ER

AB = 125000 pieds.

Bien que ces formules ne comportent point d’application pratique , elles répondent néanmoins encore aux deux questions suivantes qui y ont rapport . d’abord, dans quel angle faut-il qu’un canon soit incliné pour, avec une vitesse initiaie donnée, atteindre un objet à une distance donnée? Et secondement quelle doit être la vitesse initiale pour atteindre un obiet placé à une distance donnée, et avec un angle d’élévation donné du canon ?

L'on répond facilement aux deux questions à l’aide de la formule

re A3 sin 24 donnée plus haut , d’où l’on tire sin9æ — es et

+ / AB .2g

GE sin 2x Si l’on devait atteindre un objet à une distance de 10,000 pieds, et avec une vitesse initiale de 2000 pieds, il faudrait donc un angle d’élévation de °°

9" 2" ou de 87° 50° 55”

55", Si au contraire l'objet à attein-

dre étant à cette même distance, l'angle d’élévation

était de 45°, la vitesse initiale ne serait que 5477 pieds en une seconde,

35. Telle simple que soit la construction de la courbe que décrit un boulet lancé dans l’espace vide, aussi impossible est-il de la trouver tout-à-fait exactement, eu égard à la résistance que présente l’air, attendu que l'équation différentielle exigée ici n’est pas intégrale, d’après les moyens fournis jusqu’à présent par l'analyse. Il y a long-temps déjà que J. Bernouilli, Hermann et Taylor cherchèrent une solution générale de ce problème. Au nombre des recherches les plus savantes il faut ranger les observations de L. Euler sur l'ouvrage de Robins : Nouveaux principes d'artillerie, dans lesquelles il calcule la résistance d’après une loi propre adoptée. Graevenitz a, d'après cela, dressé des Tables pour l'usage pratique. Newton, qui trouva déjà que l’équation différentielle pour ces propositions n’était pas intégrable, chercha à la résoudre par approximation, et trouva par ce moyen que la courbe ressemble plus à une hyperbole qu'a une parabole, résultat auquel, d’après lui, sont revenus plusieurs autres géomètres. Lambert aussi chercha une solution de ce problème, et essaya d’en faire une application pratique à l'artillerie. I] faut compter parmi les recherches les plus importantes a ce sujet celles de Borda, qui tenta en même temps de découvrir, par des expériences particulières, la loi de la résistance de l'air. Par des calculs étendus, il trouva pour un boulet de 24 livres, d’un diamètre de 5,444 pouces de Paris, et un angle d’élévation du canon de 45°, les quantités suivantes :

Vitesse DisTANCEs Disraxces Havreurs initiale. dans le vide, dans l'air, atteintes. Pieds français Toises. Toises. Toises.

100 55 13 ‘ 200 221 53 400 883 170 6oo 1987 306 800 3532 442 1200 7947 635 1500 12417 839 1800 17981 975 2100 24338 1095 2400 31758 1203 2700 40232 1292 3000 49669 1407 3500 67605 1525

Dans une expérience avec un boulet de 24 livres, la charge étant de 16 livres, et l'angle d’élévation de 45°, le boulet parcourut une distance de 2250 toises, qui appartient, d'après la table, à une vitesse initiale de 2038 pieds.

Pour les angles d’élévation, qui appartiennent au jet

lezplus étendu, le calcul donne les valeurs suivantes :

ANGLES d'élévation.

VITESSE initiale.

Pieds francais,

(LED 2 I 2 SRE EE 2 D en | ce A Ce RE

300 ka? 10

Goo 36 30

Quelques expériences faites à Brest par Borda avec un boulet de 6 livres et une charge de 3 livres de poudre, donnèrent, à un angle d’élévation de 45°, une distance de 1590 toises, et pour 30°, 1700 toises.

La première distance, d’après la table, appartient à une vitesse initiale de 2050 pieds; et si, pour cette vitesse initiale, on cherche la distance, pour un angle d’élévation de 30°, on obtient 1715 toises, ce qui coïncide avec l'expérience, au-dessus de ce que l’on pouvait espérer, et prouve la certitude des formules de Borda.

36. Des recherches assez savantes, mais pas assez applicables à la pratique, et insuffisantes d’ailleurs sur le trajet du boulet au milieu de la résistance, ont été teutées par Bezout. Ces recherches, ainsi que les travaux faits auparavant par Euler et par Lambert, furent mises à profit par Kraft; il prit pour base le principe de Newton, d’une résistance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse, développa les formules trouvées par Bezout, mais non achevées par lui, et calcula des tables qui, malgré cela, sont toujours trop restreintes, pour l'usage pratique, ainsi qu'il l’avoue lui-même.

Plus tard, la question de balistique, proposée pour sujet du prix par l’Académie des sciences de Berlin, engagea Legendre à se livrer à de nouvelles recherches sur la courbe que doit décrire un corps lancé sous un angle d’inclinaison avec l'horizon, pris à volonté.

