A K (SO —SA)-+B X (SO — SB)— C X(SG—S0) + D X (SD —SO

CE d'où l'en tire A X:SO +HBX SOLCX SO + D X SO — AXSA+BXSB+CXSC-ÆHD XSC, et, conséquemment ,

RER nr Enre et

A EBEG LD

Si quelqu'un des corps est placé en sens inverse de la IUT L “ l

SÙ

direction SD, leur distance doit être considérée comme négative; et si SO est négatif, la distance SO devra être mesurée de S selon cette direction qui a été supposée négative dans le calcul.

Pop. II. 4S7 d’un nombre quelconque de corps on tire des perpendiculaires sur un plan donne, la somme des produits de chaque corps, par sa distance perpendiculaire respective du plan, est égale au produit de la somme de tous les corps par la distance perpendiculaire de leur centre commun de gravité au plan.

Soient A,B, C, etc., les corps réunis dans leurs centres respectifs de gravité; PQ le plan donné; tirez Aa,

Bb, Ce, à angles droits sur |

PQ, et par conséquent parallèles entre eux; joignez >

AB et prenez AE : EB::B:A.

E est donc le centre de gravité de A et B; tirez Ee perpendiculaire à PQ, ou parallèle à AQ, et x perpendiculaire a Aa, ou Bb; donc dans les triangles sem-

blables AEr, EBy on aura

Azx : AL :: By : BE ° Ax : By :: AE: BE ::B: A, c'est pourquoi A X Az = B X By,

ou A(xa—Aa)=B(Bh—7yb),

et, puisque Ea et EP sont des parallélogrammes A (Ee— Aa) — B (Bb — Ee) d'où A X Ee+B X Ec= A X Aa +B X Bb, ce qui donne (A+HB)Ee = A X Aa +B X B6, De plus joigrez EC, et prenez | CG:GE::A+B:C,

CE donc G est le centre &e gravité des corps À, B, C; tirez Gg perpendiculaire à PQ, et on trouvera de même (À + B)Ee + C X Ce—(A LB +C) Gg, ou (AH BE C)Gg = À X Auf B X BBC X Ce.

Il est évident que l’on peut étendre la même démonstra-

tion à tout nombre de corps.

Par conséquont

Ca AXAa+BXBbHCKCCLDKDAHetc.

LE “AFB+FC+DHetc.

Et si un plan est tiré parallèlement à PQ, à une distance

Gg, le centre de gravité sera quelque part dans ce plan. Où trouvera de la même manière deux autres plans, dans chacun desquels se trouve le centre de gravité, ct le point où les trois plans se coupent l’un l’autre est le centre de gravité du systéme.

Maintenaut de l’expression précédente , pour le centre de gravité de tout'système de corps, on peut déduire uñe méthode générale pour trouver ce centre. Car A, B, C: etc., étant considérés comime les molécules élémentairés d’un corps, dont la somme où masse est M—A+B+C-+D +, etc.; À X Aa; B X Bb; C x Ce, D,x Dd, etc, Sont les divers momens de toutes cés parties. ( foyez Momens.) De là dohc, dans tout corps, trouvez une expression péïérale pour là somme des momens, et divisez-la pär la masse du corps ; le quotient sera la distance du centre de gravité au sümimet où à tout autre point fixe, à partir duquel les momens sont évalués. Mais maintenañt pour trouver l’expression générale de la somme des momens , 2e problème se divise en différens cas, suivant qu’on demande de trouvér le centre dE fravité d’un solde, où d'une surface plane où courbe, où d’une ligne courbe de toute description. Nous examinerons chaque cas séparément.

Prop. I. Trouver le centre de gravité d'un corps ‘considéré comme aire , solide, surface d’un solide, ou ligne courbe:

Soit ALV une liÿne courbe quelconque, RL l'axe dans léquel devra se trouver le centre de gravité, car, comme il partage toute ,

ordonnée IF en deux PS parties égales en N, les

parties de chaque côté dekKLseferontéquilibre | les unes aux autres; le Rss | corps sera donc en équi- A libre sur RL, et par con- | séquent le centre de gravité doit être quelque part dans cette ligne.

Faisons LN = x,IN = y,1L = 2, et tirons PQ pa-

CE po

railèle à IF : si nous considérons donc ce corps comme étant composé d’un nombre iufini de corpuscules, et si nous multiplions chacun d’eux par sa distance à PQ, la sonne de tous les produits divisée par la somme de tous les corpuscules, où par la masse du corps, nous donnera la distance du centre de gravité à L, ainsi que celà a été démontré plus haut dans la proposition précédente.

Maintenant pour obtenir la somme de tousles produits, nous devrons trouver d’abord la différentielle de la somme , et son intégrale sera la somme elle-méme.

Soit ds la différentielle ou l'élément du corps, ou encore la différentielle de la somme des molécules, à la distance LN=zx;, alors xs sera la différentielle de la somme de tous les produits, et respectivement les intégrales

ds: et: frds seront la première, la somme des molécules, et 1x 8econde, li somme des produits.

Désignons par D la distance du point L au centre de gravité, et nous aurons, d’après ce qui vient d’être dit (a),

D fé, J'ds

Nous allons appliquer cette formule à plusieurs cas particuliers. |

Soit la courbe ALV la parabole vulgaire dont l’équation est y?—ax, a étant le paramètre.

1. Trouver le centre de gravité de l’aire parabolique ALV. Nous avons

L 4 Y=V ax = ax", De plus, l'élément ds, puisqu'il s’agit d’une surface , est 2ydx ; nous aurons donc 1 5 & 5 > Jade is

S'x dæ. z'dx 2x

= ÿx—5LR quand x = LR.

2. Trouver le centre de gravité de la courbe parabolique ALV. Ici, puisqu'il s’agit d’une simple ligne, l'élément ds devient

ds =V/dx+dÿ; mais l'équation y?—ax nous donne en différentiant dy—ïai.x-idx ou dÿ=}ax-dæ.

Nous avons donc :

Var = dev [14%]

et par conséquent L 3 a fEv Le + Fe Jéz U L &x.

p= RL + a if av [r + Je

__J'x V(4x+a)dzæ

JS VUz+adr Les intégrales étant trouvées, leur quotient donnera la distance demandée.

3. Trouver le centre de gravité du paraboloïde formé par la révolution de la parabole ALV autour de son axe LR.

L'élément ds étant pour un solide ry°dx , dans lequel r est la demi-circonférence dont le rayon est 1, nous aurous, à cause de y°—=ax

J'ax*dx x np: axdx Tix

= 3x LR quand x= LR.

4. Trouver le centre de gravité de la surface du paraboloiïde. L'élément d’une surface courbe étant ds —

ryV/Ax® + dy*, nous trouverons , en substituant dans (a)

Jai (4x +a)dx LE: V(4x+a)dz"

dont les intégrales, étant trouvées, feront connaître la distance cherchée.

Le centre de gravité pourra se déterminer de la mème manière dans tous les autres cas où l’on pourra

exprimer la courbe par une équation algébrique. Ainsi, par exemple, en désignant par a la droite qui joint le sommet et le milieu de la base, nous trouvons pour les centres de gravité des corps suivans, les expressions