x——AM—ASNy
Ges racines sont donc également réelles.
Il est donc prouvé que lorsque p est négatif et que : lon à
les trois racines sont réelles, et que malgré la forme imaginaire sous laquelle elles apparaissent on peut les développer en séries; mais ces séries, par leur complication de quantités irrationnelles, n’offrant qu’un moyen insuffisant pour arriver à l'évaluation des racines, il faut avoir recours à d’autres procédés (Foy. ArproxI- MATION , ÉQuarIoNSs, RAGINES CoMMENSURABLES). C’est ainsi qu’en appliquant la méthode des racines commensurables à l'équation
on obtient, pour les trois valeurs de x, =, 425
276 En
x—-3; tandis que, par les formules ci-dessus, la plus simple de ces racines est
it
z=— vs [its +], série si peu convergente ; qu'un très-grand nombre de termes ne peut faire soupçonner sa véritable valeur.
La difficulté du cas irréductible se présenta bientôt à Cardan, lorsque Tartalea lui eut communiqué sa méthode pour résoudre les équations cubiques. Dans une lettre adressée à ce dernier le 4 août 1539, Cardan lui annonce que la méthode est en défaut pour l'équation x—o9x— 10 —0, et demande des explications à ce sujet. Dans sa réponse, loin d'aborder la question, Tartalea s'étend en récriminations sur la conduite de Cardan, qui allait à cette époque rendre public ce qui lui avait été confié sous le secret ; il se contente de lui dire qu'il n’a pas su employer la formule ; et qu’elle est rigoureuse dans tous les cas. Mais Tartalea n’était pas capable de lever une difficulté demeurée insurmontable aux plus grands géomètres.
L'emploi des fonctions trigonométriques fait disparaître les quantités imaginaires des racines (a) dans le
cas irréductible ; et ces fonctions présentent ainsi le
moyen le plus prompt et le plus direct pour résoudre les équations du troisième degré. C’est ce que nous allons développer : reprenons la racine (b)
PNA TEE LAS),
à la quantité
et remarquons que nous pouvons donner A+By —1 la forme (c) —. A a VAT VA+B'VA+FE
ce qui est évident.
vi} :
Mais A et B étant des quantités réelles, |/A°ÆB7 est ; A plus grand que À; et, par conséquent, Var B VA +B.
VAR est le cosinus
d’un arc inconnu z, puisqu'en prenant le rayon pour
plus petit que l'unité. Il en est de même de
On peut donc supposer que
unité, les cosinus peuvent avoir toutes les valeurs comprises entre o et 1. Or, de l'égalité
