présente souvent dans la mécanique

L'action de la pesanteur sur un corps est indépendant de la vitesse qu'on pourrait lai communiquer en le lançant de haut en bas avec une force quelconque; car son effet étant d'imprimer au corps des vitess®s égales en temps égaux à toutes les époques du mouvement, quoiqu'il soit, à ces différentes époques , animé

de vitesses différentes, il est évident que cette action ne dépend pas de la grandeur de la vitesse du mobile, et qu'en désignant par a la vitesse communiquée au meobile par une force quelconque, au moment de sa chute, la vitesse finale sera a H ogt, et l’espace parcouru atbge, les deux forces impulsion et de pesanteur ayant agi toutes deux en même temps sur le mobile, comme si chacune d’elle en particulier était seule. Or, il est naturel de supposer que pareille chose doit arriver en sens inverse, c’est-à-dire que dans un corps lancé verticalement de bas en haut la pesanteur doit diminuer continuellement la vitesse par les mêmes degrés qu’elle l'augmenterait pendant la chute du corps, c’est-à-dire que si l’on désigne par a la vitesse initiale du corps, sa vitesse à la fin de la première seconde sera a— 2g, à la fin de la seconde a—4g, à la fin de la troisième a —Gg. C’est en effet ce que l’expérience confirme : ainsi il suffit de rendre g négatif dans les deux expressions précédentes pour obtenir le mouvement d’un corps pesant lancé de bas en haut avec une vitesse initiale 4, on a

donc p=a—2g e—al-gl,

g étant toujours égal à 4w,9044 pour la latitude de Paris.

Le corps s’élevera jusqu’à ce que la vitesse devienne nulle, et alors il commencera à redescendre; si nous désignons par À la plus grande hauteur à laquelie il puisse parvenir, et par 9 le temps qu'il emploiera pour y arriver, nous aurons.

o=a—92g9, h—aî—g,

d’où l’on tire “ he ;

peurs 28 Âg

parvenu à cette hauteur A, le corps retombera vers la

terre reprenant successivement, par l'effet de sa pesanteur, tous les degrés de vitesse qu'il avait perdus en montant; Car sa vitesse finale en tombant de Ja hauteur

ga? mA hsera(6),24/gh— »\/E ——=4y/a = a. D'où lon con-

clut que pour élever un corps à une hauteur donnée, il faut lui imprimer une vitesse égale à celle qu'il acquerrait en tombant de cette hauteur.

Ainsi, d’après le problème L, si un corps était lancé de bas en haut avec une vitesse initiale de 98,088 par seconde , il s’éleverait à une hauteur de 480"44, et quand il serait retombé de cette hauteur, sa vitesse finale serait redevenue égale à 98,088.

Passons aux mouvemens des corps qui glissent sur des plans inclinés (Voyez PLan incriné). La pesanteur se décompose alors en deux forces , l’une perpendiculaire et l'autre parallèle au plan ; la première est détruite, ct c'est :: seconde seule qui produit le mouvement. Pour se rendre compte de la nature de ce mouvement, il faut partir du principe que les vitesses communiquées

en temps égaux, à un même corps, par des forces différentes sont entre elles comme les intensités de ces forces. En vertu de ce principe, si la force agissant parallèlement au plan était la moitié de la force absolue de‘a pesanteur, la vitesse qu'elle imprimerait dans un temps quelconque serait la moitié de la vitesse qu'imprimerait la pesanteur dans le même temps. Ainsi le mouvement, le long d'un plan incliné, sera uniformément accéléré, el l'espace parcouru pendant la première seconde serait égale à ?g dans le cas présent.

Généralement, pour un plan incliné quelconque dont la hauteur est A et la longueur {, la force parallèle agissante étant à la force absolue dans Îe rapport de À à Z,

la vitesse, dans la première seconde, sera 57; substituant donc cette quantité à la place de g dans les équations précédentes, on aura les équations du mouvement «ccéléré sur un plan incliné. Nous trouverons de cette manière les trois équations fondamentales

gh ogh he =. ep v=92 É.

Il résulte de ces équations plusieurs particularités remarquables que nous devons signaler.