Pour une résistance proportionnelle au carré de la vitesse dans un milieu d’égale densité, il trouva que la courbe s’approche beaucoup d’une hyperbole qui a deux asymptotes : l’une dans un plus grand angle avec l'horizon, comme est l'angle d'inclinaison du canon; l'autre perpendiculaire. Le calcul étendu , par lequel on trouve les nombres isolés, rend malheureusement cette solution impraticable pour l'usage ordinaire, et Legendre l'avoue lui-même. On peut en dire autant de l’expérience qui teud à faire trouver les deux bras de cette courbe hyperbolique, lun s’élevant, l’autre s’abaissant, chacun isolément, par approximation, et il reste toujours à demander jusqu’à quel point les résultats de ces

recherches théoriques concorderaient avec l'expérience, tant de conditions diverses étant mises en avant.

37. T'empelhof s'occupa simultanément de ces recherches, et le plus amplement pour ce qui concerne la balistique; il essaya aussi de déterminer la courbe que décrivent des boulets et des bombes en tenant compte de la résistance de l'air, Kraft reprit de nou-

veau ce problème, principalement dans le butde trouver l'angle d’élévation du jet le plus étendu ; il pose la résis tance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse, et n'introduit qu'un coefficient pour les grandeurs des boulets, parce que, d’après Robins, la résistance avec de petits boulets a été trouvée moindre qu'avec les plus grands. Le calcul donne : que dans l’espace vide un angle d’élévation = 45° appartient à la plus grande étendue, mais que dans le milieu résistant, la grandeur de l’angle est en rapport inverse de la vitesse initiale, puisque , pour une vitesse infinie, il faudrait que cet angle devint = o. Pour la coustruction des tables de l'angle d’élévation du jet le plus étendu, il faut surtout connaître la loi de la résistance (qui est admise comme proportionnelle au carré de la vitesse, d’après Newton, Robins et Lambert); la vitesse initiale, le poids et le calibre du boulet ou de la bombe : Le calcul donne pour un boulet de 24 livres avec une vitesse initiale de 1884 pieds, dans l’espace vide, une portée de 113583 pieds, et dans l'air, seulement une portée de 14603 pieds; ce dernier nombre est encore trop grand, d’après ce que nous savons par l'expérience.

38. Moreau à publié ( Journal de l'Ecole polytechnique, cahier IT), un beau travail sur ce su jet. D'abord, par un calcul élégant, il établit la carrière du boulet dans le vide, montre qu’elle est une parabole, et qu’un angle d’élévation de 45° doit donner la plus grande distance du jet; chaque quantité, égale au-dessus ou au-dessous de ce nombre, donne des diminutions égales de chaque étendue du jet. Toutefois, il ne trouve pas non plus l’équation générale intégrable pour le trajet du boulet, en tenant compte de la résistance de l'air, et il la détermine par approximation dans ses parties isolées. Il remarque, en outre, que quand même on voudrait, d’après cette méthode, dresser des tables pour l'emploi pratique, la quantité principale nécessaire pour cela, ainsi que la vitesse initiale, éprouverait trop de modifications par la qualité inégale de la poudre, et beaucoup d’autres influences, pour pouvoir arriver à une conclusion certaine et rigoureuse.

Pour donner un exemple de l'emploi de ses formules, dans lesquelles il pose pour base l'hypothèse d’une résistance proportionnelle au carré de la vitesse, il trouve pour un boulet de 24 livres à uu angle d’élévation de 45°, la hauteur du jet—1668 ", 86; sa distance —3:08 w;

ja durée de l'élévation = 14" 94; celle de l’abaissement = 21” 03. Dans le vide, au contraire, on aura pour la hauteur du jet 5941", 4; la distance 23765 "6, et la durée du mouvement 97" 7.

39. Au milieu de toutes ces difficultés iasurmontables pour obtenir une solution complète du problème de la balistique, les meilleurs résultats, les plus applicables, se tirent des méthodes d’approximation de Hutton.

® Celui-ci aussi admet que le trajet du boulet est composé de deux branches hyperboliques différentes, AV, VC(Pz. XIV, fig. 9), avec des asymptotes ED, FG, dont l’une a une plus grande inclinaison vers l'horizon que le canon, et dont l’autre est perpendiculaire. D'après cela, l'angle d’élévation appartenant à la plus grande distance; ne pourra pas être — 45°; dernier appartient à la plus petite vitesse et au plus grand boulet, et il décroît insensiblement, à mesure

mais ce

que la vitesse augmente et que le boulet diminue, tandis que la résistance de l’air croît proportionnellement à cette dernière quantité. Il en résulte qu'une fixation exacte du jet le plus étendu ne rentre pas dans les limites de Panalyse. En attendant, on peut mettre à profit les découvertes suivantes, au moins par approximalion, faites par Newton, Robins, Euler, Robison.

