N déterminer le facteur Q commun à ses deux termes ,

FR AT car en divisant chacun de ces termes par ce facteur , on aura évidemment

Mais ce facteur Q étant nécessairement composé de tous les facteurs premiers qui se trouvent en même temps dans M et dans N, le problème se réduit donc, en der-

nier lieu, à la recherche de ces facteurs.

TA à 139 é : £ Soit pour exemple la fraction qu'il s'agit de ré-

duire à sa plus simple expression. En examinant les deux nombres 135 et 315, on voit d’abord qu'ils sont l’un et l'autre divisibles par 5 (voy. Facreur). Ainsi, puisque ce facteur premier 5 ne doit pas entrer dans les termes de la fraction réduite, divisons successivement 135 ct

315 par 5, et nous aurons peur première réduction

Eu examinant de nouveau les nombres 27 et 63, on trouve facilement qu’ils sont tous deux divisibles par 9 (voy. Facteur), et en opérant l division, on obtient pour seconde réduction

Les nombres 3 et 7 étant premiers n’ont plus de facteurs communs, et l’on en conclut que - est

simple expression de la fraction proposée

la plus

Revenons maintenant sur les détails de opération. I résulte des décompositions précédentes que 135 est formé par le produit destrois facteurs 3.5.0 et que 315 est formé par le produit des trois facteurs 9.5.0, c’està-dire que ces nombres ont pour facteurs communs 5 et 7, et qu'ils sont conséquemment l’un et l’autre divisibles par 5et par o, ou par 54, produit de 5 et 9. Nous avons donc