En y faisant e—7, c’està-dire en supposant que‘la longueur entière du plan‘incliné ait éte parcourue, nous

trouvons

pour l'expression du temps employé par le mobile, et

v—2vy/gh

pour l'expression de la vitesse finale à la fin de la chute. Cette valeur de v nous apprend que la vitesse acquise, lorsque le corps a parcouru toute la longueur

du plan incliné, est la nn même que s’il füt tombé BCD E.F verticalement de la hauteur du plan. Sil’on avait donc une suite de droites AB, AC, AD, AË, partant toutes d’un même point À, et aboutissant à un même plan horizontal, les mobiles qui glisseraient sur ces droites, en partant ensemble du point À, acquerraient toutes des vitesses finales égales en arrivantau plan horizontal.

Il résulte de la valeur de t, que toutes les cordes AB', AB”, AB", partant de

diamètre

l'extrémité À d'un AB, dans un cercle quelcon-

vertical

que, seront décrites dans le même temps par des corps pesans qui pariiraient au même instant du point À, Car, en supposant que

£ soit la longueur de la corde AB, en abaissant du point B' la perpendiculaire B'C sur le diamètre, AC sera la hauteur À du plan incliné AB'; désignant donc le diamètre AB par d, nous avons , dans le triangle rectangle ABB ( Voy. Crneue), AB° — AB X AC ou Z — dh.

Substituant cette valeur de Z dans celle de 4, elle donne

{= Ve expression indépendante de la corde AB", et qui con-

vient également à toutes les autres. Mais Ve exprime

le temps de la chute par le diamètre AB. Donc, dans un cercle, toutes les cordes sont parcourues dans le même temps que le diamètre.

Mouvement variable accéléré. Lorsqu'une force accélératrice varie pendant le temps qu’elle agit sur le mobile, la vitesse acquise dans chaque unité de temps varie également, et le mouvement produit n’est plus uniformément accéléré. Dans les corps pesans tombant d'une grande hauteur , la variation de la gravité due à leur rapprochement du centre de la terre, nous offre l'exemple d'un pareil mouvement; le frottement et la résistance des fluides nous présentent aussi des exemples de mouvemens variés. Quelle que soit la nature du mouvement varié, l’espace parcouru, la vitesse acquise à chaque instant et la force accélératrice sont trois fonctions du temps liées entre elles par des lois.

Représentons, comme ci-dessus, le temps par #, l’espace parcouru par e, la vitesse acquise par v, et la force accélératrice par ?. Cela posé, si nous concevons qne le temps { croisse d’une quantité infiniment petite dt (dtest ce qu'on nomme la différentielle det), l’espace parcouru croîtra d’une quantité correspondante de; mais, comme nous pouvons supposer que, pour parcourir cet espace, le mobile n'a été animé que de la vitesse », qu'il avait au commencement de dt, nous aurons de = vdt, d'où (y)

de : — & première équation fondamentale.

Pour pouvoir mesurer la force que nous avons désignée par ? , il faut la comparer avec une force accélératrice uniforme , et, conséquemment , il faut prendre les vitesses produites dans des intervalles de temps infiniment petits, afin quon puisse considérer l'intensité de ces forces comme constante pendant ces instans. Soit donc f une force accélératrice uniforme, qui communique au mobile une vitesse v’ pendant l'unité de temps, v'dt sera la vitesse due à cette force pendant l'instant dt; mais, pendant le même instant dt, la force @ produit une vitesse dy; car la vitesse du mobile étant p à la fin

AC

du temps #, et v + do à la fin du temps t + dt, dvest la vitesse produite pendant le temps dt. Nous aurons

donc de: dv : v'dt; d'où Sf dv ? — v' . d'

On simplifie cette expression en supposant que f soit l'unité de force et v' l'unité linéaire; c’est-à-dire eu prenant pour unité de force celle qui produit dans l'unité de temps une vitesse égale à l'unité de longueur. Par cette considération, la valeur de @ devient

__ dv PT Mais, en différenciant l'équation (y), on a dv — ée Le

substituant cette valeur de dy dans celle de #, elle devient (z) de P — de” seconde équation fondamentale.

Ex prenant la pesanteur pour l'unité de force, et la seconde pour l’unité de temps, l'unité linéaire sera égale à 9" ,8088, ou au double de la quantité que nous avons désignée ci-dessus par g. Exprimant donc, au moyen de ces unités, le temps et les quantités linéaires qui entrent dans les deux équations (y) et (z), ces équations nous feront connaître, en les intégrant, les rapports des données avec les inconnues des problèmes qu’on peut se proposer sur le mouvement varié.

