Pour les miroirs convexes, la formule devient

, ad nr.

Faisons comme ci-dessus, d—na, nous aurons a na? n :

a+na 1+n

Or, quelles que soient les valeurs qu’on donne à », comme a’ reste négatif, nous voyons que dans les m1roirs convexes l’image est toujours derrière. Faisons successivement 2—0, n—E, =, N=1,N—2, n=3, etc., nous aurons, abstraction faite du signe —,

a'=0,a'=ia, a'=ïja, a —1la, a'—3a, a —$a, etc.

Il résulte de ces valeurs que lorsque la distance de l’objet au miroir croit depuis o jusqu’à une quantité égale à la moitié du rayon, l’image s'éloigne derrière le miroir depuis o jusqu’à a; c’est à-dire depuis o jusqu’au quart du rayon. Passé cette grandeur, l’image s'éloigne toujours derrière le miroir, à mesure que l’objet s'éloigne; mais sans pouvoir s’écarter plus que de la moitié du rayon; car lorsque » est infini, on a a'=a.

14. Si nous supposons infini le rayon de sphéricité a, nous pourrons considérer les miroirs comme plans, et la formule {#) nous donnera toutes Jes propriétés de ces miroirs. En effet ; elle devient alors

D'où l’on tire

Cette égalité nous apprend que l’image est toujours, derrière le miroir, à une distance égale à celle de l’objet; c'est ce que nous avions vu précédemment {n° 3).

15. Dans les miroirs sphériques , les images n’ont pas la même grandeur que les objets, et paraissent quelquefois droites et quelquefois renversées. 7oy. Miroirs aoncaves et Miroirs CONVEXES.

CAUDA LUCIDA (4str.). Belle étoile de la première ou de la seconde grandeur , placée à la queue du Lion , et marquée B dans les catalogues.

CAUS, premier inventeur des machines à feu. Foyez SALOMON DE CAUs.

CAUSTIQUE (Géom.). Courbe formée par l’intersection des rayons lumineux partant d’un point rayonnant, et réfléchis ou réfractés par une autre courbe. Chaque courbe a ses deux caustiques ; l’une produite par la réflexion, se nomme catacaustique (voy. ce mot); l’autre, produite par la réfraction , se nomme diacaustique. Foy. ce mot.

L'invention de ces courbes est attribuée à Tschirnhausen, qui les proposa à l'Académie des sciences en

1682. Elles ont cette particularité remarquable, que, lorsque les courbes qui les produisent sont géométriques, elles sont toujours rectifiables. J. Bernoulli, le marquis de l'Hôpital et Carré se sont occupés des caustiques, pour lesquelles on peut consulter leurs ouvrages, ainsi que les Mémoires de l'Acad. des sciences de 1705. Nous donnerons autre part les moyens de déduire de l'équation d'une courbe celles de ses caustiques. Joy, Counnes ENVELOPPANTES.

CA VALIERI ou CAVALLERI (Bonavenrure ), l’un de ces grauds géomètres du XVII siècle, dont les découvertes font époque dans l'histoire des mathématiques, naquit à Milan en 1598. Il était entré fort jeune dans l’ordre des Jésuates ou Hyéronimites, et il avait révélé dès lors, et durant ses premières études, une intelligence si remarquable, que les chefs de son ordre crurent devoir l'envoyer à Pise, dont l'Université, célèbre alors, présentait plus de moyens que le cloitre pour initier le brillant novice à tous les degrés de Ja haute instruction. El y avait alors une louable émulation entre les diverses congrégations religieuses, et elles laissaient rarement échapper l’occasion de développer les intelligences supérieures qui se mauifestaient dans leur sein. L'Église, en ces temps déjà loin de nous, marchait en tête de l'humanité, et gouvernait le monde chrétien autant par la science que par la foi. C’est donc à tort que quelques modernes biographes de Cavalieri ont dit que les moiues cherchèrent à le détourner de son goût pour les études scientifiques, comme d’occupations profanes. Ses supérieurs, au contraire, eurent à lutter contre sa modestie et sa timidité naturelles, pour le décider à aller à Pise; et d’ailleurs le jeune Cavalieri était déjà en proie à la mélancolie qu'une maladie douloureuse acheva d'imprimer à son caractère durant la courte durée de sa vie. Tristesse sublime du génie qu’on observe dans tous les hommes supérieurs, dans Descartes comme dans Corneille, dans Newton comme dans Mallebranche et Pascal! Cavalieri eut le bonheur d’étudier les mathématiques, à Pise, sous le père Benoît Castelli, le disciple et l'ami de Galilée, qui lut dans l'avenir de son jeune élève, et lui procura la conuaissance de l’illustre philosophe de Florence. La géométrie fut l'objet spécial des travaux de Cavalieri; et, dit un historien, il y fit de tels progrès, et épuisa si promptement dans ses lectures tous les géomètres anciens, que Castelli et Galilée prédirent dès-lors la haute célébrité à laquelle il devait atteindre.

