partie supérieure de l'instrument

et ensuite on abaissait sur chaque ligue, à la partie inférieure, un nombre de boules égal aux unités,

de l’ordre de ces lignes. Ainsi, par

exemple, pour écrire le nombre

3564 on abaissait 4 boules à La partie

inférieure de la première ligne, 6 à celle de la seconde, 5 à celle de Ja troisième ct 3 à celle de la quatrième. Le nombre 3564 se trouvait ainsi représenté comme il l'est dans la figure (1) ci-contre.

Ce nombre étant écrit, s’agissait-il de lui ajouter ua autre nombre 53529; on commençait par abaisser 9 boules de la partie supéricure de la première ligne à la partie inférieure ; et comme, dans le cas présent, il n'en restait que G, après avoir abaissé ces 6 boules, on relevait les 10 à la partie supéricure, en abaissant une boule, pour cette dixaine, à la seconde colonne, et on achevait l'opération , sur la première, en abaissant 5 boules pour compléter les 9 qu'il s'agissait d’abaisser, Passant à la seconde colonne, on abaissait 2 boules pour le chiffre 2 des dixaines du nombre 53329. Arrivé à la troisième colonne, on abaissait d’abord les à boules restantes, ensuite on remontait le tout, en abaissant, pour la dixeine, une boule de la quatrième colonne et on redescendait 2 boules à latroisième colonne pour compléter le chiffre 7. Passant à la quatrième colonne, on abaissait 3 boules pour le chiffre 3 des mille et enfin ou abaissait 5 boules à la cinquième colonne pour le chiffre 5 des dixaines de mille. L'apparence finale de l’abacus

était, après cette opération, celle de la figure 2, et le nombre 55293 quis’y trouve écrit, à la partieinférieure, est la somme des deux nombres 3564 et 53529. Pour ajouter un nouveau nombre à 55293 on agirait de la même manière et ainsi de suite. On voit donc qu’a l’aide de cet instrument les additions des nombres peuvent s'effectuer avecla plus grande facilité ; il en estde même des soustractions, qu’on peut exécuter par une marche

inverse de celle que nous venons de décrire.

L'abacus abandonné par toutes les nations européennes se trouve encore en Chine et dans quelques parties des Indes.

Agacus de Pythagore. Table pour faciliter les calculs. C'était probablement une table de multiplication semblable à celle que nous avons encore et qui porte lenom de Pythagore.

ABAISSEMENT (4/gèbre). On appelle abaissement d’une équation la réduction de cette équation à un degré inférieur. Par exemple, l'équation du sixième degré x$ + pas + q = 0 s’abaisse au second en feisant xŸ— y, car alors on a y? = x et en substituant ces valeurs de x?, x° dans l'équation, elle devient y? + py + q = 0. En général, une équation de la forme x + p æ"—+ q —o peut toujours s’abaisser au second degré en y faisant x" = y ; et une équation du degré mn et de la forme

112 nm

æ is À x de A;x etc... An1x H A;=0o s'abaisse au degré » par la substitution d’une nouvelle inconnue ÿ = x". |

En géométrie on dit abaisser une perpendiculaire d’un point sur une ligne ou sur une surface, et dans ce cas, ce mot abaisser signifie mener.

ABaissemENT de l'horizon sensible. Vovez Horizon.

Awaissement des planètes par l'effet de la parallaxe (Astr.) Voyez ParaLLaxe.

ABaAIssEMENT d’un astre sousl’horizon. (4str.)Ilest mesuré par l’arc du cercle vertical, compris entre Pastre et

horizon. f’oyez VErricar.

ABEILLE (45tr.). Constellation méridionale, nommée aussi mouche indienne ; elle n’est point visible en Europe. De toutes les étoiles qui la composent, les trois plus remarquables ne sont que de la quatrième grandeur.

ABENEZRA (Astr.Ÿ. Nom arabe de l'étoile de la première grandeur, parmi les hyades qui font partie de la constellation du Taureau; ce nom signifie la grande étoile, la principale étoile. Les Grecs l'appelaient Lampadias où Hypochiros. Les Latins Palilicium ou Parilicium et Subrufa. Elle est connue aussi sous la dénomination d'œil-du-taureau et plus généralement sous le nom d’Aldeboran. On croit aussi que cette belle étoile est Je génie Taschter des Indiens, qui préside à l’éani-

AB

noxe du printemps. Elle est située fort près des Pléiades, sur la ligne menée de l’épaule occidentale d’Orion.

ABERRATION (4str.). Mouvement apparent des corps célestes causé par la combinaison du mouvement de la iumière avec celui de la terre autour du soleil, Le changementde position qui résulte pour les étoiles fixes de ce mouvement est si petit que les astronomes anciens ne s’en étaient point apercus; et quoiqu'il soit un produit nécessaire de deux causes connues, au moment de sa découverte il w’ayait point été entrevu par la théorie lorsqu'il fut annoncé au monde savant en 1728. C’est au célèbre astronome anglais Bradley qu’on doit cette importante découverte dont il a exposé lui-même l’histoire dans le numéro 406 des Transactions Philosophiques. Il y fut conduit accidentellement par plusieurs observations faites avec un soin éxtrême, À l’aide d’instrumens à grandes dimensions, et entreprises dans le but de détesniner la parallaxe annuelle des étoiles fixes. (F’oyez PARALLAXE. )

Le phénomène de l’aberration peut être conçu de la manière suivante :

Soit À une étoile, dont une molécule lumineuse parcourt la distance AB qui la sépare de la terre dans un temps quelconque. Si cette molécule rencontre au point m le centre de l’ouverture su-

; D 1A Le périeure d'un tube creux ou Q d’un télescope z2c incliné par rapport à BA; la molécule lumireuse , si le tube est immobile, ira frapper sa surface intérieure, elle sera conséquemment absorbée ou réfléchie, ct ne parviendra pas en c à l'œil de

l'observateur. Muis si l’on sup-

Bic c2c

pose que le tube soit transporté parallèlement à lui-même decen B, et cela, dans le même temps que la molécule lumineuse parcourra la distance »B, il est évident que cette molécule descendra librement le long de l’axe du tube, se trouvant en o lorsque le tube est en 72" c', en o' lorsque le tube est en m"c" ct enfin parvenant en B, à l’œil de l'observateur lorsque le tube arrive dans la position »2'"B. Aïnsi la lumière, tout en suivant la route #4B, se sera toujours trouvée dans l’axe du tube, et l'observateur qui renvoie l'image de l’objet dans la direction BD, où il la reçoit verra l'étoile en D et uon en A. La différence qu'il y a entre la véritable place et le lieu apparent de l'étoile ou l'angle ABD, constitue l’aberration. T7

Or, dansle triangle 2Bc on a la proportion (TricoxomÈTRIE) CB : By : : sinus Brnc : sinus Bcm d’où l’on tire

sin Bric = sin Bem.