Nous nous contenterons ici d’une application importante, celle de déterminer le mouvement d’un corps tombant verticalement dans le vide, en ayant égard à Ja variation de la pesanteur.

Soient r le rayon de la terre, 2g la pesanteur à sa surface , À la distance du mobile au centre de la terre, à l'instant où le mouvement commence.

Lorsque le corps aura parcouru un espace e en tombant , sa distance au centre sera k—e; par conséquent, sa pesanteur, ou la force accélératrice qui agit sur lui, sera donnée par la proportion

p:ag::r:(h—e),

l’action de la pesanteur étant en raison invérse du carré de la distance (Joy. ATTRACTION ).

On tire de cette proportion 2gr° [.) = AR TE" (A—e) Substituant cette valeur de @ dans l'équation (2), elle

donne pour l'équation du mouvement cherché

de __2g" de (h—e}

En intégrant cette équation , et la résolvant successivement, par rapport à w et à 4, on obtient les deux

expressions

—: cs en h(h—e) 1 h 7 ne = = [VUe —e ) + are (cos. =") |,

qui embrassent le problème sous tous ses aspects.

Lorsque le mobile tombe d’une petite hauteur , e est très-petit par rapport à d, et d ne diffère que très-peu

de r; la première expression se réduit à ? Ï D V'eg.

: h—2e Quant à la seconde, observant que arc Ce

p 6 : he—e? :

=arc| sin —2 ral etque le sinus > 4 à

étant très-petit, peut être confondu avec son arc, elle

hé

se réduit, en négligeant e*, de, à

très-petit par rapport à

LE

ar.

; Ve. 2Vre= =

Ces valeurs de v et de £ sont les mêmes que celles dé- Juites ci-dessus pour le mouvement uniformément accéléré. On peut donc, ainsi que nous l’avious dit, considérer la pesanteur comme une force accélératrice constante.

Les deux équations fondamentales (y), (z), s'appliquent également au cas du mouvement variable retardé, comme nous le verrons en son lieu.

ACCORD ( Musique). Co-existence de plusieurs sons dont les intervalles sont consonnans. L'accord est parfait lorsqu'il se compose de la tierce, de la quinte et de l’octave du premier son. ( J’oyez Musique.)

ACCORES ( Architecture navale ). Supports d'un vaisseau en construction. Ce sont des pièces de bois placées obliquement.

ACCROISSEMENT ( 4/gèbre). On appelle accroissement l'augmentation que reçoit une quantité variable. Cet accroissement peut être fini ou infiniment petit; dans le premier cas il prend le nom de DiFFÉRENCE et se désigne par la caractéristique A; dans le second, il

prend celui de DtFFÉRENTIELLE et se désigne par la caractéristique d. Ainsi Ax représente l'accroissement fini ou la différence de la variable æ, et dx son accroissement infiniment petit ou sa différentielle. Lorsque dans une fonction quelconque d’une variable x que nous désignerons par gx, æ reçoit un accroissement Ax ou dx, elle devient alors 9 (x + 4x) ou ? (x + dx) et croit conséquemment d’une manière

correspondante à l'augmentation de la variable; ces accroissemens se désignent encore par Agx et dpx et se nomment respectivement la différence et la différentielle de la fonction gx. Les accroissemens des fonctions ont des lois particulières qui sont l’objet d’une branche de la science des nombres nommée CaLcur DES DIFFÉRENCES, et dont les deux subdivisions principales forment le calcul des différences finies et le calcul des difftrences infiniment petites où Île calcul différentiel. ( Foyez ces mots. )

ACHARNAR ( Astr. ). C'est le nom arabe d’une belle étoile de première grandeur, qui est à l'extrémité de l’Éridan. Elle est désignée dans les catalogues par la lettre «.

