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Dans le cas de »2 fractionnaire, on trouve également

(a-+bÿ — =az “[° KE + p? 2 + Bb E D Hd |

+ P(P—9)(P pe UP + ae]

y db?

roy Ath La —

& q a g:1.2 @ __np+g)(p+2q) b

PA RE TIC a + ete. |

Quand b est négatif, il faut changer les signes des termes qui contiennent des puissances impaires de b dans ces deux dernières expressions. #oy. ExTrAGTION Des

RACINES. BiNOME DES FACTORIELLES. Xramp et Æ#rbogast ont

donné le nom de factorielle au produit des termes d’une progression arithmétique, tel que

que Vandermonde ; auquel on doit la découverte de ces

etc,

fonctions très-importantes (voy. Mém. de l'Ac. des se., 1772) , avait désigné sous celui de puissances du second ordre. Nous adopterons ici la dénomination de Kramp ainsi que sa notation, plus commode que celle de Vandérmonde , et surtout beaucoup plus simple que celle que Legendre, on ne sait trop pourquoi, a voulu lui

substituer. Nous poserons donc

arr = a(a+r) (a4-2r) (a43r). ... (a{m—i}r).

Voy. l'article FactTorIELLE.

Nous aurons ainsi alr=a æV = a(a+r) aÿlr = a{a+r) (ar) air = a(a+r) (a+-2r) (a4-3r) etc, etc.

Sans entrer ici dans des détails qui se trouveront autre part, nous allons exposer le théorème principal des factorielles, qui est : L

La factorielle à base binome(a#b}"\", a pour développement l'expression

an pm am—irbife E ei): am—21rb}r

n(m— ra

m(m—1)\m—2) dre NET b | + etc.

Les coefficiens sont les mêmes que ceux du binome de Newton, et la loi des termes est évidente. Vandermonde, à qui nous devons ce théorème, ne l'a envisagé que dans le cas particulier de r= — 1, Kramp, qui l’a reproduit ensuite, sans faire mention de Vandermonde, l'a traité dans toute sa généralité, mais il ne l’a présenté que sous la forme d'un problème; et rien ne légitime la supposition dont il part. (Foy. Kramp, Arith. univ., page 358.) Nous allons essayer ici de suppléer à ces démonstrations.

D'après la nature des factorielles, quel que. soit l’exposant m, entier ou fractionnaire , positif ou négatif, on a

am = (a+ (m—i)r). ami = (a—r)am—ilr mr ant = (a—ryrlr om ran—ilr Faisant a—a—br, on obtient (1) (a+ anlr À mr (abr)n-itr, Mas, en vertu de cette dernière expression , on a aussi | (a+nmilr = gite Æ (m—i)r(atnn2lr (a-Hnn—2tr = am—2lr (m—o) r(a+-r)e sfr (a+ = am—5lr Æ (m3) n(a4-rr—4lr

(a+r)m-lr = an—b|r + (m—u) r(a+r)nk—ilr

Ainsi, substituant chacune de ces expressions dans la précédente, on obtiendra

(a—brpnir = antr om am—itr.rm(m—i)amalr re

+ m(m—i) (m—2)ar-sir.r + etc...

+ mm—i)(m—2).. (mn) (a+) tt,

#2 étant un nombre entier positif quelconque, si on le fait égal à m, on a, lorsque mn est lui-même entier vositif,

D'où il suit que, dans le cas de » entier positif, le développement précédent n’a que m1 termes, et que le dernier terme est m(m—i)(m—2)...(m—p+4i)r(atrm-mlr, ou simplement m(m—i)(m—a)...3.2.17,

à cause de

(a+r}mir = (atr)lr = 0.

Dans le cas de toute autre valeur de », ce développement prend un nombre indéfini de termes. On a donc en général (p)

(a+rÿri = ant + mam—\rr + m(m—i)an—2\rr 4 H m(m—1)(m—o2)an—sir, ri etc.

Cela posé, si l’on fait dans cette dernière expression a=a+r, elle.devient

(a+orÿtr = (a+r)rl Æ m(a+r)r -11r,r3 Æ + m(m—i)(a+r}—2ir 78 Æ etc.

Développant (a+rÿrir, (a4-r}—1lr, etc. par la même loi (p) on obtient (a+arÿtr = ant + man—iir,rbm(m—i)ar-2 rer, + me am ir m(m—i)an 1 re +.

+ m(m—i)an-slr re.

ne.

et, par couséquent, (a+2r) = ant om amie, + 3 m(m—) as L + 4m) (m—o2)an-sir.rs + etc.

Faisant ercore dans cette dernière expression 4=#+ r, et opérant comme ci-dessus, on a

(a+3r)" Ca L man—tirer He m(m—i)am-sir,. rm +. +aman—tir.rbom(m—i)an—2lr,r+..

+m(m—i)an-2 rm.

et, en additionnant, (a+3rÿrir= ant + Sman—i\r LL 6 m(m—1)am—21r,r 4 +i5m(m—iXm—o)an-sir, 3 Æ ete.

En suivant la même marche , on trouverait encore

(a+ rpl = amie & fm ami LE 10 mm— 1)am—2ir, pe + 20m (m—i)(m—o2)an- 517,73 L etc.