AB

Mais dans la construction de notre figure, nous avons supposé que la distance <B était parcourue par la terre dans le même temps que la lumière parcourait la distance »B, ces distances sont entr’elles comme la vitesse de la terre est à celle de la lumière, on a par conséquent cB Bra — vitessede la lumière

vitesse de la terre , et comme l'angle Bye est

égal à l’angle d’aberration ABD on a aussi vitesse de la terre.

sinus aberration=sin Bern. — — -— vitesse delalumière,

Si l’on désigne par 1 la vitesse de la terre dans un temps donné celle de la lumière est à peu près 10168 dans le même temps, nous avons donc encore (a).

sinus aberration — sin Bem.

Il suit de l'expression (a) que l’aberration est la plus grande possible lorsque l'angle BCyra est droit, car alors sin Bern — sin go° — 1. Mais dans ce cas (a) devient

sinus aberration = 7335 = Sin 20”,

ainsi la plus grande aberration est de 20” ou pour plus d’exactitude de 20”,253, ce qui résulte d’âilleurs des observations. Le mouvement de la terre autour du s0leil se trouve donc confirmé par l’expérience, et ne peut plus étre mis en doute.

La théorie de l’aberration s'explique d’une manière

des forces.

plus rationnelle par le parallélogramme { Pôyez Comprosrriox des forces. } En effet, soit À une particule lumineuse rencontrant er O avec une vitesse repré:

sentéé par la ligne AO pour un temps T; l'œil de l'observateur mu de C en Bavéé une vitesse représentée par la ligne CO,

pour lé même temps T. Or le choc en O

rénverrait le rayon lumineux suivant la B 0 € direction OA , en vertu de la seule vitesse AO, et suivant la direction OB, en vertu de la seule vitesse CO. I en résulte donc une direction mixte OD suivant la diagonile du parallélegramme ADBO construit sur AO et OB = CO et l'observateur verra l’étoileen D et non en A. L'angle d’aberration AOD sera donné, dans le triangle BOD par la proportion sin BDO — sin AOD : sin BOD : : BO : BD — AO d’où l'on tirera comme ci-dessus

sin aberration — sin BOD. sin (20”, 253)

L'aberration varie avec l'angle BOD depuis son maximum 20,253 jusqu'à 0, ce qui arrive lorsque OD devenant taigente à l'orbite de la terre, l'angle BOD est nul, Son effet général est de porter toujours l'étoile en avant, daus le sens et dns le plen où la terre se meut, ce qui paraît lui faire décrire une petite ellipse dont le grand axe est de 40”,50 et dont le petit axe varie suivant Ja latitude de l'étoile, Ce petit axe est nul pour les étoiles

situées à l’écliptique; dans ce cas l'étoile paraît osciller sur une ligne droite.

Plusieurs auteurs ont écrit sur laberration après Bradley. Parmi cux uovs citerons Clairaut (qui a donné, Mémoires de l'Académie des sciences 17357, les formules pour calculer l'effet de l'aberration sur les latitude, longitude, ascension droite et déclinaison des ästres); ThomasSimpson, Manfredi, Frisiet Fontaine Descrutés. Euler a traité cette question avec sa supériorité accoutumée dans les Mérmorres de Berlin 1546 tome 2. Delambre a calculé des tables d’'aberration pour toutes les planètes. Voyez les détails dans son Traité d' Astronomie. “Les aberrations en longitude et latitude sont données, pour les étoiles fixes, par les deux formules suivantes, démontrées par Falande (Æ4stronomie, 2846, 2853) avec autant de facilité que de clarté.

Soient ? la longitude d’une étoile, s la longitude du soleil, on a

20,253. cos()=— 5) aber. long. = — \

cos. lat.

aber. lat, — 90",253. sin (15). sin ar.

A l’aide de ces équations, on obtient facilement, pour les changemens produits par l'aberration sur l'ascension droite et la déclinaison des étoiles fixes, les deux expressions :

cos (i—s}cos p + sin ()—5)sinp. sin lat.

COS dl.

N=—— 207,253 [cos ()—s) sin p — sin (}—s) cos p. sinlut.| MT désignant laberration en ascension droite, et N l’aberration en déclinaison; p étant l'angle de position, et d la déclinaison.

Lorsque la déclinaison est australe, on change les signes des deux termes du second membre de la seconde équation.

I existe d’autres formules qu'on trouvera dans les traités d'astronomie.

AgennarTion des planètes. L'aberration doit avoir également lieu pour les planètes comme pour les étoiles fixes; et c’est en effet ce que l’observation confirme. Quoiqu’elle soit alors le résultat de trois mouvemens différens, elle est beaucoup plus simple à calculer que celle des étoiles fixes.