On est fondé à croire que, dès 1629, Cavalieri étaiten possession de sa Hethode des indivisibles, qu'il ne publia cependant que quelques années après, car, à cette époque, il fut nominé à la chaire d'astronomie, vacante alors à l'université de Bologuc; et il soumit aux magistrats un

mémoire sur cette méthode nouvelle de traiter la géo-

CA

métrie, et un autre sur les sections coniques, qui le firent admettre imméaiatement. Ce fut en s’élevant à des considérations de l'infini, que Cavalieri résolut divers problèmes posés par Képler, et qu'abrégeant les démonstrations employées par les géomètres anciens dans la nature des figures curvilignes, il envisagea les élémens de ces figures, et remonta jusqu’à ceux qu’il appela indivisibles. Il concevait ainsi les lignes comme formées d’un nombre infini de points, les surfaces d’une infinité de lignes, et les volumes ou solides d’une infinité de surfaces. Nous exposons ailleurs scientifiquement cette méthode ( foyez Innivisisces et [nxrint); mais nous pouvons dire ici qu’elle a ouvert un champ plus vaste et plus fécond aux recherches des géomètres, et que la considération de l'infini, dont elle est le résultat , atteste une haute et saine philosophie, que certains biographes ont néanmoins appelée des idées monacales. C’est à de semblables idées que la science doit cependant tous ses progrès; et si l’on comparait aux merveilleuses découvertes qu’elles ont enfantées, le petit nombre de celles qui sont nées dans le domaine restreint de l’empirisme on comprendrait mieux Ja puissance de leur sublime inspiration.

Les principes de Cavalieri furent vivement attaqués par quelques géomètres contemporains ; mais ils furent acceptés avec enthousiasme par ceux qui étaient le plus à même d’en juger. L’illustre Pascal se servit de la géométrie des indivisibles. Son suffrage dut consoler Cavalieri des vives attaques de Guldin etdes prétentions de Roberval, qui réclama pour lui l'invention d’une méthode, dont la publication était de deux ans antérieure à celle qu'il proposait. Un biographe fait la remarque qu’il y eut entre Pascal et Cavalieri cette singulière conformité , qu'ils cherchèrent dans la culture de la géométrie un adoucissement à de grandes douleurs physiques. Cavalieri ressentit de bonne heure de fortes atteintes de goutte, et Pascal éprouvait de longues insomnies, occasionnées par de cruels maux de dents.

Cavalieri parait avoir été le premier géomètre qui aitaccueilli en Italie la mémorable découverte de Néper. Il publia à Bologne , en 1632, une trigonométrie, dans laquelle on trouve les sinus, tangentes, sécantes et sinus verses, avec leurs logarithmes en 8 chiffres, pour tous les degrés et minutes du quart de cercle. Ces tables renferment même une addition importante aux autres tables ; savoir : de seconde en seconde pour les cinq premières et cinq dernières minutes du quart de cercle; de cinq en cinq secondes pour les cinq minutes suivantes; de 20 en 20 jusqu’à 30'; de 30 en 30 jusqu’à 1° 30"; et enfin pour le reste du quart de cercle de minute en mipute. Les logarithmes des nombres naturels ÿ sont donnés seulement jusqu'à 2000.