Or, en examinant la formation des coefficiens numé-

riques, on reconnait facilement que ceux de {a+44r)

BI sont donnés par la somme de ceux de (a+3r), et ces

derniers par la somme de ceux de (a+ ar) lesquels forment la suite des nombres naturels.

1512 ,192:40 10,0 O1, 10:21etc:

Ces cocfficiens sont donc les nombres figurés ( Foy. ce mot) des divers ordres ; et comme en substituant toujours successivement a4-r à la place de a dans chaque nouveau développement, les coefficiens numériques seront nécessairement des nombres figurés d’un ordre de plus en plus élevé, il est évident que les coefficiens numériques de (a+-nr)"i" seront

Con MH) mabiins) EE EE DE T:2.3110 000

ou qu’on a en général (a+nrÿlr = ar LE nm ami +

+ m{m— 1)am—t|r,r + nn) (ne)

| is —

m(m—i)(m—92) ar-5lr,.r Æ etc...

Or, le terme général de cette suite est, en désignant par v le rang des termes,

LE NEeee (3) DCE

(n—v+2)an-v+tlr pes,

Mais on a n(n+41)n+2)\n+43)...(n+v—s)= nt, et de plus (voy. FAcTORIELLE), a À (0 3 ur On peut donc donner à ce terme général la forme

an—v+ir, (ar)—ilr,

Ainsi, faisant nr = b, on a définitivement

(aHb}ntr= ar om ami, ER an—2lr, btir m(m—1)\m—2)

am—slr, s|r os NE SR bslr L etc

n étant nécessairement un nombre entier, cette démonstration n’est entièrement rigoureuse que lorsque & est un multiple exact de r; mais nous déduirons autre part ce binome en laissant les quantités a, b, m,r, dans toute leur généralité, Nous devons seulement faire remarquer ici qu’en faisant r infiniment petit et » iufiviment grand, on a toujours pour b un nombre fini; et conune dans ce cas la factorielle générale a”l” se réduit

à la simple puissance a” , la formule ci-dessus se réduit aussi à celle de Newton (V’oy. Bixomx ne Newrow), qui se trouve par là démontrée pour toutes les valeurs de

. l'exposant.

BIQUADRATIQUE { 4lg.). Nom donné par les anciens algébristes à la quatrième puissance d'une quantité. Ainsi 16 est la biguadratique puissance de 2, parce

"que 24 = 16.

ÉQUATION BIQUADRATIQUE. C’est une équation du quatrième degré, ou dans laquelle la quantité inconnue est élevée à la quatrième puissance, La forme générale de ces équations est

æi + Axi + Br? + Cr + D —o,

dans laquelle À, B, C, D sont des quantités quelconques positives, négatives ou zéro.

La résolution générale des équations du quatrième degré fut trouvée en premier lieu par Louis Ferrari, élève de Cardan, ainsi que ce dernier nous l’apprend dans son Arte magna, publiée en 1540. Bombelli, en 1574, décrivit, dans son Algèbre, la règle de Ferrari, avec quelques développemevus, et pendant long-temps il en fut cru l'inventeur. Depuis, Descartes parvint au même résultat en suivant une marche nouvelle, et ensuite plusieurs autres méthodes furent données par #aring, Euler, Simpson, ete., etc. Mais quelque différens que puissent paraître les procédés de ces mathématiciens, ils conduisent au même but, sont, en principe, esssntiellement les mêmes, et donnent une même forme aux racines de l'équation.

1. Méthode de Ferrari, nommée improprement règle de Bombelli. Soit l'équation générale du quatiiime degré,

xt + ax LE bx? + cx + d = 0.

Supposons cette équation identique avec (a +5 ar + p)?—(qe+r)? = 0,

p,getr étant des quantités inconnues qui vost être déterminées par cette supposition.

En effet, on a, en développant les puissances,

(A +s ar +p}= xt + ax + £a x + apx +p° + 2p x?

— jf XL —2q4rL— 7,

— (gx + r)

Or, en comparant avec la proposée il faut, pour que ces expressions soient identiques, que les coefficiens des

mêmes puissances de + soient les mêmes ; on a donc

«a $®—Hop— gp —=b ap—%qr = c

st p+r-d.

Au moyen de ces équations les valeurs de P; ger peuvent être facilement obtenues. On en tire d’'a-

équation du troisième degré qui ne contient plus que P; ainsi on peut considérer cette quantité comme étant entièrement connue. Mais p étant connu, la valeur de 4 donnée par la seconde équation,

qg=VG + 2p—b) et celle der, donnée par la troisième

Le Gp C

r — EVA

se trouvent déterminées.

Les quantités p, g, r étant ainsi trouvées on en obtient immédiatement les quatre valeurs de x de l'équation proposée; car cette équation est alors effectivement identique avec

(2 +rac+p}— (gx +r} =o, qui donne Ce + ia +p} = (gx +ry.

Prenant la racine seconde des deux membres, nous avons

m+rar+p=t(gz+r),

d’où l’on tire, à cause du double signe Æ, les deux égalités

æ'+(sa—qg)z=r—p C+(ra+q)zx=p—r.

Équations du second degré dont les racines

4 / [CET 4e] Aie Et [CE] ie /[ (EE) er]

sont les quatre racines demandées. On voit que cette méthode fait dépendre la solution de l'équation du

ZX =