Soit P une planète se mouvant avec la vitesse Pp dans un temps T, et soit PD la vitesse d’un rayon lumineux dans le même temps. Ce rayon, participant des deux vitesses Pp et PD, arriverait par la diagonale PB à la terre, si on la supposait immobile en B; et l'observateur placé au point B verrait la planète en P, lorsqu'elle est arrivée en p. Mais supposons que pendant le même temps T la terre vienne de M en B avec la vitesse BM, elle rencontrera le rayon Iumineux en B, et la vitesse PB du rayon, combinée avec celle de la terre, BC— BM,

produira une sensation composée suivant la diagonale

Ln

qui est égal au mouvement de la

Bp' du parallélogramme p'PBC, construit sur les viteses BC et PB. Ainsi, l'observateur verra la planète en p'etse trompera

conséquemment de l'angle p'Bp,

planète, plus le mouvement de la

terre. Si le mouvement de la pla-

nète s’effectuait dans le même sens \] que celui de la terre, on aurait la D © B M

différence au lieu de la somme des mouvemens. Dans

tous les cas, l’aberration est égale au mouvement relatif.

On aurait encore le même résultat en transportant à la planète, en sens contraire, le mouvement de la terre allant de M en B; car, en considérant la terre comme immobile en B, et supposant, pour remplacer son mouvement, que la planète va de p'en P, le mouvement total p'p sera l’aberration. Mais ce mouvement total n'est autre chose que le mouvement géocentrique de la planète, c'est-à-dire son mouvement apparent de translation autour de la terre, qui se croit immobile.

Soit donc m1 le mouvement géocentrique d’une planète pendant une seconde de temps, d sa distance à la terre , et v la vitesse de la lumière pendant une seconde de temps, dv sera le temps que la lumière mettra à venir de la planète à la terre, et conséquemment, r29v le mouvement géocentrique de la planète dans le temps dv. Nous aurons donc

aberration = r7dv:== m0. (493"), l'observation ayant donné v—8 13,2 de temps, ou 493" de degré (Foy. Mouveurxr de Ja lumière).

Selon que 72 sera le mouvement géocentrique en longitude, latitude, ascension droite ou déclinaison, cette formule donnera l’aberration en longitude, latitude, ascension droite Gu déclinaison (Voy. Astronomie de Delarbre , tome INT, ch. XXX, pour les développemens). Les »7aximum d'aberration en longitude des planètes sont les suivans :

Uranus. . ..

Saturne . . .

Jupiter. .##11508.

Mars. . . . . 37”,8.

Vénus. . . . 43,2.

Mercure . . . 59”,0.

La lune .-. . o”,8.

L’aberration vafie entre o et ces nombres. Celle du soleil est invariable , étant constammént de 20"”,253. L'aberration des planètes en latitude est presque insensible, parce qu’elles sortent peu du plan de l'écliptique. La plus grande, qui est celle de Mercure, est d’environ 4”,3.

On pourrait croire que le mouvement diurne de la terre, ou sa rotalion sur son axe en vingt-quatre heures, dût exercer une influence sensible sur l’aberration.

AB

Ce phénonrene a lieu en effet; et c’est ce qu’on nomme aberration diurne ; mais il n’est, à son maximum, que : de seconde; et aucun astronome n’en tient compte.

AgErRaTION (Optique). Dispersion des rayons lumineux traversant Jes verres d’une lunette; ce qui fait que l'œil ne reçoit qu'une image confuse. Il y a deux causes d’aberration : la première est la forme sphérique des verres ou miroirs; Cet la seconde, la différente réfrangibilité des rayons (Foy. OPTIQUE Ct ACHROMATIQUE. ).

ABONDANT ( Arithmetique). Un nombre abondant est celui dont la somme des diviseurs est plus grande que le nombre. Par exemple, 12 est un nombre abondant, parce qu’il a pour diviseurs les nombres 1, 2, 3,4, 6, dont la somme est 16. Un nombre tel que 10, plus grand que la somme 8, de ses diviseurs 1, 2, 5, est un nombre déficient ou défectif. Entre le nombre abondant et le nombre déficient se trouve le nombre parfait; c'est celui qui est égal à Ja somme de tous ses diviseurs. Gest un nombre parfait, parce qu’il est égal à la somme de ses diviseurs, 1,2, 3.

ABRACHALEUS ( Astronomie). C'est un des noms de la seconde étoile des Gémeaux, marquée 8 dans les catalogues. On l’appelle aussi Pollux.

ABRAHAM-BEN-CHIJA où CHAJA, surnommé /e prince, rabbin espagnol , né en 1050, avait des connaissances astronomiques et géographiques remarquables pour son temps. Parmi ceux de ses ouvrages qui se trouvent à la bibliothèque du Vatican, et qui intéressent spécialement l’histoire des mathématiques, nous citerons principalement celui qui est intitulé : SpAera mundè describens figuram terræ, dispositionemque orbium cælestium et motus stellarum.

Ou doit encore à Abraham-Ben-Chija un autre ouvage astronomique, dans lequel il traite des planètes, des deux sphères, et du calendrier des Grecs, des Romains et des Ismaélites; il est aussi l’auteur d’un traité de géométrie, dans lequel il aborde l'explication des triangles sphériques et la conversion des angles et des cercles. Tous ces écrits, qui sont au moins le fruit d'une prodigieuse érudition, ne sont curieux aujourd’hui qu’à cause du temps où ils furent composés, et parce qu'ils peuvent servir à marquer le point de départ etles progrès des sciences mathématiques durant le moyen-àge.

ABRAHAM ZACHUT, savant rabbin du XV° siècle, s'acquit une si grande réputation dans les sciences mathématiques, qu’une foule de chrétiens, malgré les préjugés du temps, se pressaient à ses leçons. Il professait l'astronomie à Carthage, en Afrique; et il vint plus tard l’enseigner à Salamanque. L'ouvrage le plus remarquable qu'on ait de lui, et qui a été imprimé à Venise en 1472, est intitulé : A/manach perpetuum, seu Ephemerides et Tabulæ septem planetarum. Le système

AB

qu’Abraham essaye d'établir dans cet écrit est ingénieux. Suivant lui, tous les mouvemens célestes seraient réduits à des périodes qui ramèneraient Les planètes à des points où les mêmes inégalités recommenceraient de nouveau. La période étant, pour le mouvement du soleil, de 4 ans, dont 1 bissextile à quelques minutes près, Abraham la fait de 31 ans pour la lune , de 8 pour Vénus, de 125 pour Mercure, de 59 pour Saturne, de 85 pour Jupiter, et enfin de 79 ans pour Mars; mais tous ces nombres inéritent peu d'attention, car ils ne reposent que sur des hypothèses tout-à-fait arbitraires.