Après avoir mis la dernière main à sa géométrie des

CE

indivisibles, Cavalieri mourut d’une attaque de goutte le 3 décembre 1647. Voici les titres des ouvrages de ce célèbre géomètre, qui renferment pour la plupart des aperçus neufs, une érudition remarquable, et doivent tenir un rang distingué dans l’histoire scientifique du XVIL' siècle. I. Traité des sections coniques , en italien, sous ce titre : Lo spechio ustorio, overo trattato delle settioni coniche ; Bologne, 1632, in-4°. II. Directorium generale uranometrieum, in quo trigonométriæ logaritimiæ fundamento ac regulæ demonstratur ; Bologne, 1632, in-4°. III. Geometria indivisibilibus continuorum nové guédam ratione promota, in häc postremä editione ab erroribus expurgatd ; Bologne, 1635-1653. IV. Tri gonometria plana et spherica, linearis et logarithmica; Bologne, 1605. V. Exercitationes geometricæ sex ; Bologne, 1647, iu-4° : ouvrage remarquable, le dernier de Cavalieri, dans lequel il a développé sa méthode des indivisibles, et où il a répondu aux objections des géomètres de son temps contre sa découverte. En 1776, le père Frisi a publié un éloge de Cavalieri, qui renferme une exposition fort détaillée des travaux scientifiques de ce célèbre géomètre.

= CEGINUS (Astr.), nom d’une étoile de la troisième grandeur, dans l'épaule gauche du Bouvier, et marquée y dans les catalogues.

CÉLÉRITÉ (Mec.). Vitesse d’un corps en mouvement Voyez Vitesse.

CÉLESTE. Se dit de tout ce qui a rapport au ciel; comme globe céleste, sphère céleste, etc. Voyez GLoze et SPHÈRE.

CENTAURE ( 4st.). Constellation méridionale qui ne renfermait que cinq étoiles dans le catalogue de Flamstead, mais qui en a un grand nombre dans celui de Lacaille, une.entre autres de la première grandeur. Voyez CONSTELLATION.

CENTÉSIMALE (Arüh.). Division centésimale du cercle. Le quart de la circonférence étant pris pour unité, on le divise en 100 degrés, le degré en 100 minutes, la minute en 100 secondes, etc. Cette division qui fait partie du système métrique français, quoique employée dans beaucoup d'ouvrages nouveaux, n'a pu faire oublier l’ancienne division sexagésimale, beaucoup moins commode sans doute, mais universellement adoptée par toutes les nations.

CENTRAL ( Mée.). Ce qui est relatif à un centre. Nous avons ainsi éclipse centrale, force centrale, etc.

Écupse cexrraze. Il y a éclipse centrale quand les centres de deux astres coïncideut exactement, et sont en ligue droite avec l'œil de lobservateur. Voyez Écurs.

Foncrs CENTRALES, Ce sont ces forces qui proviennent directement d'un certain point où centre, où qui Y

terdent; ou bien ce sont ls forces qui déterminent un

corps en mouvement à tendre vers un centre ou à s'en éloigner : aussi les at-on divisées en deux espèces, selon leurs rapports différens avec le centre, savoir, lorsqu’elles approchent ou qu’elles repoussent du centre. On les appelle forces centripètes &ans le premier cas, et dans le second, forces centrifuges.

La doctrine des forces centrales dépend de la première loi du mouvement, savoir : Tout corps persiste dans son état de repos, ou de mouvement uniforme dans une ligne droite, jusqu’à ce que l’action de quelque force extérieure opère un changement.

De là, quand un corps en repos tend incessamment à se mouvoir, ou quand la vitesse d’un mouvement reculigne est continuellement soit accélérée, soit retardée, ou qu'il décrit une ligne courbe; ces changemens indiquent évidemment l’action ou l'influence de quelque force extérieure qui agit sans cesse sur le corps en repos ou en mouvement. Dans le premier cas, on mesure cette force par la pression du corps en repos coutre l’obstacle qui s’oppose à son mouvement; dans le second, si le corps est mu en ligne droite, on mesure la forcé par la quantité de l’accélération ou du retardement; et si le corps se meut en décrivant une courbe, la courbure de cette ligne sert à évaluer la force, c’està dire qu’on l’évalue d’après l'écart constant du corps de sa voie rectiligne, en ayant égard, dans tous ces cas, au temps pendant lequel ces effets sont produits et aux autres circonstances , suivant les principes de la mécanique.

