Corps lancés horizontalement. Ce cas ne peut

proprement point avoir lieu, si l’on considère que le corps lancé, aussitôt qu’il vole librement, est toujours soumis à l’action de la pesanteur; par conséquent il doit descendre et s'éloigner de la direction horizontale. Cependant il résulte en même temps de cette observation que, pour le coup de niveau , ou du moins pour le coup ainsi nommé, il ne faut pas comprendre une portée dans laquelle le boulet parcourt un trajet horizontal; car cela ne pourrait avoir lieu que pour des corps non pesans. Bien plus, le boulet va toujours en descendant, tel court que soii l’espace qu'il traverse horizontalement. Mais le coup de niveau , dans lequel le rayon lumineux, paraissant courir parallèlement à l'axe du canon , frappe au centre du but, où doit aussi porter le boulet (coup de haute volée), est le coup dans lequel l'espace , dont le boulet descend par son mouvement, est corrigé par le canon même.

Pour rendre ceci visible, soit A le canon (Pr. XIV, fig. 10}, ab sa surface supérieure (où se trouve la mire, le bouton), c le centre du but à atteindre : en visant, le rayon lumineux abc prolongé devra frapper dans ce centre du but; mais l’axe prolongé du canon porte en f, point situé au-dessus de ce centre. Si on reculait maintenant le but à la distance r, p, n, e, il faudrait que le boulet descendit de l’espace sr, gp, mn, etc., pour toucher le but. Comme les intervalles sont entre eux comme les distances, la carrière du boulet ne coïncide [pas parfaitement avec les fixations; mais la déviation est si faible, qu'on peut presque entièrement négliger la différence.

L'on sait également , depuis Galilée, que la voie que uace un boulet tiré en direction horizontale est une parabole. Il suffit d’une simple démonstration pour prouver que cela résulte nécessairement des lois de la pesanteur.

Soit cc (Pr. XIV , fig. 2) l'axe des abscisses, cy celui des ordonnées. Le premier sera partagé dans les in-

tervalles 4, qui appartiennent au mouvement du

BA 201 boulet, en portions de temps égales, 1, 12, 23, Deer le second en de telles parts semblables, qu’elles appartiennent à l'intervalle de la chute dans un temps égal aux portions de temps admises. Le boulet sera donc sollicité de parcourir dans la première portion de temps l’espace c1, dans la seconde l’espace 12... Mais comme le boulet descend en même temps perpendiculairement l’espace cI dans la première portion de temps; que dans la seconde il fournit trois fois l’espace cT; dans la troisième cinq fois cl, il faut qu'il se trouve, après les temps, 1,2,3,4...., dans les points d,e, f,g..…., ainsi ayant

ci cl = cl 0, clV— 10,

on trouve aisément

pour l'équation de sa route , ce qui est en même temps l'équation de la parabole apollonienne, conséqueimment sa voie, c, d,e, f,g, est une parabole ordinaire.

Ceci donne immédiatement la profondeur jusqu’à laquelle le boulet de canon doit descendre quand le temps de son vol est connu, ainsi que la direction du canon requise.

Soit donc OC (Pr. XIV, Jg. 7) la direction de l'axe du canon à partir de son orifice O jusqu'à e, le point central du but; O2 la partie de la parabole que parcourt ie boulet pour arriver jusqu’au plan acb traversant c; par conséquent, cb la hauteur perpendiculaire, dont descend le boulet durant son mouvement horizontal oc; aoc = boc sera l'angle d’élévation requis du canon. Si le temps qu’exige le boulet pour atteindre de O en c—ten secondes, on aura

ge = cb ; le temps de la chute perpendiculaire, quand g désigne l'intervalle de la chute pour une seconde.

Soit, par exemple , une seconde, le temps employé par un boulet pour atteindre le but qui se trouve à un éloignement de 200 pieds, on aura

5 ac = 15 pieds, et pour cela l’angle d’élévation du canon = 4° 18/. Si au contraire le boulet vole dans la moitié du temps jusqu’en e, on aura !

Je=().15pieds = 3,75 pieds; et l'angle d’élévation nécessaire pour cet effet — 2°9": d’où il découle, relativement à ce qui a été dit plus haut pour le coup de niveau, qu'avec des charges demeurant égales le boulet ne pent pas toucher le centre du but si ce but est rapproché de la moitié de sa distance primitive; biez lus, il faut que chaque boulet sortant d’un canon pour lequel on a déjà donné, pour la distance du coup de niveau, l'angle d'élévation requis, at-

tcigne le but au-dessous du centre, et au-dessus au cas

contraire, quand la distance est augmentée, comme le rend sensible la différence des espaces de et fe; ce qu’on pourra compenser en renforçant la charge dans le premier cas, et en Ja diminuant dans le second.

30. On a coutume de rendre cette loi sensible par une machine particulière appelée machine parabolique (P1. XIV, fig. 8). La pianche AC5D est découpée d’après une ligne courbe à volonté ABD ; on y introduit une rigole, et celle-ci, rendue aussi unie que possible, ou faite avec une substance causant peu de frottement, comme l'ivoire Si la cowbure est dans le sens de la ligne horizontale , et si on laisse rouler une lourde balle dans la rigole ABD , cette balle atteindra en D une vitesse qui appartient à la hauteur de chute AE. Applique-t-on au côté Dr une autre planche rectangulaire, Dour, sur laquelle est dessinée la demi-parabole DM du sommet Det du paramètre = 4AE, la balle tombera dans cette parabole.