ABRÉVIATION (Algèbre). C’estla réduction d’une quantité composée à une expression plus simple. Pour abréger l'équation

2xi— ax — cr +abx =abc— acx —bex + br, on commence d'abord par faire passer dans le premier membre tous les termes affectés de æ, ce qui donne

a — ax? — ba? —cx* + abx Lacx + bex = abe.

On met ensuite entre des parenthèses les diverses quantités qui multiplient une même puissance de x, et l’on a

a — (a+ b + ec) xt (ab + ac +bc)x = abe.

Siles quantités a, b, ce, étaient des nombres, on effectucrait les opérations indiquées, et en supposant

qu'on ait dans ce cas abtb+c—=A, ab+ac+bc=B, abc = C:

L’équation proposée se réduirait à la forme x— Ax? +Bzr=cC.

IL est important de ramener toujours les formules aux expressions les plus simples qu’elles puissent avoir.

ABSCISSE (Géométrie), (de abscindere,

Pour déterminer la position d’un point sur un plan, on ?

couper).

le rapporte à deux droites ; AX, AY, perpendiculaires

l'une sur l’autre, et données de position sur ce plan.

Ces droites se nomment les axes, et, particulièrement, Y|777 AX se nomme l'axe des abscisses, et AY l'axe des or-

données. La distance By ou Azx du point B à l'axe AY À se nomme l’anscisse de ce point, et se désigne généralement par la lettre +. La distance Bx où Ay du même point B à l’axe AX se nomme l’ordonnée de ce point, et s'exprime généralem nt par la lettre y.

L'abscisse et l'ordonncée portent conjointement le nom de coordonnées.

Si les axes ne sont pas perpendiculaires l’un sur l’au

tre, ce qui est nécessaire dans certaines questions, alors les coordonnées ne sont pas non plus perpendiculaires à ces axes, mais leur sont parallèles, savoir : l’abscisse à l’axe des abscisses , et ordonnée à l'axe des ordonnées.

Les abscisses se comptent généralement sur leur axe: ainsi, pour désigner l’abscisse du point B, on prendra Ax etnon By.

Lorsqu'une courbe MN est rapportée à deux axes, et que la relation des abscisses Ax', Ax”, Ax'”, ete., ou,

comme on l'écrit communément, des abscisses æ', x"

At L , D æ”", etc., avec les ordonnées correspondantes LT,

x°y", x"y"", etc., ou y',y", y"", eic., est donnée par une expression algébrique, cette expression est ce qu'on nomme l'équation de la courbe. (Foy. Appricariox de l'algèbre à la géométrie.)

ABSIDE,. loy. Arsip.

ABSOLU ( {lgèbre). Terme ou nombre absolu. C'est la quantité ou le nombre entièrement déterminé qui fait un des termes d’une équation, etauquel on égale la somme de tous les autres. Ainsi, dans l'équation æ°+ pa +qz=r, r est le nombre absolu. Vière le nommai homogeneum comparationts ; mais les mathématiciens modernes le classent simplement avec les autres coefficiens des puissances de l’inconnue +, le considerant comme celui de x°. Le terme absolu d'une équation quelconque est toujours formé par le produit de toutes ses racines. (J'oy. ÉQUATION et Racine.)

ABSTRAIT. Mathématiques abstraites où mathématiques pures. Lois des nombres et de l’étendue considérées en elles-mêmes, et abstraction faite des objets sensibles auxquels elles peuvent s'appliquer.

AssrraAIT (Æ4rith.). Nombre abstrait. Nombre considéré comme exprimant une collection d’unités iudépendantes d'aucun objet en particulier. Par exemple, 5 est un nombre abstrait lorsqu'il ne désigne pas des objets déterminés ; mais lorsqu'il désigne 5 francs ou 5 mètres, le nombre 5 est alors un nombre concret. (Foy. Cow- CRET. )

ABSURDE. Réduction à l'absurde : forme de raisonnement par lequel on prouve la vérité d’une proposition, en partant de la supposition que la proposition est fausse, ct en tirant des conséquences absurdes de cette hypothèse ; ce qui force nécessairement à conclure que la proposition ne peut être que vraie. Ce mode de démonstration n’est satisfaisant que lorsqu'il s'applique à des propositions inverses ou réciproques d’autres propositions directement démontrées. Ainsi, par exemple, après avoir établi, par un raisonnement direct, que, dans un triangle isocèle, la perpendiculaire abaïssée du sommet sur la base partage cette base en deux parties égales, si Von voulait démontrer la proposition ré-

ciproque, que la droite qui passe par le sommet et le

milieu de la base d'un triangle isocèle est perpendiculaire à cette base, on devrait employer la réduction à l'absurde, parce qu’en effet cette seconde proposition est tellement liée à la première, qu’on ne peut la supposer fausse sans renverser cette première, dont la vérité a été rendue évidente. Mais lorsqu'il s’agit de démontrer une proposition directe, la réduction à l'absurde ne peut plus satisfaire l'intelligence , car elle ne lui apprend rien sur l’origine de la propriété qui fait l’objet de cette proposition. Plusieurs auteurs modernes ont fait un abus déplorable de cette méthode de démonstration, pour éviter, en géométrie, la considération de l'infini, sans laquelle il est cependant impossible d’avoir la conception d’une ligne courbe.

ACAMPTE. Terme employé par Leibnitz pour désigner des figures qui ne réfléchissent pas la lumière, quoiqu'elles soient opaques et polies, et conséquemment douées des propriétés nécessaires pour opérer cette réflexion. ( Op. Leib., tome n1, page 203.)

