Tous les cercles quelconques sont semblables entre eux
25. Les secteurs de différens cercles formant au centre des angles égaux entre eux, sont aussi semblables entre eux.
26. Les circonférences de cercles différens, de même que les arcs qui sous-tendent des secteurs semblables, sont entre eux comme les rayous de ces cercles.
27. Les surfaces des cercles, de même que celles des secteurs circulaires semblables , sont entre elles comme les carrés de leurs rayons ou de leurs diamètres.
28. La surface du cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon ; ou bien à la moitié du produit de la circonférence par le rayon.
29. La surface d’un secteur circulaire est égale à la moitié du produit de son arc par le rayon.
30. Turonèue. Trouver le rapport du diamètre à la circonference ; ou bien, le rayon étant supposé égal à l'unité, trouver la demi-circonférence.
Ce rapport étant trauscendant, comme nous le verrons plus loin, la géométrie élémentaire ne peut résoudre le problème que par approximation. £i l’on considère que la circonférence ‘est plus grande que tout polygone inscrit, quel que soit le nombre de ses côtés,
et plus petite que tout polygone cireonscrit, le moven
le plus simple qui se présente pour arrlver à une évaluation approchée de la circonférence, consiste à calculer les périmètres de deux polygones, l’un inscrit et l’autre circonscrit, et d’un nombre de côtés assez grand pour que la différence de leurs périmètres soit au-dessous du degré où lon veut pousser l’approximation : alors la grandeur de la circonférence qui est entre cellesde ces périmètres sera connue d’une manière satisfaisante.
C’est ainsi que le rayon du cercle étant 1, on trouve :
Polygones inscrits.
Nombre de côtés. Demi-périmètres.
3 Se seotcese 30000001 6 sosie DJ: 1000200 12 ss sos ses J1020200 24 ss: 01909002 48 sssse.sse. 31410319 96 soccer 91414020 102 essossoss 3,1415576 384 ssssesces. 3,1415839 768 coossssse 3,1415004 1536 sissscses 31410020
Polygones circonserits.
fMombre de côtés, Demi-périmètres.
3 séscsosor 34041016 6 ssl 2 1000 12 Sos ose cs 1021000000 24 ss sos 1914008002 43 sessreoie 3,1427140 96 ss ss see 31410 TOI 192 sieste MO: 1410030 384 sessssses 3,1416102 768 ses... 3314150790 1536 soso. 3,1410987
La demi-circonférence du cercle tient le milieu entre deux demi-polygones inscrit et circonscrit d’un même nombre de côtés; mais elle n’en est pas la moyenne arithmétique. L’algèbre nous apprend qu'il faut ajouter à la première valeur, non la moitié, mais le &ers de Leur différence, pour avoir la valeur très-rapprochée de la demi-circonférence du cercle. En faisant ce ealcul, voici les résultats qu’on obtient :
3 o..s.or.s 3,1423497 6 ........: 3,1416391 13 scies. 31415955 2H Lthareeacee 0;1410029 HO Re eeee. J1410027 96 Ve 3,1415927 192 +. à 3,1415927 Stat EN . 3314159027 RENE ETS 3,14150927 130 see 3,1415927
Les six derniers nombres de cette table, absolument égaux entre eux, prouvent que le rayon étant supposé égal à l'unité, la demi-circonférence est 3,1415927, sans qu'il y ait l'erreur d’une unité sur la septième décimale.
Le rapport 1 : 3,1415927 peut se réduire à des rap-
ports plus simples, en réduisant 199%%%%% en fraction
continue (voyez ce mot). On en retire les quotiens successifs 3, 7, 15, 1; d'où il résulte les rapports suivans :
De tous les nombres, ceux-ci sont les plus petits qui expriment le plus exactement possible le rapport du rayon à la demi-circonférence, ou du diamètre à la circonférence.
Archimède est le premier qui se soit occupé de cette recherche importante : il yemploya les polygones inscrits et circonscrit de 96 côtés chacun, et trouva que ce rapport devait étre renfermé entre les limites 9:92 et 71: 223. Le premier revient à 3,1425; l'autre à 3,1408 : ils différent donc du véritable rapport, savoir : l’un de 5 par excès, et l'autre de ès par défaut.
Adrien Métius, géomètre de Franeker, se rendit célèbre par la découverte des nombres 113 : 355, dont le plus grand mérite est d'être faciles à retenir , ce rapport étant composé des trois premiers nombres impairs 1, 3, 5, répétés chacun deux fois de suite. Il revient à 3,1415929 : ainsi, il ne diffère du véritable, par excès, que de =.
Avant Métius, Ludolph Var Ceulen, avec un travail d'une longueur effrayante , en continuant les calculs d’Archimède, par l'inscription et la circonscription des polygones, porta à 34 le nombre des décimales exactes du rapport. Plus récemment, l'infatigable Lagny, à l’aide de nouveaux moyens, poussa l’approximation jusqu'à la cent vingt-huitième décimale. Enfin, on trouve ce calcul porté à 155 décimales dans un manuscrit de la bibliothèque de Ratclif, à Oxford. Ainsi, le rayon du cercle étant 1, la circonférence est égale à
3, 14159 26535 80793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 69384 46095 5o582 37172 53594 08128 4802 + etc...
Cette approximation étant de beaucoup au-dessus de ce que peuvent exiger les calculs les plus délicats, nous pouvons mettre le rapport du diamètre à la circonférence au nombre des quantités entièrement connues.
CE
31. Eu désignant le nombre 3,141592... etc. par la lettre grecque #, qui lui est généralement consacrée, nous aurons, d’après ce qui précède (24, 26, 27, 28), R, Cet S étant respectivement le rayon, la circonférence
et la surfac d’une cercle quelconque,
D'où C—=2r.R
S = 2r.R XÈ=r.Re.