ACHROMATIQUE (Optique). De xropx couleur, et d’z privatif; nom donné par Lalande à une lunette qui corrige l'aberration de réfrangibilité ; phénomène produit par la décomposition d’un faisceau de rayons parallèles, qui en traversant un milieu diaphane, se divise en différentes couleurs. Pour que l’image d’un objet soit bien distincte et bien nette, il est cependant nécessaire que ces rayons se réunissent au même point. Oa à cru long-temps qu’il était impossible de construire des instrumens au moyen desquels on püt arriver à ce résultat si important pour la précision et la régularité des observations. L’illustre Newton, lui-même, a fait à ce sujet des expériences imparfaites, et le télescope construit d’après ses calculs et ses plans ne remplit point ce hut. Vers le milieu du xvin° siècle le savant Euler proposa d'employer des lentilles composées de substances différemment réfringentes. Il pensait que les veux sont achromatiques , c’est-à-dire qu'ils réunissent en un point toutes les espèces de rayons colorés. D’après ce principe il ne suffisait plus que d’imiter la nature pour parvenir au même résultat. Dollond , célèbre opticien anglais, appliqua le calcul d'Euler, en employant les réfrangibilités résultantes des expériences de Newton, et se convainquit de l'impossibilité de réussir par ce moyen. Une polémique s’éleva à ce sujet entre Euler et Dollond. Un tiers, Klingenstierna, mathématicien suédois, se mêla à la discussion, et parvint à prouver à Dollond que l’expérience de Newton reposait sur une erreur. Après divers essais, cet opticien mesura la force de dispersion de plusieurs substances ; il trouva que celle des verres qu’on appelle en Angleterreflintglass et crownglass était dans le rapport de trois à deux ; il employa ces deux espèces de verres à former une lentille qu'il parvint à rendre achromatique , en ce sens qu’elle diminuait considérablement les aberrations de réfrangibilité et même de sphéricité.

Les objectifs achromatiques qui ont été long-temps composés de deux lentilles de crownglass, séparées

par un verre de flintglass, concave des deux côtés,

ne se forment plus aujourd’hui que de deux verres accolés, dont l’un est une lentille de crownglass et l'autre un verre de flintglass bi-concave. (Joy. OPTIQUE.)

ACLASTE (Optique). Nom des figures qui laissent passer les rayons de la lumière sans les réfracter, quoiqu’elles aient toutes les propriétés requises pour opérer la réfraction. Ce mot a été inventé par Leibnitz. (Foyez Leibnitz op. tome n1, page 203.)

ACOUSTIQUE. C’est une des branches de la physique générale qui a pour objet le mouvement vibratoire des corps considéré dans ses effets sur les organes de l’ouïe, ou dans la production des sons.

On appelle mouvement vibratoire, les oscillations que font les molécules d’un corps élastique pour reprendre leur position primitive lorsqu'elles en ont été écartées par l’action instantanée d’une force quelconque. Ce mouvement est rendu sensible à l'œil dans une lame de ressort maintenue-fixément par une de ses extrémités et dont on écarte l'extrémité libre de sa position d'équilibre; dès qu’on abandonne cette extrémité à elle-même, la lame revient vers sa première situation, la dépasse en vertu de la vitesse acquise, retourne de nouveau en arrière, et exécule une suite d’oscillations d’une étendue de plus en plus petite, jusqu'a ce que, par la perte successive de force due à la résistance du poiut d'appui et à la communication du mouvement à l’air environnant, elle rentre dans le repos.

Lorsque ces vibrations, communiquées à l'air environnant, sont assez rapides et assez fortes pour arriver de proche en proche à la membrane du tympan d’une oreille humaine, agiter cette membrane et se transmettre à l'air renfermé au-dessous, elles produisent sur les nerfs acoustiques une impression de laquelle résulte la sensation du son.

Siles vibrations d’un corps sonore sont appréciables et régulières, elles forment le son distinct, ou le son proprement dit ; lorsque ces vibrations sont irrégulières elles forment le bruit.

L’acoustique est particulièrement la science des sons distincts; elle les envisage : 1° Dans leurs modes de génération selon les divers corps sonores ; 2° Dans leurs rapports numériques; 3° Dans leur propagation; et,

afin, 4° Dans la sensation ou l’ouïe.

La génération, la propagation et les rapports numériques des sons forment la partie mathématique de l’acoustique; l’ouïe est l'objet de sa partie physiologique.