ACCÉLÉRATION (Mécanique). Accroissement de vitesse que reçoit un corps en mouvement. C’est l'opposé de RETARDATION, qui signifie diminution de vitesse. Un corps qui tombe librement par l'effet de sa pesanteur acquiert à chaque instant de sa chute une acceleration de vitesse. (F’oyez AccELÉRE.) Au contraire, un corps lancé de haut en bas par une force quelconque éprouve, à cause de sa pesanteur, une retardation de vitesse, et la résistance de l'air modifie encore la courbe qu'il décrirait s’il était lancé dans le vide. ( Voyez Prosecrire.)

ACCÉLÉRATION pe LA cHuTE DES convs ( {stoire.) Aügiientation de vitesse qu'un corps acquiert dans sa chute en tombant librement et par l'effet de sa seule pesanteur:

Cette partie importante de la physique mathématique a été long-temps régie par des théories qui, basées sur l'illusion des sens, et consacrées par d'anciennes doctines philosophiques , ont dû résister d'autant plus aux démonstrations de la science. Les propriétés réelles du mouvement étaient encore inconnues vers Ja fin du seizième siècle. Les plus savans mathématiciens de cette grande époque, à laquelle se rattachent d'ailleurs les plus belles découvertes de lesprit humain, bornaient leurs recherches et leurs travaux en mécanique à des commentaires sur le livre consacré par Aristote à cette branche des mathématiques, et intitulé : Questions mécaniques. Get ouvrage est apprécié aujourd'hui à sa juste valeur, et les aperçus ingénieux qu'il renferme sont loin de constituer les réalités indestructibles que la science moderne a mises à leur place.

À l’époque encore récente où la doctrine du philosophe de Stagyre sur le mouvement était généralement adoptée par les physiciens et les mathématiciens , on ne pouvait soupçonner que tout mouvement étant recti-

ligne de sa nature, devait nécessairement se perpétuer dans la même direction, s'il ne rencontrait aucun obstacle. On croyait au contraire qu’il existait deux sortes de mouvemens, les circulaires et les rectilignes ; que les premiers étaient naturels, et les seconds violens. Ainsi, dans l'application de ce système, on établissait que les astres se mouvaient d’une manière circulaire, en vertu de lois qui étaient de l'essence même de ces corps, tandis que le mouvement rectiligne était le résultat d’une impulsion donnée aux corps par une force motrice, diamétralement opposée à leur nature. Sous ce dernier point de vue, on pensait donc, par exemple, qu'une pierre lancée dans l’espace ne pouvait s’y mouvoir que par l'application continuelle de la force étrangère, ou le maintien de l'impulsion qui avait décidé son mouvement. Mais comme le premier mouvement de la pierre se continue lorg-temps encore après qu’elle a été lancée, et par conséquent sans l’application suivie de la même impulsion, expérience qu'il est bien facile d'acquérir, il était nécessaire d'expliquer cette contradiction manifeste entre la théorie et le fait. On se contentait de répondre encore avec Aristote, par qui l’objection avait été prévue, que l'air dont le corps est suivi par-derrière continue à Jui faire suivre l'impulsion primitive qu'il a reçue.

La certitude de ces vagues et imparfaites explications du mouvement en général, et qui s'appliquaient alors en grande partie à la théorie de F'accélération des graves, était loin d’être contestée, lorsque l'illustre Galilée découvrit Jes véritables lois de ce phénomène. Ce fut à Pise, où il étudiait alors la philosophie, qu'il commença à soutenir des thèses contraires aux doctrines de ses maitres. Pour combattre celles qui étaient professées sur Ja propriété du mouvement, il dut d’abord établir en principe qu'il n’y avait que peu de différence dans le temps de la chute des corps graves d’une pesanteur tout-à-fait inégale, lorsque la matière de ses corps différait peu de densité , et que cette vitesse serait exactement la même dans le vide. Galilée tirait de ce principe la juste conséquence que la vitesse de la chute n'était pas en même raison que la pesanteur, ainsi que le formulait un prétendu axiome de l’école péripatéticienne.

Galilée faisait reposer la démonstration de ce principe sur un raisonnement d’une admirabie simplicité, et que nous allons reproduire ici, comme le plus propre. à donner une idée juste de la question alors en discussion. Qu’on laisse tomber, disait-il, d’un côté une once de plomb, de l’autre dix onces séparées de la même matière, mais simplement posées l’une sur l’autre, on verra que des deux côtés la vitesse sera égale. Ainsi, soit que ces dix onces de plomb forment une masse compacte, soit qu’elles forment dix masses faiblement adhérentes, on

° AC ne saurait dire que leur adhérence influe en rien sur leur accélération, puisque, de leur nature, chacune de ces masses tombe avec une égale vitesse, et que le poids de la première n’ajoute rien à celui de la seconde, le poids de la seconde à celui de la troisième, ainsi de suite. Il est donc impossible que dix livres ou dix onces de plomb tombent plus vite les unes que les autres , et conséquemment que dix onces tombent plus vite qu’une seule.

Nous devons néanmoins faire observer que s’il est vrai de dire que tous les corps tombent avec une égale vitesse, cela doit toujours s'entendre eu égard à la résistance du milieu dans lequel ils se meuvent. Ainsi 4 résistance que l'air oppose à la chute des corps légers est beaucoup plus considérable que celle qu'il présente aux corps graves. Mais dans le vide, c'est-à-dire en supposant la neutralisation complète de l'air, tous les corps tombent avec une égale vitesse, quelle que soit l'inégalité de leur pesanteur, le plomb comme la plume. Les expériences faites au moyen de la machine pneumatique ne permettent plus aucun doute à cet égard; mais Galilée devait, avant tout, prouver par un fait palpable la justesse du raisounement qui précède.