Ainsi, lorsque le rayon d’un cercle est connu, on trouve sa circonférence en multipliant ce rayOu par 2, et sa surface en multipliant par + le carré de ce même rayon.
32. Exposons maintenant quelques-uns des moyens que possède la science pour déterminer directement la nature et la valeur de ce nombre r.
Soit z un arc quelconque de cercle, et x la tangente de cet arc, ou soit (a)
T—=tangz,
le rayon du cercle étant 1.
Il s’agit donc de dégager z de cette équation; car le problème sera résolu quand on connaîtra la valeur d’un arc par celle de sa tangente. En effet, si nous pouvons obtenir une expression générale qui donne z en fonction de æ, comme on sait que la tangente de l'arc égal à la huitième partie de la circonférence est égal au rayon, en faisant dans cette expression æ=— 1 On aura ÿr —2, et x sera déterminé. Pour arriver à ce résultat, prenons la différentielle des deux membres de (a), nous aurons
z = dtang z.
Mais
sin z cos z.dsin.z—sinz.d cosz cos?z
d'ange =a[ TE — !
Or, dsinz— coszdz et dcosz — — sin z dz (Voyez
DrrréRENTIELLES). Substituant ces valeurs, nous obtien-
drons cos?z. dz + sin°z. dz diangs = — cos?z ou dz dtangz — ; cos?z
à cause de cos’z+sinz=1.
Cette dernière égalité nous donne () dz=cosz.dtangz.
Mais, pour faire disparaître la quantité auxiliaire cos’z, rappelons-nous que
sinz = cosz.tangz,
CE
et que, par conséquent,
cos:z + cos?z.tang?z = 1.
D'où l’on tire
CUS?3 — Re 1 +tang?z Substituant daus (b) , nous aurons
dtangz 1-+tangz
ou (c)
dx 1+ 2x2?
en remplaçant tangz par x,
En prenant l'intégrale des deux membres de cette égalité, nous obtiendrons (d)
dz—
3 — -E Us GC; C étant une constante arbitraire que nous déterminerons plus tard.
Ainsi pour connaître l’arc z, il faut intégrer l'expres-
sion ——— ; cetteintégration se fait par série de la ma- 1+ x nière suivante : On a dx —— = dx (1+2)- I + zx? ( +
développant le binome (1 + x°) —1 par la formule de Newton (Woy. Binome), et multipliant ensuite chaque terme par dx, nous obtiendrons
JS var tar ads +
+ xfdx — etc. |.
Prenant l'intégrale terme par terme, en observant qu’on
a en général, LÉ Me TU si FE ms
cette expression devient
dx DENT M ET NDS IE FR RP NT TN TS
et nous avons définitivement (e)
FETE + etc...
x x° æ1 CC OR US
Quant à la constante, elle est nulle; car, si nous observons que lorsque z est o, nous devons avoirxæ = 0, et que dans ce cas, l'égalité (e) devient o = 0 + C, on voit immédiatement que C = o.
CE
Telle est donc la série qui donne l'arc par la tangente;
ainsi, faisant x — 1, cas Où nous avons z — +7, nous obtiendrons l’expression très-remarquable ( f). 1 tre:
—,f =4ii--+e—-+-— etc...
qui est due à Leibnitz et à laquelle il est parvenu par des procédés bien différens.
Cette série est très-peu convergente, mais on enseigne dans tous les ouvrages de mathématiques les moyens de la transformer en d’autres d’une convergence telle qu’il est plus facile d’obtenir 200 décimales exactes par leur moyen, que d’en calculer 20 par le procédé d’Archimède.
33. Les nouvelles fonctions introduites dans la science des nombres par Vandermonde et ensuite par Kramp, sous le nom de factorielles, donnent une expression du nombre, dont nous allons exposer la déduction comme
un exemple de leur usage.
Le binome des factorielles ( voy. ce mot ) étant appliqué au développement du trinome (a+4+b+4+c)1-—1 donne
(a+b+o) Ti (a+) (a)? ali c LE
+200 ED toc Multipliant les deux membres de cette égalité par a 011 elle devient (1)
(a+b+o) a li Cet) et ot
al 1
TC en ps c
ne Hb)i-si-iq=bis gai
b(b+1)(0- is 2)
sg —bt cit
HET ab)
+ etc...
Mais; nous avons en général (Voy. FacroneLces)
a" — alla — 17) et par conséquent, en faisant m— — m;b—— bet 2—=—1, a"! mie ui — CD) NX
Ainsi, en vertu de cette dernière expression, nous avons successivement go
(a-p3} 1 ri a°=t Ce ai
(ab) 1-1 à —bl 1 ali étc. etc.
CH TAaTiE La Ari .
Substituant dans (1), nous obtiendrons (ab Chr t.a- tt à Æ bia-tit, cils Æ b( G—2
+ —— —'g—2l-A1 ç 2-1 D(b—1)b—2) se 2812 La 1:23 ns Es is + etc.
ce qui devient, eu faisant c = — à
b bi, —Ù —1 =1#baT lt (a) +
b(b— + Le Sen
b( (b—1Xb—2) Es 1:29 + etc...
Mais on a généralement
ali
TND
Donc, l'expression précédente se réduit à (2)
ae ni ru Ce Et bfB=r), (=apttet
bôl 1,a—û SN tra (a+ bb—1)\b—92) (—aÿt-1
KE 1:270 Mo rt
Ceci posé, l'intégrale de la quantité prxPm—t,(1 —xr) est, en développant le binome (1—x?)",
PR f 2e ml —ar)"=pnf | amd —naxr rt) dx
ME Danmts)s de