L'acoustique, restreinte pendant long-temps à la considération musicale des sons, a été cultivée dès la plus haute antiquité, et Pythagore n'est pas moins célèbre par la découverte des rapports entre les longueurs des cordes vibrantes qui rendent différens tons, que par ses autres travaux. Cette science fit cependant peu de progrès jusqu’à la fin du xvn° siècle, C’est à Sauveur, mem-

AC

bre de l’Académie des sciences, qu'est dü l'honneur d’avoir fait de la théorie des cordes vibrantes et de son application à la musique, une des branches importantes de la physique. Après lui, Taylor, danssa Méthode des incrémens, a traité le même problème des cordes vibrantes d'une manière beaucoup plus approfondie; Daniel Bernouilli développa ensuite et généralisa la théorie de Taylor; mais la solution générale et rigoureuse du problème est due à Euler et à d’Alembert. Notre iliustre Lagrange s'est également occupé de cette question qui paraît avoir donné naissance au calcul des differentielles partielles.

Malgré tous ces travaux l’acoustique se bornait encore à quelques considérations particulières, lorsque l’admirable découverte faite par Chladni, de la vibration des surfaces élastiques, en ouvrant un champ vaste et nouveau aux mathématiciens et aux physiciens, a permis enfin d’embrasser la production du son dans toute sa généralité, d'étendre le domaine de sa science et d’en compléter l’idée. Les expériences de Chladni sont consignées dans son Traité d'acoustique, publié en 180g.

Depuis cette époque M. Savart, en généralisant et variant les expériences de Chladni, s’est élevé à des considérations nouvelles dont les conséquences, pour l'étude de la constitution moléculaire des corps, font de lacoustique une des sciences les plus utiles et les plus intéressantes. [l s’est attaché aux mouvemens individuels des molécules ; il a déterminé le sens, les lois et les caractères physiques des divers modes d’ébranlemens qu’elles peuvent recevoir ; la transmission à toute la masse d’un corps du mouvement vibratoire imprimé à certaines de ses parties; la communication de ce mouvement aux corps contigus; les modifications que reçoivent ces phénomènes par la nature particulière des divers corps solides; et, enfin, 1l a déduit, d’une immense suite d'observations, une analyse des organes de l’ouïe et de la voix, supérieure à tout ce qu'on avait pu tenter jusqu’à lui. Aidés de ces nouvelles données, MM. Porsson et Cauchy ont déterminé les équations du mouvement vibratoire en considérant les corps élastiques, dans lesquels il s'opère, comme de simples agrégats de molécules matérielles, retenues en équilibre par des forces inconnues, mais assujéties à la condition de décroitre rapidement avec la distance. Les formules auxquelles ces géomètres sont parvenus se sont jusqu'à présent trouvées complètement d'accord avec toutes les observations qu'on a pu leur comparer.

Nous traiterons des rapports numeriques des sons à l'article Moxoconpe ; de leur génération par la vibration des corps sonores aux articles : Corpes vipranres, Corps SONORES, SURFACES ÉLASTIQUES ; et de leur propagation aux articles : Sox, Écno, Porrr-voix, CORNET ACOUSTIQUE.

ACRE. Ancienne mesure de superficie différente

AC

selon les pays. En France, l'introduction du mètre a fait disparaître cette variété de mesures qu'on rencontrait d’une province à l’autre, et dont ilest à désirer que le souvenir puisse s’effacer entièrement. L’acre d'Angleterre contient 43,560 pieds carrés anglais, ou 4840 yards carrés. Le pied anglais, tiers du yard , vaut 3 décimètres 48 millimètres, ou exactement 3,04794409 décimètres, et conséquemment l’acre équivaut à 0,404671 hectare.

ACRONIQUE ( Astronomie ). On appelle lever acronique le lever d'une étoile au-dessus de l'horizon au moment ou le soleil se couclie. On nomme également coucher acronique, le coucher des étoiles qui s'effectue en même temps que celui du soleil, Ce lever et ce coucher sont les opposés du lever et du coucher cosmiques qui ont lieu dass l’instant où le soleil se lève. (Foy. Lr- VER. )

ACTION (Mécanique). On désigne sous ce nom l'effort que fait un corps ou une puissance contre un autre corps où une autre puissance, où plus exactement le mouvement qu'un corps communique réellement ou tend à communiquer à un autre corps.

Si un corps est sollicité par des actions égales et contraires, il demeure en repos; mais si l’une des actions est plus forte, elle déterminera le mouvement en détruisant d’abord l’action opposée et en agissant ensuite par son excès de force.

