COST

on tire sine — VAT A?

in?z = 1 — 05 PRIT: :

ou Z£ D #1

sin?z — pee “A+:

et enfin B SZ = — = —— VA +B:

L'expression (c) devient donc VB" |cosz+ sinzl/—1], 3

et l’on a conséquemment

3 Gé =

VIA+By —1] = VA +B [cosz-sinzy/—1}, On obtiendrait de même 3 6

VIA+ByV —1]= VASHB[cosz—sinz|/—1 8.

Ces valeurs substituées dans (2) donnent (4)

GC} —— T= 2V/AHB.cosiz, en observant que (voy. Sinus)

(cosz

sinz/—1)

Pour rapporter cette dernière valeur de x aux racines

(a), nous avons

ser (45]

étant négatif et plus grand que ee dans la dernière

égalité. Or,

nous avons donc

Substituaut ces valeurs de À et de B dans (d), nous obtiendrons définitivement (e)

T—=2 cosiz.V/P.

L’arc z étant donné par la relation (f)

Telle est donc l'expression générale et réelle d’une des racines de l’équation

T'—pr+q=e p°

lorsque À ; C'est-à-dire dans le cas irréductible.

Les deux autres racines se produisent également sous une forme à la fois réelle et finie; mais sans entrer dans des calculs qui du reste n’offrent aucune difficulté, contentons-nous de faire observer que la formule (e) renferme déja implicitement les trois racines par les valeurs différentes de z, que donne la relation (f). En effet, » étant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1, les arcs z, 252, 442, Go+z, etc. tous le même cosinus (voy. Sinus). Ainsi, on peut

., ont

prendre indifféremment le tiers d’un de ces arcs pour le substituer dans (a); mais, à cause de la périodicité des valeurs des sinus et des cosinus, il n’y a que les trois arcs

É kHz 38 3 Siroil

qui donnent des valeurs différentes pour leurs cosinus, tous les autres se réduisent à ces trois derniers. Or,

2 360° +2 3 nn 100 °HLz et z 720°—Lz : He = <+— = = 240°—2z.

Les trois valeurs de x, ou les trois racines de l’équation a—px+q=0 sont donc