Cette expérience fut faite à Pise, en présence d’un nombreux coucours de savans et de citoyens, et son résultat confirma pleinement la nouvelle théorie de l’audacieux étudiant qui venait venger la science et la raison des erreurs d’Aristote. Sans doute, avant cette époque, on avait pu juger facilement que l'accélération d’un corps grave, dont la masse n’éprouve ni altération ni obstacle, s'augmentait en raison de la distance qu'il parcourait dans sa chute, puisque son choc est d’autant plus fort que cette distance a été plus grande. Mais Ja doi même de cette accélération était encore un mystère, et c'était cette loi que Galilée venait de découvrir, en établissant que l'accroissement de la vitesse suit le rapport du temps, c’est a-dire qu'après un temps double la vitesse est double , triple après un temps triple, etc.

Galilée fut d’abord obligé de supposer cette loi de l'accélération ; il en rechercha ensuite les propriétés, et ayant prouvé par l'expérience qu’elle convenait à la chute des corps graves, il en conclut que cette loi était celle de la nature. Il démontra donc que aans les temps 1,2, 3, 4, les espaces parcourus sont 1, 3, 5, 7, et que tous pris ensemble depuis le commencement de la chute, ils sont entre eux comme les carrés des temps. Ensuite il prit une longue pièce de bois, dans laquelle il fit creuser un canal, et l'ayant inclinée de manière que la lenteur du mobile lui permit de comparer le temps avec l’espace parcouru, il trouva toujours que dans un teraps double l’espace était quadruple, dans un temps triple neuf fois aussi grand, etc. Enfin, pour se créer une idée plus précise de l'accélération du mouvement, il imagina des plans inclinés par des lignes tirées des

AC 15 extrémités du diamètre d'un cercle, et 1l représenta la direction perpendiculaire par le diamètre même. Quoique toutes ces ligues fussent inégales, il démontra que le mobile parcourait chacune d’elles dans le même temps qu'il aurait emplové à parcourir le diamètre.

La loi de l'accélération, ainsi donnée par Galilée, devint bientôt fertile en déductions importantes. Tel est le caractère des grandes découvertes : elles frappent d’abord par leur extrême simplicité et la facilité avec laquelle elles sont accessibles à toutes les intelligences, et elles deviennent ensuite une source inépuisable de progrès dans leur application à toutes les parties de la science à laquelle elles se rattachent. Galilée se servit lui-même de sa théorie pour analyser la nature de la courbe décrite par les corps projetés obliquement, et par ce moyen il expliqua le premier la route parabolique des projectiles. Cette application de la récente loi de l'accélération était elle-même une découverte qui détermina une révolution complète dans les procédés de l’arüllerie, et surtout daris l'emploi de ses machines au siège des places: c'est ainsi que les connaissances de cette partie si importante de l’art militaire sont entrées dans le domaine des sciences mathématiques. Par une conséquence logique de sa principale découverte, Galilée fut aussi conduit à s'occuper du mouvement des pendules. Si, sous ce dernier rapport, ses démonstrations ne furent pas aussi décisives, c’est à cet homme de génie qu’on doit du moins l'idée première de la théorie au moyen de Jaquelle on mesure aujourd’hui le temps avec une précision si remarquable.

Nous ne pouvons accorder plus de place dans cet article aux diverses applications de la loi générale d’accélération, chacune d’elles devant être décrite avec toute l'étendue que comporte leur importance scientifique au mot spécial sous lequel on les désigne; nous devons nous borner à achever en peu de mots l’histoire de la découverte de Galilée.

On fut généralement frappé de la certitude et de l'évidence de la nouvelle théorie proposée par ce grand mathématicien; mais elle ne laissa pas de rencontrer de vives oppositions, et de soulever contre lui la haine impuissante de ces hommes qui s’effraient de tous les progrès, et se font une religion fanatique des préjugés les plus insensés. La loi de l'accélération ne pouvait échapper à cette destinée des vérités nouvelles : elle servit de texte, pendant plusieurs années , à une polémique vive et passionnée. Ce fut seulement en 1638 que Galilée publia sa découverte, dont la démonstration remontait évidemment à une époque plus éloignée. Durant la même année, un noble Génois, nommé Baliani , et qui avait alors une réputation de bon physicien, publia aussi un ouvrage, dans lequel il s’accorda presque entièrement avec Galilée sur l'accélération de la chute

des graves. (De motu naturali fluid. ac solid.) En 1648, Baliarni fit paraitre une nouvelle édition de son ouvrage, augmentée de cinq livres, où, changeant complétement de système, il teuta de produire une autre loi d’accélération. Un père Casrée, jésuite, que Gassendi a réfuté, essaya aussi de démontrer la fausseté du système de Galilée, qui, au reste, ne manqua pas de défenseurs. Benoit Castelli et le célèbre Toricelli, ses disciples, développèrent tous deux les théories de leur illustre maitre, dont la mémoire, malgré Finjuste opposition de quelques-uns de ses contemporains , arrivera grande et pure à la postérité, qui ne saura point les noms de ses obscurs ennemis. ( F’oyez GaLiLÉE et MouvEmENT. )

ACCÉLÉRATION du mouvement diurne des étoiles. C’est la quantité dont les levers , couchers et passages au méridien des étoiles fixes avancent chaque jour. Elle est de 3° 55 9 de temps : ainsi une étoile qui aurait passé au méridien, un jour donné, à minuit, le leudemain passerait à 11% 56" 4," 1. Cette accélération est causée par le mouvement apparent du soleil d’occident en orient, lequel est de 59° 8," 2 de degré par jour, ce qui exige 3° 55," 9 de temps, et dont l’effet est conséquemment de le ramener chaque jour au méridien 5° 55," 9 de temps plus tard que la veille. Il en résulte que l'étoile dont le passage au méridien se serait effectué hier en même temps que celui du soleil, se trouve aujourd'hui de 5y° 8," 2 plus occidentale, et arrive au méridieu 3° 55," 9 avant le soleil.