40. D'abord, par les résultats des expériences expo: sées plus haut sur la résistance que rencontre un boulet d’une grosseur donnée , avec une vitesse donnée à travers atmosphère, on peut calculer par quelle vitesse finale —v; la résistance atteint son maximum, et quand le mouvement passera d’une vitesse accélérée à une vitesse uniforme. Appelons P Je poids du boulet de fer en livres, D son diamètre en pouces, V la vitesse finale, H la hauteur dont le boulet doit être tombé dans l’espace vide, pour atteindre cette vitesse; enfin T le temps de la chute libre à laquelle cette hauteur appartient; la table suivante donne un aperçu des valeurs qui se correspondent les unes aux autres.

E D v H TL

Les quantités P, D, Het T se donnent d'elles-mèmes

dans cette table, Quant à la quantité V, Hutton latrouve de la manière suivante, Avec un boulet d’un diamètre de 1,965 pouces anglais, le coefficient de la résistance dans la chute où la vitesse atteint son maximum, a été trouvé — 0,000016865. Si l’on pose maintenant la résistance comme proportionnelle au carré de la vitesse, on a 0000016865 V? — P. Mais le poids de ce boulet était 1,05 0,000016865 d’où l'on trouve V — 249.52. Le poids des boulets

— 1,05 livres, par conséquent V? — 2 ?

croissant comme le cube de leur diamètre, et la résistance comme le carré, l’on obtient pour un boulet d’un diamètre quelconque

Pour trouver, au moyen de cette table, l'angle d’élévation appartenant au plus grand jet, et l’étendue du jet elle-même, Hutton nous donne une autre table, où w : » désigne le quotient qu’on obtient en divisant la vitesse initiale par la vitesse finale, et 2 le facteur qui y appartient, par lequel la plus grande hauteur doit être multipliée pour obtenir

l'étendue du jet,

ANGLE D'ÉLÉVATION. m

0,6910 44,0 0,4110 0,944 43 15 0,0148 1,1980 42 30 0,9170 1,4515 41 45 1,0210 1,700 41 0 1,2244 1,9585 4o 15 1,4278 2,2120 39 30 1,021 2,4655 38 45 1,8346 2,7190 58 0 2,0379 2,972 57 LMIO 22419 3,2260 36 30 2,4447 3,4705 35 45 2,648 3,7330 39 o 2,8915 3,980 34 15 3,0549 4,2400 33490; 3,25593 44935 32 |45 3,4616 4,7470 92 0 3,6650 5,0000 PME 3,8684

A l'aide de ces tables on peut facilement, et par une simple interpollation, obtenir les quantités intermédiaires. Veut-on savoir, par exemple, à quel augle d’élévation un boulet de 24 livres, avec 1640 pieds de vitesse initiale, atteint la plus grande distance? La première table donne la vitesse finale d’un boulet de 24 livres = 419 pieds et la hauteur de la chute libre qui appartient à cette vitesse finale — 2729 pieds. Les deux vitesses divisées l’une par l'autre, daunent y" :

3,92 comme argument, lequel on

cherche dans la seconde table ; le nombre semblable le plus proche dans cette table indique l'angle d'élévation = 34° 15’. Si on le prend, sans interpollation, à cause du peu de différence, le facteur 3,0549 = m lui appartiendra; d’où 2729 X 3,0549 — 8336 pieds, est la plus grande distance du jet.

41. Il n’est pas sans intérêt de comparer à ceci les résultats obtenus, d’après Bezout, dans des expériences faites à La Fère en 1740 et 1741. Elles furent exécutées avec une pièce de 24, le boulet avait 5,1 pouces de diamètre, et elle était chargée avec 8,4 livres de poudre.

On obtint les résultats suivans :

AxGues | Disrances | Temps | Anczes | Disrances | Temrs d'élév. [en pieds fr.|en secondes] d'éev. |en pieds fr.|en secondes 52 5520 11706 | 32,80 10 7392 13098 | 34,00 15 9600 12348 | 34,00 20 10356 11556 | 36,00 25 10830 9986 | 43,50 30 10944 7410 | 46,00 35 11286 5394 | 48,75

On voit immediatement que les distances du jet obtenues ici sont bien différentes de celles que les calculs pourraient donner; mais on doit remarquer que les élémens de la dernière table, que Hutton emprunte à Robison , sont pris d'expériences faites avec de plus petits boulets, et qu’il existe de plus une foule de circonstances qui peuvent aisément produire des aberrations importantes.

Les distances trouvées par ces dernières expériences paraissent sans doute très-grandes , cependant les quantités obtenues ainsi par le calcul sont-elles encore vraisemblablement trop petites de beaucoup. Les expériences faites par Bezout avec les quantités que Borda avait calculées d’après ses formules, présentent plus de concordance.

Voici les résultats :