Comme il est facile de suivre de l'œil la voie dela balle, et d’apercevoir quand elle se rencontre avec la ligne tracée, il est moins conforme au but d'employer des cercles pour laisser tomber la balle au travers. Si l’on prend sur le côté horizontal de la planche DN, Nn, nv, également grands, les ligues perpendiculaires NM, nm, vu, seront entre elles comme 1: 4:93; et, si lou prend Dr— AE, on a, d'après les propriétés de la parabole,

ru = 2ÂE; delàona DN=— Nn=—nv—=;%AE, Dp—;AE.

ce qui rend une telle machine facile à construire.

Si, pour l'expérience l’on se sert d’une balle de plomb, la résistance de l’air pourra être négligée.

31. Les déterminations que nous venons de douner sont considérablement modifiées par la résistance de l'air. Si nous supposons d’abord que la recherche ne porte que sur le mouvement horizontal du boulet et sur l'angle d’élévation dans lequel le canon doit ètre dirigé pour atteindre un objet qui se trouve dans Fhorizon, on peut en conclure aisément que cette résistance, relativement au mouvement perpendiculaire du boulet, et à sa chute libre pendant son mouvement, ne doit point être importante, et peut étre négligée comme si elle était nulle.

D'après cela , les intervalles parcourus Éne avec l’axe des ordonnées Cy (PL. XIV , fig. 2), resteront les mêmes; mais l'influence sur les intervalles parcourus parallèles avec l’axe des abscisses cx est très-grande, car, loin de rester égaux entre eux, ils diminueront de plus en plus, à cause de la résistance incessante de l’air; d’où il suit qu’ici la voie du boulet ne sera point une parabole ordinaire. Maïs , comme cette diminution des

espaces parallèles avec les abscisses parcourus daus dés temps égaux est une fonction de la résistance de l'air, il s’agit de connaître cette diminution exactement ; et on n'y esl point encore parvenu, comme on a pu le voir par tout ce que nous venons d’exposer.

Plusieurs géomètres, et parmi eux Borda, particulièrement, ont donné des formules d’après lesquelles on peut évaluer la diminution de la vitesse initiale, d’après une distance donnée du chemin parcouru.

De tous ces travaux, les plus estimables sont ceux de Hutton, qui, des résultats des expériences de Woolwich, a déduit une règle convenable pour la plupart des cas.

Soit généralement le diamètre du boulet — D, son poids — p, la vitesse initiale — v'; celle existant encore après l’espace parcouru = v, on aura, d’après la formule donnée pour le mouvement dans l'air,

Pl P — vdv Li 2gD? TRES nv Me RECU 7 2gD: X mv—n = DE X

ñ ÿ——, nm

dont l'intégrale est

me X log.nat.v — — + C;

la constante C étant déterminée en faisant

LT —0,e6t/ —# on a

Substituant les valeurs numériques trouvées plus haut pour netn, on aura

D— D log.nat. MALE PS

Pour réduire le coefficient

2gD?m à la quantité unique D, on a : 4, 3 onces, le poids d’une gueuse de fonte d’un pouce cube anglais, et, d’après cela,

ou , plus exactement, — ?D°; par conséquent, en liv., — 3 P=%% D".

Ainsi, substituant de plus la valeur de g en mesures anglaises, on aura

pre — — 581,25D ;

et, par suite

v'— 9231 TL —:001,20 D.log.nat.- RE

p—931 = 1338 D. log. vul. —— =.

T 19 op. vu FACE

Cette formule sert uniquement pour des vitesses audessus de 200 à 300 pieds parce qu'alors les valeurs »2 et x sont connues. Pour de plus petites vitesses, lou peut prendre la résistance comme proportionnelle au carré de Ja vitesse; mais il faudrait alors, dans la formule pour la résistance = as? , que le coefficient & fût découvert d’une manière plus certaine par des expériences.

32. Il est clair qu'on peut trouver, à l’aide de cette formule, l’espace parcouru par un boulet dont la vitesse initiale est donnée — 4", et la vitesse finale — v. Mais on peut demander encore à connaître une autre

quantité, savoir, le temps qu'un boulet mettra pour parcourir un certain espace avec une vitesse initiale

connue.

Soit s cet espace, nous aurons, d’après ce qui précède,

p'— 9531 = 1338D.log.—"3 d’où s A #9" — 931 1338.D By 23

Qu'un boulet de 24 livres, par exemple, d'un diamètre de 5,446 pouces anglais ait parcouru un espace — 1000

dont le nombre correspondant est 1,3635, nous avons donc

D'où v= 1361;

Ceci connu, on prend approximativement ia moyenne ürithmétique entre v et la vitesse initiale comme vitesse uniforme du-boulet; et on trouve, en divisant l'espace donné = s par la vitesse moyenne trouvée, le temps ten secondes presque exactement ; d’où l’on

peut déterminer la hauteur de la chute du corps lancé.

L'exemple suivant éclaircira cette règle,

{in lance un boulet de 24 livres, avec 6 livres de poudre, vers un but distant de rooo pieds, combien de temps mettra-t-il à descendre ?

La quantité de poudre, dans ce cas, est =; par conséquent, d’après le tableau ci-dessus, v'= 1131 pieds. De plus, 1131— 231 —goo; et, en faisant usage de Ja formule ci-dessus, nous avons

231=891= vla vitesse finale.

u v +v En 1011;

122 est presque = 1;

c’est-à-dire la vitesse moyenne ; par conséquent, 1 seconde est le temps du mouvement, et, par suite, la hauteur de la chute est de 16 pieds de Londres ou de 15 pieds de Paris.