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L'opération de la recherche du plus grand commun diviseur de eux nombres, a été exposée au mot Com- MUN DIVISEUR.

a. Lorsqu'une fraction irréductible, c’est-à-dire réduite à sa plus simple expression, est exprimée par de grands nombres, il est très-souvent utile de chercher d’autres fractions exprimées par de plus petits nombres, et dont la valeur ne diffère de celle de la proposée que le moins possible; on obtient ainsi des approximations suffisantes pour les moyens usuels. Ce problème, pris dans sa plus grande généralité, est complètement résolu à l’aide de la transformation de la fraction en fraction continue ; (Fay. conTINU).

Nous avons donné au mot cencce, 30, un exemple de ces réductious, qu'Huvgens à employées le premier pour la construction de son planétaire.

Fracrions DÉCIMALES. (Woy. Décimare). Pour les opérations élémentaires qu'on peut exécuter sur les fractions, tant ordinaires que décimales, voyez les mots : ADDITION, SOUSTRACTION, MULTIPLICATION, DI- VISION, EXTRACTION DES RACINES @t ÉLÉVATION AUX PUIS- SANCES. Joy. aussi PÉRIODIQUE:

FRACTIONS RATIONNELLES. On donne ce nom, en À/-

gèbre , à toute fonction fractionnaire de la forme

A tn HA x" + A,rP+....

Ban +B,rr +B,xr +...

qui ue renferme que des exposans enticrs.

Le problème de décomposer ces fractions en d’autres dont les dénominations soient plus simples, et qu’on désigne sous le nom de FRACTIONS PARTIELLES, Se présente souvent dans le calcul intégral. Nous ne pouvons entrer ici dans les détails que ce sujet comporte. ( Voy. Le traité élémentaire du calcul différentiel de Lacroix. 1828. Pag. 243 et suiv.) Leibuitz est le premier qui ait considéré de semblables décompositions, devenues ensuite l'objet des recherches de Cotes, de Moivre, d'Euler, de Simpson et de Lagrange. Euler a particulièrement traité cette matière avec sa supériorité habituelle, dans le second chapitre de son bel ouvrage, analysis infinitorum.

FRÉNICLE DE BESSY, arithméticien du dix-septième siècle, et l’un des premiers membres de l’académie des sciences, doit plutôt la célébrité qu'il a acquise aux éloges de l'illustre Fermat et du savant père Mersennes, qu’à la valeur réelle et à l'utilité de ses travaux. Il faut cependant reconnaitre avec ses contemporains, qu’il était doué d’une aptitude supérieure et toute spéciale pour la science des nombres, car il est certain qu'avec sa seule arithmétique, il résolut des problèmes numériques qui avaient inutilement occupé les méditations d'hommes tels que les Fermat , les Descartes , les

FR Roberval, les Wallis. Fermat s’exprimait ainsi sur son compte dans une de ses lettres : « Je vous déclare ingénument que j'admire le génie de M. Frénicle, qui, sans algèbre, pousse si avant dans la connaissance des nombres ; et ce que jy trouve de plus excellent consiste dans la vitesse de ses opérations. » Les grands géomètres dont nous venons de parler, soupçonnèrent bien que Frénicle ne devait ses succès qu’à une méthode à l’aide de laquelle il püt généraliser les nombres , et qui lui permit ainsi de se passer de l'algèbre ; mais ils teutèrent de vains efforts pour la découvrir, et Frénicle en fit une espèce de secret qu'il refusa constamment de révéler, malgré les plus pressantes et les plus honorables sollicitations. Ce ne fut qu'après sa mort qu'on trouva dans ses papiers le mot de cette énigme scientifique. La méthode de Frénicle était la méthode d’exclusion, qui, depuis les progrès de l'algèbre, est devenue trop insuffisante pour être employée par les géomètres, pour lesquels elle ne peut plus être qu’un objet de curiosité, quoique Lagrange et Euler aient daigné s’occuper d'en démontrer lesapplications les plus compliquées. Frénicle a publié un traité des carrés magiques, dans lequel il a fait preuve d'une grande sagacité ; mais les problèmes numériques auxquels peut donner lieu la disposition des nombres qui porte ce nom, ne sont d’aucun intérêt pour la science et doivent être relégués parmi ces difficultés sans objet, qui ont du entraver, dès ses premiers pas, la marche de l’esprit humain: On doit encore à Frénicle un traité des triangles rectangles, dans lequel, parmi plusieurs propositions remarquables, il démontre qu’il n’y a aucun triangle rectangle en nombres entiers, dont l'aire soit un carré ou un double carré. Frénicle, qui était né à Paris, dans les premières années du dix-septième siècle, entra en 1666

à l’Académie des sciences, et mourut en 1675.