Il est bon d'observer que l’action d’un corps sur un autre dans un espace qui se meut d’une manière quelconque est la même que si l’espace était en repos; ainsi le mouvement des corps à bord d’un bâtiment qui fend les flots s'effectue de ta même manière que si le bâtiment était en repos; le mouvement de la terre autour de son axe ne produit aucun effet sur l’action des corps et des agens à sa surface. En général l’action d’un corps sur un autre ne dépend que de son mouvement relatif.

QuanriTé D’acrION. Terme employé par Maupertuis pour désigner le produit de la masse d’un corps par sa vitesse et l’espace parcouru. On doit à ce savant le principe suivant : Lorsqu'il arrive quelque changement dans la nature, la quantité d'action qui Le produit est La plus petite possible. Ce principe, désigné sous le nom de LEx PARGIMONLE ( Loi d'économie), est, malgré les plaisanteries de Voltaire, une des lois les plus importantes des sciences physico-mathématiques, et il en résulte plusieurs conséquences très-importanres qui seront exposées successivement. Maupertuis y fut conduit en cherchant les lois de la réfraction, et l’appliqua ensuite à celles de l'équilibre ainsi qu’à celles du choc des corps; il s'éleva même à des considérations d’un ordre supérieur en concluant que les lois du mouvement ramenées à ce principe et jointes à la notion métaphysique des causes finales, étaient à ses yeux une preuve plus convaincante

de l'existence de Dieu , ou d’une cause première intelligente, que tous Îles autres argumens puisés dans l’ordre de la nature.

Euler a fait une brillante application de la Loi d’économie dans son ouvrage : Methodus inventendi lineas curvas mactmi, vel minimi proprietate gaudentes. 1 prouve que pour les trajectoires que les corps décrivent par des forces centrales, la vitesse multipliée par l’élément de la courbe est toujours un minimum. Depuis, Lagrange, à l’aide du calcul des variations qu’il a découvert, a démontré de la manière la plus rigoureuse et la plus élégante que leiprincipe s’étendait à tout système de corps soumis aux lois de l'attraction, et agissant d’ailleurs les uns sur les autres d’une manière quelconque. C'est particulièrement à cette belle proposition de Lagrange,qu'on a attaché en mécanique le nom de Principe de la moindre action. ( Foy. Taasecroine.)

ACUTANGLE (Géométrie). Triangle acutangle ; c'est celui dont les trois angles sont aigus. Qn le nomme encore triangle oxigone. ( Foy. Notions PRÉLIMI- NAIRES, 39.)

ACUTANGULAIRE ( Géométrie). Section acutangulaire d'un cône; cest la section d’un cône faite par un plan oblique à son axe. (/’oy. Cônr.)

ADAR. Nom du douzième mois de l’année lunaire des juifs. Il était de 30 jours dans les années embolismiques, et de 9 jours dans les années communes. (Poy. ANNÉE.)

ADDITION. Opération dont le but est d'exprimer l& valeur totale de plusieurs nombres par un seul.

Appiriow, en arithmétique , est la première des opérations fondamentales de cette science. Elle est simple ou composée : simple, lorsque les quantités qu’on veut ajouter sont toutes des nombres entiers; composée, lorsque ces quantités contiennent des parties fractionmaires.

L’addition simple est donc la méthode de réunir, en un seul, plusieurs nombres entiers, exprimant d’ailleurs des collections d’un même objet.

Pour ajouter ensemble de petits nombres, tels que 5et 4, il ne faut qu'ajouter successivement à l’un d’eux les unités qui composent l'autre : ainsi où dirait, 5 plus 1faitG, G plus 1 faits, 7 plus 1 fait8, et enfin 8 plus 1 est égal à 9. Par l'habitude, on acquiert la facilité de faire tout d’un coup de semblables opérations, et cela est nécessaire pour pouvoir additionner de grands nombres, eu suivant la règle que nous allons exposer.

Règle. Ecrivez les nombres que vous voulez ajouter les uns sous les autres de manière que les chiffres de même ordre se correspondent, c’est-à-dire que les uni tés soient sous les unités , les dixaines sous les dixaines, les centaines sous les centaines, etc., etc.

Ajoutez successivement ensemble les chiffres de la

première colonne verticale ou de la colonne des unités. S'il en résulte un nombre plus grand que 9, et qui, par conséquent, renferme des dixaines et des unités, écrivez les unités seules sous la colonne des unités, et réservez les dixaines pour les ajouter avec les chiffres de la colonne suivante; ajoutez ensuite les chiffres de la colonne des dixaines, écrivant de nouveau les unités du résultat sous cette colonne, et retenant les dixaines de ce résultat, s'il yen a, pour les ajouter avec les chiffres de la colonne suivante. Continuez ainsi de colonne en colonne jusqu'aux chiffres de la dernière, dont vous écrirez la somme telle qu’elle aura été trouvée.