Cette accélération n’est la même tous les jours que par rapport au {emps moyen où temps des pendules, car le mouvement apparent du soleil varie selon les diverses saisons de l’année. ( Voyez Temps vrai et Temps MOYEN. )

ACCÉLÉRATION d'une planète. On dit qu’une planète est accélérée dans son mouvement, lorsque son mouvement diurne réel est plus grand que son mouvement diurne moyen. Et vice versä, on dit que la planète est retardée, lorsque son mouvement diurne réel est plus petit que son mouvement diurne moyen. Cette inégalité provient du changement de la distance de la planète au soleil qui varie sans cesse; son mouvement autour de cet astre, s’effectuant dans une ellipse dont il occupe Pun des foyers. La planète se meut toujours plus vite dans son orbite quand elle approche du soleil, et plus lentement quand elle s'en éloigne. (foyez TraJECTOIRE.)

ACCÉLÉRATION du mouvement moyen de la lune.

Halley a découvert le premier cette accélération, en comparant quelques éclipses, qu’il avait observées, avec d'anciennes observations d’éclipses faites à Babylone, et celles d’Albaténius au neuvième siècle. Il ne put préciser da vitesse de cette accélération, parce que les longitudes de Bagdad, d'Alexandrie et d'Alep, où les observations eurent lieu, n'avaient pu être exactement

AC

déterminées. Mais depuis, la longitude d'Alexandrie ayant été fixée par Chazeller, et Babylone étant située à 5o'à l’est d'Alexandrie, si nous en croyons le calcul de Ptolémée, M. Dunthorn se basa sur ces données pour comparer plusieurs éclipses anciennes et modernes, et il confirma pleinement l’assertion d’Halley, que le mouvement moyen de la lune était plus rapide dans les temps modernes que dans les anciens temps. Non content de constater simplement le fait, il résolut de déterminer la quantité de cette accélération, et à l’aide des plus anciennes éclipses observées à Babylone 521 ans avant l'ère vulgaire, il conclut que l'accélération , en la supposant uniforme , était de 10” par siècle.

Lalande fit de semblabies recherches, et parvint au même résultat. ( Mémoires de l’Académie, 1757. ) Mayer en avait parlé dans les Aémorres de Gœttingue, en 1552. Dans ses Z'ables de la lune , 1 établit une équation, qu'il appelle séculaire, pour corriger, selon le siècle postérieur ou antérieur à 1750, le mouvement moyen de la lune. Malgré ces recherches, le fait luimême, paraissant inexplicable , était encore contesté, et méme rejeté entièrement par plusieurs géomètres, au nombre desquels nous sommes forcés de compter Lagrange, lorsque, le 19 décembre 1587, Laplace annonça qu'il avait trouvé les causes de cette accélération. Elle résulte en effet de la variation de l’excentricité de la terre produite par l'attraction des planètes; et loin d’aller toujours en croissant, comme on l'avait supposé , elle suit d’une manière inverse les lois de cette variation , et augmente où diminue selon que l’excentricité diminue ou augmente. Ainsi ce qui parait une accélération aujourd’hui se convertira en un retardement dans la suite des siècles, pour redevenir plus tard une accélération. Lagrange a confirmé cette explication, qui lui avait d’abord échappée, quoiqu’elle pût se déduire de ses formules générales de perturbation. L’équation séculaire qui résulte de cette théorie est de

(G0”,18)# + (0",0185) à, £ étant le nombre de siècles écoulés depuis 1700.

ACCÉLÉRÉ (Mécanique). Mouvement accelcre :

c’est celui qui reçoit à chaque instant et pendant toute sa durée une accélération de vitesse. Il est l'opposé du mouvement retarde: mouvement dont la vitesse diminue continuellement. On désigne, en général, les mouvemens accélérés et retardés sous le nom commun de mouvemens variés.

Dans la théoïie générale du mouvement, après le cas d’une vitesse constante qui donne le mouvement uni- Jorme , le cas le plus simple est celui où la vitesse croit ou décroit par degrés égaux. Le mouvement est dit alors uniformément varié, et particulièrement wniformément accéléré, lorsque la vitesse augmente, ei uni-

| AC formément retarde, lorsque la vitesse diminue. Tout ce que nous allons dire ici sur le mouvement uniformément accéléré s'applique également, dans un ordre inverse, au mouvement uniformément retardé,

La force qui produit un mouvement uniformément accélcré est donc une force accélératrice constante ; c’est-à-dire qu’elle agit constamment sur le mobile de la même manière, en augmentant sa vitesse d'une quantité égale en temps égaux pendant toute la durée du mouvement. Pour se rendre compte de l'effet d’une telle force, on doit concevoir le temps pendant lequel clle agit comme divisé en une infinité d’intervalles égaux et infiniment petits , au commencement de chacun desquels la force accélératrice donne au mobile une nouvelle impulsion. Alors, considérant le mouvement comme uniforme pendant la durée de chaque intervalle en particulier, le mouvement accéléré se composera d’une suite de mouvemens uniformes d’une même durée infiniment petite, et de vitesses différentes. Ainsi, désignant par @ la vitesse pendant le premier intervalle, les vitesses suivantes formeront la progression arithmétique,

20, 39, 4Ds 59, 6D.-..... 19, t désignant le nombre total des intervalles ou le temps du mouvement. Nommant donc v la vitesse fnale ou la vitesse acquise pendaut le temps {, on aura l'équation (a) v= t@.

Mais pendant le temps d'un mouvement uniforme, les espaces parcourus par le même mobile sont proportionnels aux vitesses, et peuvent conséquemment se représenter par ces vitesses. Donc l’espace parcouru pendant chaque instant successif infiniment petit est égal à la vitesse de cet instant , et la somme de tous ces espaces ou de toutes ces vitesses est égale à l’espace total parcouru pendant le temps £. Désignons cet espace pare, nous aurons

e=?p+2p+3p+ip+5P....... Hi.

Or, la somme des termes du second membre de cette égalité est (9 + 19) ou E® + v)t, à cause de 19 — v. (Poyez Procnessions anrramÉriques.) Nous avons donc e—; (+ v)t, ®, représentant la vitesse pendant le premier instant infiniment petit, est une quantité infiniment petite, puisque le mobile était en repos au commencement de cet instant, elle doit donc être considérée comme o par rapport à v. ( Foyez CALCUL DIFFÉRENTIEL.) Ainsi, en la retranchant, on a définitivement (b) e =£vt.