FROTTEMENT ({Aéc.). Résistance qu'un corps éprouve à glisser sur un autre.

Toutes les fois que deux surfaces glissent l’une sur l’autre, il y a frottement, parce que ces surfaces, quelque polies qu’elles nous paraissent , nele sont jamais parfaitement , et sont couvertes d’éminences et de cavités. Lors donc que deux surfaces se touchent, les éminences de l’une entrent dans les cavités de l’autre; et pour les faire glisser l’une sur l’autre, il faut en arracher les parties engagées , en soulevant le corps pour les dégager, et, par conséquent, vaincre le poids de ce corps. Il faut donc une force réelle pour faire glisser un corps sur un autre, et ce qui résiste à cette force est ce qui constitue le frottement.

Amontons est le premier qui ait envisagé cette

question avec toute l'attention que mérite son importance pour l'effet réel des machines. Il prétend (Hem,

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de l'Acad., 1699) que le frottement est simplement proportionnel à la pression, C'est-à-dire, à la force qui applique les deux surfaces l’une contre l’autre, et ne dépend point de leurs grandeurs. Il évalue généralement le frottement comme le tiers de la pression. Les expériences postérieures de Bulfinger ( Voy. Mém. de Petersbourg, tom. 4 }semblent confirmer les idées d’Amontons, sauf la différence de l'évaluation du frottement qui, d'après ce physicien, n’est que le quart de la force

de pression.

Parent ajouta plusieurs considérations ingénieuses à la théorie d'Amontons. Dans sa nouvelle statique sans frottement et avec frottement, insérée dans les mémoires de l’Académie, 19704 et 1712, il résolut plusieurs problèmes importans. Bientôt après , Camus ( Traité des forces mouvantes) , Musschenbroëk et Désaguliers, traitèrent la question, et ajoutèrent de nouvelles ex périences. Il résulte des travaux de ces mécaniciens , que le rapport du frottement à la pression est différent , suivant les différentes espèces de matières qui frottent les unes contre les autres, et qu'il varie du sixième au tiers. Cependant il n’y a aucun inconvénient dans la pratique d'admettre le rapport d’Amontons, car il vaut mieux donner trop d'avantage à la puissance que de lui en donner trop peu. Musschenbroëk n’adopte pas non plus la proposition avancée par Amontons, savoir que le frottement n’augmente pas, quoiqu'on augmente les surfaces, pourvu que la pression soit la même. D'après les expériences de ce savant professeur, ie frottement augmente quand les surfaces sont plus grandes , mais, à la vérité, dans un rapport beaucoup moindre que celui des surfaces.

Bossut et l'abbé Nollet ont distingué deux espèces dé frottement, celui qui résulte d’une surface glissant sur uue autre, et celui qui résulte d’un corps routant sur une surface. La résistance occasionnée par le premier de ces frottemens est toujours plus grande que celle qui est produite par le second. Telle est en effet le résultat de toutes les expériences...

Fergusson et le professeur Vince de Cambridge se sont également occupés de la théorie du frottement dont il était réservé à l’illustre Coulomb de surmonter les principales difficultés. L'Académie des sciences ayant successivement proposé en 1779 et en 1782 pour l’objet d’un concours, la théorie des machines simples, en ayant égard aux effets du frottement et de la raideur des cordages, Coulomb, alors gapitaine au corps royal du génie, remporta le prix qui était double, et son mémoire, l'ouvrage le mieux faitetle plus complet qui eût

FR 49 encore été composé sur cette matière fut imprimé dans le dixième volume des savans étrangers. Nous ne pouvons rapporter ici en détails les résultats de Conlomb ; ils ont servi de base à Proni pour la théorie du frottement qu’il a donnée dans son Architecture hydraulique.

Voici seulement les plus importans.

1. Le frottement des bois glissant à sec sur les bois, oppose, après un temps suffisant de repos, une résistance proportionnelle aux pressions, cette résistance augmente sensiblemeut dans les premiers instans du repos; mais après quelques minutes elle parvient ordinai-

rement à son maximum ou à sa limite.

2. Lorsque les bois glissent à sec sur les bois avec une vitesse quelconque, le frottement est encore proportionnel aux pressions; mais son intensité est beaucoup moindre que celle qu’on éprouve en détachant les surfaces après quelques minutes de repos : on trouve par exemple que la force nécessaire pour faire glisser et détacher deux surfaces de chène après quelques minutes de repos est à celle nécessaire pour vaincre le frottemeut lorsque les surfaces ont déjà un degré de vitesse quelconque,

comme 9, best à 2, 2.