Ainsi, pour additionner les nombres 79345 , 6854,

les a

364, 9876 et 32624, on les écrira les uns sou

ainsi qu'il suit 79345 32624

Et, commencant par la colonne des unités, on dira: 5et 4 fonto, 9 et 4 font 13,13 et 6 font 19, 19 et4 font 23 ; on écrira 3 sous cette colonne, eton retiendra 2. Passant aux dixaines, on dira : 2 de retenu et 4 font 6, et 5 font 11, et 6 font 17, et 7 font 24, et 2 font 26; on posera 6, eton retiendra 2. Passant aux centaines, on dira : > de retenu et 3 font 5, et 8 font 13, et 3 font 16, et 8 font 24, et 6 ront 30; on posera o etonretiendra 3. Passant aux mille, on dira : 3 de retenu et 9 font 12, et 6 font 18,et 9 font 27, et 2 font 29; on posera 9 et on retiendra 2. Enfin, arrivant aux dixaines de mille ,on terminera en disant: 2 de retenu et 7 font 9, et 3 font 19, et l’on écrira 12.

Ainsi, 129003 est la somme des cinq nombres proposés.

Siles nombres qu’on veut additionner étaient composés d’entiers et de fractions décimales, la règle serait absolument la même; car les chiffres, croissant toujours de dix en dix, en allant de droite à gauche, il faudrait seulement encore écrire dans une même colonne verti- ‘cale les chiffres d’un même ordre ; en se réglant sur ceux des unités, opérer l'addition colonne par colonne, comme nous venons de le faire, sans porter aucune attention aux décimales , et placer à la fin de l'opération la virgule qui doit séparer les chiffres entiers des chiffres décimaux, immédiatement avant la colonne des unités.

Exempes.

AD

Lorsque les fractions qui accompagnent les entiers sont des parties déterminées de l’unité, et dont le nom suffit pour connaitre leur rapportavec cette unité, telles, par exemple, que des onces à l'égard delalivre de poids, des sous à l'égard de la livre monétaire , etc. , l'addition prend le nom de complexe. Pour exécuter‘une addition complexe , il faut encore écrire les quantités de même nature les unes sous les autres. Par exemple, s'agital de quantités composées de livres, onces et gros, on écrira les livres sous les livres, les onces sous les onces, les gros sous les gros, en faisant correspondre dans une même colonne verticale les unités du même ordre de

chaque espèce en particulier.

ExempLes.

livres. onces. gros. livres. sous. deniers.

198 14 6 256 19 11 64 7 3 370 715 006 170415 7 834 13 o 8:13. 2 74 15 ro

On prendra d’abord la somme des plus petites espèces, et l’on verra si cette somme ne contiendrait pas une ou plusieurs unités de l’espèce plus grande ; dans ce cas, on retiendrait ces unités, et l’on n'écrirait que le surplus sous la colonne additionnée. C’est ainsi que, dans le premier exemple , la somme 18 des gros étant équivalente à 2 onces 2 gros, on n’a écrit que 2 sous la colonne des gros, et l’on a conservé 2 pour ajouter avec les onces. La somme des onces étant 49 , et conséquemment 51 avec les 2 de retenu , cette somme équivaut à 3 livres 3 onces; on a donc écrit seulement 3 sous la colonne des onces ; et l’on a reporté 3 pour ajouter avec les livres. C’est de cette manière qu'on a trouvé la somme 220 livres 3 onces 2 gros.

Dans le second exemple, pour chaque 12 deniers, on a reporté un sou à la colonne des unités de sous, pour chaque 20 sous, 1 livre à la colonne des unités de livres.

Depuis l'établissement en France du système décimal, les opérations complexes n’y sont plus exécutées pour les besoins ordinaires que par une vieille routine qui se perd de jour en jour. Mais il est essentiel de comprendre le principe de ces opérations, lorsqu'on veut calculer des mesures étrangères dont les subdivisions sont sur une autre échelle.