Les deux équations (a) et (b) renferment toute la théo-

rie du mouvement uniformément accéléré,

Il résulte d'abord immédiatement de l'équation (8) une considération importante. Si nous prenons le temps £

pour l'unité de temps, nous avonse— {+ ; ainsi l'espace

parcouru dans la première unité de temps est la moitié de la vitesse acquise à la Jin de ce temps. Or, comme on peut prendre pour unité tel intervalle de temps qu’on voudra, on a donc cette proposition générale : Une force accélératrice constante communique à un mobile dans un temps quelconque une vitesse double de l’espace qu'il a parcouru dans ce méme temps. Si donc après un intervalle de temps quelconque la force accé

lératrice cessait d'agir, et que le mobile continuit à so mouvoir d'une manière uniforme avec la vitesse acquise, celle vitesse lui ferait parcourir dans un second intervalle, égal au premier, un espace double de celui qu'il a parcouru dans ce premier.

Si nous désignons maintenant par v' une autre vitesse acquise dans un autre temps {', et par e’ l'espacesparcouru , nous aurons également

v'=tp et e —!vt; des deux expressions —19 et v' = t'$, on déduit la proportion pivisitst, c'est-à-dire que Les vitesses finales sont proportionnelles aux temps pendant lesquels elles ont été acquises.

Les deux expressions e = !v et e = 1v'1" deviennent e—@l,e —@l?, en y substituant à la place de v et de v’ leurs valeurs 49 et '$. On a donc aussi la proportion

ese'::t:t; ce qui nous apprend que Les espaces parcourus sont entre eux comme les carrés des temps.

I suit de cette dernière proposition que , si un corps mu d’un mouvement uniformément accéléré parcourt dans un temps donné un espace également donné, il parcourra dans un temps double du premier un espace quadruple, et généralement que si les temps forment la progression arithmétique

Les espaces parcourus seront

Or, en prenant la différence de chacun des termes de cette dernière suite avec celui qui le précède, nous aurons les espaces parcourus duns chaque instant en particulier, Ces différences sont :

TROT ONE 10,017, 10veeee Donc les espaces parcourus successivement dans des portions égales de temps sont entre eux comme la suite des nombres impairs.

Ainsi, connaissant l’espace g parcouru pendant la première seconde d'un mouvement uniformément accé-

> léré, pour trouver celui parcouru pendant fa huitième seconde en particulier, on poserait la proportion PeTOr ST — 0e, tandis que pour avoir l’espace total parcouru pendant les huit secondes , on poserait celle-ci :

AOC HME

Toutes les déductions des formules précédentes peu-

vent être récapitulées ainsi qu'il suit :

ete :: 0:

es ei:

LA v'é, (4 . ? . er e ti ee y v ls d':: ev :ev’,

D'après ce que nous venons de dire, en prenant la seconde pour unité de temps, il suffit de connaitre la quantité g ou l’espace parcouru peudant la première seconde du temps d'un mouvement uniformément accéléré, pour pouvoir, à l’aide des formules précédentes , calculer toutes les circonstances de ce mouvement. Il est donc important de faire entrer dans les formules cette quantité constante g, afin de les rendre immédiatement applicables aux cas particuliers. Or, nous avons , en général,e:e'::4 : 4°, et par conséquent e:g::42:1, ce qui donne (ni)

e= gl.

Mais g étant l’espace parcouru pendant la première seconde , la vitesse finale à la fin de cette seconde sera 2g, et conséquemment la vitesse finale, après le temps 4 sera (7) —= 9281, + exprimant un nombre de secondes.

Des deux équations(m) et (x), on tire les théorèmes

pratiques suivans qui embrassent toutes les questions

qu’on peut se proposer sur le mouvement uniformément

T2. + e accéléré :

e v ra 2e Ce TD — b..T= 0 Lg... 1= Ve 28 6° s ; 2e a VI ALL G...v—2Veg 10. = — p? dv Rise 6 7... e=— Il. e—— AS 2 4 e g y p?

…. rs does L— — 12%. L—=—— 8 PTS 97 4e

La chute des corps pesans dans le vide nous donne un exemple d'un mouvement uniformément accéléré ; car l'expérience a démontré que les espaces qu'ils parcourent sont proportionnels aux carrés des temps, et que les vitesses qu'ils acquièrent sont simplement proportionnelles aux temps. La pesanteur est donc, comme

l'a découvert Galilée , une force accélératrice constante ; et, connaissant seulement l’espace parcouru par un corps pendant la première seconde de sa chute, on pourra déterminer avec exactitude toutes les particularités du mouvement de ce corps. Nous devons cependant faire observer que la pesanteur n’est une force constante que pourdes chutes d’une médiocre hauteur; car rigoureusement elle varie en raison inverse des carrés des distances au centre de la terre. (Foy. Arrracriox. ) Mais lorsque la hauteur dont un corps tombe est peu sensible par rapport au rayon de la terre, on peut alors supposer, sans erreur, comme nous le verrons plus loin, que la pesanteur est constante.

Des expériences faites avec un soin extrème ( ay. Pexpure), ont démontré que l’espace parcouru , pendant la première seconde, par un corps qui tombe librement, en vertu de la seule pesanteur, varie avec la latitude des lieux, et qu'il est le même pour tous les corps, à la même latitude. À Paris, cet espace est égal à 4 mètres,9044. Nous avons donc pour Paris g—4",0044; et, à l’aide de ce nombre, nous pouvons résoudre tous les problèmes relatifs à la chute des corps. Dans ce qui suit, nous faisons abstraction de la résistance de l'air, ou,ce qui est la même chose, nous considérons les mouvemens comme s’effectuant dans le vide.

I. Prosriwe. Quel espace a parcouru un mobile dans une chute de 10 secondes, et quelle est sa vitesse finale ? Ici nous avons {= 10; donc(5),e=10°X4,9044 = 490,44. L'espace parcouru pendant la chute était donc de 490,44. De même (2), 98,044, dernière vitesse acquise.