3. Le frottement des métaux glissant sur les métaux sans enduit, est également proportionnel aux pressions; mais son intensité est la même, soit qu’on veuille détacher les surfaces après un temps quelconque de repos, soit qu'on veuille ertretenir une vitesse uniforme quel-

conque.

4. Les surfaces hétérogènes, telles que lesbois et les métaux, glissant lune sur l’autre sans enduit, donnent pour leurs frottemens des résultats tout différens de ceux qui précèdent, car l'intensité de leur frottement relativement au temps de repos, varie lentement, et ne parvient à la limiie qu’après quatre ou cinq jours et quelquefois davantage , au lieu que dans les métaux elle y parvient dans un instant, et daus les bois dans quelques minutes; cet accroissement est même si lent, que la résistance du frottement dans les vitesses insensibles est presque la même que celle que l’on surmonte en ébranlant ou détachant les surfaces après quelques secondes de repos. Ce n’est pas encore tout : dans les bois glissant sans enduit sur les bois, et dans les métaux glissant sur les métaux, la vitesse n’influe que très-peu sur les frottemens; mais ici le frottement croit très-sensiblement à mesure que l’on augmente les vitesses, en sorte que le frottement varie à très-peu près suivant une progression arithmétique, lorsque les vitesses croissent sui« yant une progression géométrique.

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5. Il est toujours permis, dans les applications aux machines qui peuvent se présenter, de considérer la résistance du frottement comme composée de deux parties : 1° une partie proportionnelle à la pression, et qui est le frottement proprement dit ; 2° une partie proportiounelle à l’étendue des surfaces en contact, et qu’on regarde comme provenant de leurs adherences. Les valeurs de ces deux parties peuvent être considérées, pour chaque uature de surfaces, comme ne variant pas sensiblement avec la vitesse du mouvement. Mais elles ne sont pas les mêmes en général lorsqu'il s’agit de détacher des surfaces qui ont été en contact pendant quelque temps, ou de continuer un mouvement commencé. On doit aussi distinguer le frottement des surfaces planes de celui des axes dans les mouvemens de rotation. Les tableaux suivans contiennent, sur ces divers objets, les principaux résultats fournis par l'observation.

°, Frottement des surfaces planes , qui ont demeuré en contact assez long-temps pour que la résistance soit à Son INaAximum.

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. Frottement des surfaces planes, quand le mouvement dure depuis un certain temps.

RAPPORT E c du INPIEORTON frottement OBSERFAPIONS.

| LES SURFACES EN CONTACT. à la pression.

Chène sur chène, les fibres parallèles.. SNS ENS 0, 11 etla sarface réduite à à des arêtes arrondies. . 0, 0S Les fibres croisées 0, 10 ex les surfaces réduites à :

des arrètes arrondies... . 0, 10 Les fibres parallèles et les surfaces enduites de suif on de vicux oing re. “e. | nouvelé à chaque essai. .| 0, 05 L adhérence des surfaces occasiane Fo senc co die une résistance d'environ 30 kil. arrètes arrondies, avec en- par mètre carré. duit, ou l'enduit essuyé etles surfaces restant onc- LU EP A 0, 06 Chène sur sapie, les f bres parallèles.| 0, 4 Sapin sur sapin . 0, 17 Orme sur orme 0, 10 Chène sur fer, les fibres étant parallèles, et la vitesse très- Pete... 0, 08 Le frottement augmente avec la vi- La vitesse de Om,3 par tesse, à moins que les surfaces Teoondel, Le ces. 0, 17 n'aient été usées pendant long- Les surfaces étant très- temps.

petites, sans enduit, mais | restant onctueuses. . . . .. 0, 07 ÊLe rapport du frottement à la pres-| Fer sur fer............. 0, ?S sion est constant Caiere sur ler. see 0, 24 Le frottement diminue quand les Fer sur fer avec un enduit de suif surfaces ont été usées long-temps. renouvelé ....... D proran Le frottement après un long use se! Cuivre sur fer avec un enduit de reduit à 0,47. suif renouvelé. ........ 0, 10 Avec de l'huile sur un av- L'adhérence produit une résistance cien enduit de suif..... 0, 42 d'environ 44 kil. par mètre carre. La surface réduite à des L'adhérence produit une résistance pointes émoussces, restant d'environ 7 kil. par mètre carré. onctueuse; On a enduite L'adhérence peut être regardee| de suif et d'huile. ....:, 0, {2 comme nulle.

3°. Frottement des axes, quand le mouvement dure depuis un certain temps.