OU
quatrième degré de la solution préalable d’une équation du troisième. Il en est de même de toutes les autres.
II. Règle de Descartes. L’équation proposée étant privée de son second terme (voyez TRANSFORMATION),
ou ramenée à la forme
xi+pr+qr+r=o.
On peut la considérer comme formée par le produit de deux facteurs du second degré
a +ar+b, x + cx + d, les coefficiens &, b, c, d étant des quantités que la condition d'égalité ai + pr gx res (a+ ax +b)(x*+ ox + d)
va nous servir à déterminer, Effectuant la multiplication indiquée, nous avons
a+ pr? Lg kr 2i + ax + br?
+ cx5 + acx* + bcx + dx? + adx + bd,
Ce qui donne les équations de conditions
a+c—=o b+ac+d=p bc + ad = q bd=r.
La première donne c — — a; substitugnt — a, à la place de c, dans les deux suivantes elles deviennent
b—a+d=p ad — ab = q.
Multipliant la première par &, et l’ajoutant ensuite à la seconde on obtient
2ad — a = pa + q, d’où l’on tire 4 S+ra+g = = ;
Cette valeur de d étant substituée dans la dernière équation de condition, elle donne
2 der NETET
Enfin substituant ces valeurs de à et de d dans l’équation ad — ab — q, on trouve définitivement
4 ai. opai + pa — q—4r = 0.
Cette équation, qui se nomme la réduite, quoique étant du sixième degré, peut se résoudre comme celles du troisième. (’oyez ABalsseMENT. ) On peut donc considérer la valeur de & conime connue. Mais les deux facteurs du second degré, en y substituant à la place de a L,ce, d les valeurs de ces quantités, deviennent
LR ET 7e & HP
ie m—artie+iptT= 0.
BI
ue ait donc plus que de résoudre ces deux équations du second degré pour obtenir les quatre racines de la proposée. Ces racines sont :
ERHS 1 \/: 2r L=—s;0— 3 — & + p +1 r=+sat\/ Zi ip F F q
IT. Règle d'Euler. Si l’on remarque que la résolution d'une équation du second degré se réduit à prendre la racine carrée d’une certaine fonction de ses coefficiens, et que celle d’une équation du troisième degré se réduit également à prendre la racine troisième de deux fonctions de ses coefficiens, l’analogie porterait à conclure que la résolution d’une équation du quatrième degré doit pouvoir se ramener à l'extraction de la racine quatrième de trois fonctions semblables de ses coefficiens, c'est-à-dire que la forme d’une des racines de cette équation doit être
5 î 4 VM+VN+VO, M, N, O étant trois fonctions des coefficiens de l’équation.
Mais en observant que l'extraction d’une racine quatrième peut s'effectuer par deux extractions successives de racines secondes, nous pourrons donner aux racines de l'équation du quatrième degré la forme plus simple (a)
2 2 2 x=Va+Ve+Ve, @, æ', ?” étant les fonctions des coefficiens p, g, r de l'équation générale
LT — pr — QE —r = 0.
Pour déterminer ces fonctions , élevons d’abord l’égalité (a) à la seconde puissance, nous aurons a=g+9 +9 +oV/99 +aV/99" +a1/99", ou
2 — À =a/p9 + 209" + 21/98", en faisant A — @ + @' + Ÿ”.
Élevant encore cette dernière égalité à la seconde
puissance, nous aurons xi—0Ax + A° = 499 +499" +499" +
+8 V#999"+8V9"29" +849", faisant 9’ + 69" + 99” —B,et #9?" = C, nous
BI L ponrrons ramener cette expression à la forme
2x4 — 2Ax° + À? — 4B + 8xV/C à cause de V/® + V9 + V/9"= x.
Nous avons donc l'équation æ4 — 9Axt — 8V/C.x + A1—4B—=0o
qui doit être identique avec la proposée; ce qui nous donne les équations de condition
P — 2À q = 8VC r — {4 — A!
desquelles on tire (2) ÀA=:3p PARTIS G= CE À Mais puisqu'on a g+? +9 =A g9 + 99" +9e —=B gb?" = 0,
il est évident que les quantités 9, ®', ®” sont les trois racines de l’équation du troisième degré. Voyez Équa- TIONS.
—Ar Er 6 =0
Ainsi les coëfficiens de cetté équation étant donnés par les égalités (b), on peut regarder commé connues les quantités @, ®’, ®’. Une des racines de l'équation proposée sera donc
Zz=VE+VE + Va".
Cétte formule renferme nécéssairement les quatre racinés demandées à cause dés différens signes qu’on péut donner aux radicaux; bien plus, on pourrait croire qu’elle peut mêmé donner huit valeurs différentes pour x; mais il faut observer que V/#6'9” doit être égale à vC — d5 donc si . est une quantité postive, le produit des quantités \/9, V/?', V/®" doit être positif, et il ést par conséquent nécessaire dans ce cas de prendre les trois radicaux avéc le signe +, ou bieu deux avéc lé signe —; les valeurs de æ sont donc alors (1)
z= VR+Ve +Ve x=. Ve—Ve — Ve = —Ve+Vr — Ve" T=—Ve—Ve + ve.
si { ést une quantité négative les valeurs de x seront
les suivantes : (2)
BI 934 x= Ve+Ve' — Ve z= Ve—Ve +Ve" t=—-VR+Vg +Ve" x=—\/p—Vg —V?.
Pour donner un exemple de l'application de ces foriules , soit
ai = 25x? Æ Gox = 36 = o
une équation du quatrième degré, sans second terme ; en comparant avec l’équation générale on a
Substituänt ces Valeurs dans les égalités (b) on trouve À #25 = 150 La réduite du troisième degré est donc r° À 4 18 — =, afin d’éliminer les fractions faisons y = 7 et ; Substi-
tuant, nous aurons après les réductions 25 — 5oz? + 769: — 3600 = 0.
Cétte équation ayant uné racine 4 = 9, divisons-la par z— 9,il vient Z — 13 + 400 — 0, équation du sécond degré dont les racines sont z = 16 et z — 25. Ces trois valeurs mises dans y = £
donnent pour les trois racities de la réduite les quantités
5 25 9, 4 et ER nous ayons donc @ — 9 p=4etp" =; ä 4 4 Â
nous
15 rs , — —, ainsi, d’après les for-
mais V/?9'?" = J =
mules (2) les racines de l'équation proposée sont :
re ns DE 1 fe dieiee ee L = phares 1 e Ze — -— HODOUC À = 27: 2 D demo sectes z=—)+i+= Fi e 3 5 A eee mt piera ie Die ie 2 ee 6.
Nous ne nous sommes point arrêtés à prouver que, dans les deux méthodes précédentes, comme daus cette der-