Appiriox de fractions. Lorsque les fractions proposées ont le même dénominateur, il suffit d'ajouter ensemble les numérateurs , et de donner à leur somme le dénominateur commun: c’est ainsi qu’on trouve que

la somme de £ et de À est, et que la somme des

dr se TER EE TL ER

évidente, puisqu'il s’agit d’additionner des quantités de

quatre fractions est #. Cette règle est

même espèce , savoir : des douzièmes dans le premier

AD

cas, et des quinzièmes dans le second ; ce qui ne peut danner pour résultats que des quantités de même nature, le dénominateur ne faisant que donner le nom des unités de la fraction.

Si les dénominateurs sont différens, comme on ne peut ajouter ensemble que des quantités de même nature, et qu'il est impossible de réunir, par exemple, x et ! dans une somme qu'on‘puisse nommer 2; il faut réduire les fractions au même dénominateur , ce qui ne change pas leurs valeurs, et ce qu'on effectue, pour deux fractions, en multipliant les deux termes de chacune d’elles par le dénominateur de l’autre; et, pour plusieurs fractions, en multipliant les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs de toutes les autres ( J’oyez Fracriows ). Cela fait, on additionne tous les numérateurs, et on donne à leur somme le dé-

nominateur commun.

ExEmpPLes.

CRT

ainsi

15. On demande la somme des trois fractions #, 2,2. On réduit d’abord ces fractions aumême dénominateur, et l'on a

Additionnant ensuite les numérateurs 765, 952, 144,

on obtient pour la somme demandée ———.

Avopirion, en algèbre , est l'opération par laquelle on trouve la somme de plusieurs quantités algébriques. Il faut ici tenir compte des signes dont les quantités sont affectées. Par exemple, S'il s’agit d'additionner + a ct +6, on exprimera la somme par + a+ b; lorsqu'on aura La et + 5a, on écrira + {a+ 5a , et en réduisaut + ga. Mais s’il s'agissait de + a et de — D, cette somme serait a— b. En effet, la quantité b précédée du signe — est ce qu’on nomme une quantité ncgative, c'est-à-dire une quantité douée d’une fonction de diminution, et qui doit.exercer cette fonction partout où on l’ajoute (J’oyez ALGEvrE). Ainsi, la somme de + 34 et de — a sera + 3a— a, où +2a en réduisant ; celle de +4a et de —5a sera + {a—5a, où —a; et ainsi de suite. Lorsque les quantités qu’on veut additionner sont composées de plusieurs termes, il faut les écrire les unes sous les autres, en faisant correspondre les termes où se trouvent une même lettre précédée ou

non de coefficiens numériques; on réduit ensuite cha-

que colonne verticale en un seul terme, par l'addition des coefficiens numériques, comme nous venons de réduire + 4a+5a et Æ4a— 5a, en opérant suivant les signes.

ExempLes.

On demande la somme des quantités 7a+ ob— 3e, 5b— 4ja+Sd et 9c—oa— 10b— 114. Ecrivant ainsi

qu'il vient d’être prescrit , on aura.

ja + ob —3c — ha 68 +84 — 2a —10b +ogc —11d.

Or,

La somme demandée sera donc a + 4b+Gc—3d.Toute quantité qui n'est précédée d'aucun signe est supposée positive , ou avoir le signe +-.

On trouvera de même que la somme des quantités

suivantes, écrites dans l’ordre désigné

— quai + Bab — 5a«b? + Gac

ai—11ab — 5ac+Gad+e — Sai + ja + 3ad+5e — ab -— Cab? + 4ac —3e,

est égale à

—rai—riaib— hab + Sac +oad+ 3e.

Apprrion de fractions algébriques. Opération qui a pour but de trouver la somme de plusieurs fractions algébriques.

Si les fractions ont le même dénominateur , on additionnera les numérateurs , et on donnera à leur somme.

le dénominateur commun. Ainsi on a

a 5a. Ba 204 nai be 0 A0) dd aib

5a 104 3a hé 24

178, 190 tuagbn «M8

5a’b 2@b Sac? 2 jab—5ac?

chier

Lorsque les fractions ont des dénominateurs différens, on commence par les réduire au même dénominateur ; ce qui s'effectue de la même manière que pour les fractions numériques, en multipliant les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs de toutes les autres, et ensuite on opère l'addition

comme il vient d’être dit.

ExEmpLes.

. . 3a' 94 5c de.