Tout ce qui est soumis à la puissance ou à la force de gravité tombe, selon une constante observation, près de la surface de la terre; car la même puissance qui rend les corps pesans quand ils sont en repos, les accélère quand ils tombent, et les retarde quand ils montent ou quand ils sont projetés dans quelque autre direction que celle de la gravité; mais nous ne pouvons juger des forces ou puissances qui agissent sur les corps célestes, que par les phénomènes de cette dernière espèce de mouvement. De là vient que la doctrine des forces centrales est d’un si grand usage dans la théorie des mouvemens planétaires.

La doctrine des forces centrales pour les orbites circulaires fut d’abord examinée par Huygens; mais Newton a traité le sujet plus en général, et dans les livres E et IL de ses Principes il a démontré ce théorème fondamental, savoir : Les aires décrites par le rayon mené d'un centre immobile à un corps en révolution, dans un méme plan immobile ,:sont proportionnelles aux temps pendant lequel elles sont parcourues.

Cette loi, découverte d’abord par Képler, est la seule loi générale dans la doctrine des forces centrales ; muis püuisqu'elie ne peut (ainsi que Newton l'a prouvé)

s'appliquer, quand un corps à une tendance, par sa

CE

pravité vers un autre que ce seul ét saëme point, il

semble nous manquer quelque loi qui serve à expliquer le mouvement de la lune et des satellites qui ont une gravité vers déux centres différens. Voici célle que ce grantl honane pose pour cet objet, savoir : qu'un corps sollicité par deux Jürces, tendañt constamment vers deux pointé Jtces, décria, par dés lignes tirées de ces deux points fixes, des solides égaux dans des temps égaux, autour de la ligne joignant ces deux points.

Des mathématiciéns distingués out traité avéc élégance le mème sujet, quand le mouvement est dirigé vers plus de deux centres; et des règles pratiques ont été données pour calculer la marche des planètes et dés satellites, par Lagrange, Laplace, Waring, etc: Voyez Mécanique céleste, Transactions philosophiques, ét les Mémoires des Acädémies de Paris et dé Berlin.

Moivre, dans ses Mémoires analytiques, page 331, ainsi que dans les Transactions philosophiques, a écritsur ce sujet, et nous lui devons plusieurs théorèmes élégans, relatifs à la doctrine des forces centrales. Varignon, Maclautin, Simpson, Euler, Emerson et de L’Hôpital, etc., s’en sont également occupés. Nous devons à ce deruier la proposition générale suivante :

1. Sun corps d'un poids déterminé se meut uniformément autour d'un centre avec une vilesse donnce, sa force centrifuge Sera déterminée par celte propor- Lion :

Le rayon du cercle décrit est au double de là hauteur due à lu vitesse comme le poids du corps est & la force centrifuge.

Ainsi, si P représente le poids du corps ou la force avec laquelle il tend vers le centre, 2g—9",8088 la force de la gravité, V la vitesse et R le rayon du cercle décrit, nous aurons d’abord, par la loi de la chute des corps;

V ; —— = là hauteur due à la vitesse,

et énsuité en vertu de la proportion énoncée ,

: Us : D: me — la force centrifuge.

2g 2gR Il suit de cette expression que si la force centrifuge était égale à la force centripèté, ce qui a toujours lieu dans les mouvemens circulaires des corps libres , onauräit, en désignant là première par f,

Ps et par conséquent V2=58R ; on

V—oV/giR

ette dernière égalité nous apprend qu'alors la vitesse

CE est la même que celle que le corps acquerrait en tombant librement d’une hauteur égale à la moitié du rayon.

3. La forcé centrale d’un corps quise meut sur la circonférence d’un cercle est proportionnelle au sinus verse AM de Parc infiniment petit AE; ou bien elle est proportiontfiellé aü carré de cet arc divisé par le diamètré. Ex-effet, péndanit le temps que le corps décrit l'arc AE,

ee > A »