Le petit Triangle
12, Le petit Lion.
CONSTRUCTION pes ÉquarTIoNs (4/g. appl.). Procédés pour trouver les racines des équations par des opérations graphiques, c'est-à-dire par des constructions
Les constellations ajontéesger Malar;dues la partis éométriques effectuées à l’aide de la règle et du comaustrale, sont : & q
pas, ou par des descriptions de lignes courbes.
1. La Colombe, L . A re Rerlohus de Chates IL. Equations du premier degré. La forme générale de
3. La Grue. ( Voyez Payer.) | ces équations étant Ax—B ouAx=1 XB, il suffit decher- 4. Le Phénix. cher une quatrième proportionnelle aux lignes 1, AetB.
On prend donc une droite arbitraire pour unité; avec cette unité on construit deux autres droites égales à A ct B, puis on cherche la quatrième proportionnelle par l’un des procédés donnés dans Particle AppricarioN Î, n° 8. Cette quatrième proportionnelle est l’inconnue demandée.
Equations du second degré. X’équation générale du second degré est
+ pr +q—0;
petg pouvant être des quantités quelcopqnes, positives, négatives ou zéro. Prenant une droite arbitraire pour unité, construisons les droites p et g et ensuite deux autres droites A et B, telles que l’on ait
ce qui se fait en prenant pour À la moitié de p et pour B la moyenne preportionnelle entre B et 1 (voy. Arrz. I, n° 9.)Ces quantités étant ainsi déterminées nous pouvons donner à l’équation la forme tout aussi générale
x? + 2Ax + B: — 0.
Les racines de cette dernière sont (voy. HÉQuarions)
2= A+ VAE, 2eme VAT valeurs qu'on peut construire aisément à l’aide du cercle. En effet,avec un rayon AC—A ayant décrit un demi-cercleADB, prenons CE—B, et du
point E élevons la per- En ED qui À Le CE
coupe la circonférence en D, cette perpendiculaire sera
pendiculaire
égale à1/A°—B?, car en menant le rayon CD nous ayons le tri:pgle rectangle CDE qui donne
CÔ* — CE? + ED°
ou A2— B° +- ED?
donc ED — V/a°—B:
Si nous désignons ED par C, les deux vacines deviennent Le x —A+C,x=——A—C, ou ce qui est la même chose, x = (A—C,r=—(A+0 Ainsi abstraction faite du signe—, les deux racines sont la somme et la différence des deux lignes A et C.
Si le terme B* était négatif, les racines seraient
CO 2=—A4 VAE, x=—A VAE
et l’on construirait C— VA +Ben formant un triangle rectangle dont l’hypothénuse serait = C, les deux côtés de l’angle droit étant pris égaux à A et B.
Lorsque À est négatif, les deux racines deviennent
Elles sont donc, comme ci-dessus, la somme et la différencg des ligues A et C.
Dans le cas où B serait négatif et plus grand que A, la quantité v'A°—B: ne pourrait être construite :les racines sont alors imaginaires.
Equation du troisième et du quatrième degré. Les racines de ces équations peuvent toujours être déterminées par les intersections de deux sections coniques; mais la construction la plus simple est celle qu’on effectue par le cercle et la parabole. Soit yy"Ay"y" une parabole dont l'axe est AB et ©
Un a
JET MN le centre est C et le rayon
un cercle dont
Dal
Cy, coupant la parabole
dans les quatre points :
3Y,Y",; y'. De ces points, menons les ordonnées xy, x y", x'y", æ'y"; menons en outre CD perpendiculaire à l'axe et CE perpendiculaire sur TV. Faisons AD—a, CD—b, Ax—x, xy—y, ctdésignons par p le paramètre de ja parabole, et par r le rayon Ey du
cercle. Ceci posé, l'équation de la parabole est F° = PT)
et nous avons en outre
= CE + Er ou
Cy=(Ax—AD) +(xy—CD}
C'est-à-dire = (2—a) + (y by, ce qui donne, en développant, l'équation
x—2ax + a'+y--2b5 + —r.
- P'cais
Substituant pour æ la valeur æ=—°—, prise dansl'équa- P
tion }°=pæ, et ordounint par rapport puissances
de y, nousavons
D ERP np = 0
Equation du quatrième degré dont les racines sont
Fi—(2pa—p?) y —01
æÿ, à", "y", x"y". I suffit donc, pour construire tte équition du quatrième degré, de la faire coïncider dVéc cette dernière. Or, la forme générale de cès équations est, après avoir fait disparaître lé second térme (voyez BIQUADRATIQUE),
æxi + Aa +Bx+C=o; faisons donc À = — 9pa + p° B — — 2bp* C=(&+b—7p .
et déterminons à l’aide de ces égalités les quantités &, b; p;, r avec lesquelles nous construirons le cercle et la parabole. Pour cet effet, prenons une droite arbitraire pour unité, et choisissons en même temps cette unité pour le paramètre de la parabole, c’est-à-dire, faisons p—13 les coefficiens A, B, © étant ensuite construits avec cette unité; nous aurons quatre droites connues p, À, B, G. Mais les égalités ci-dessus donnent
Ar en 2p 2p B sn 2
FEV [ee].
Ainsi la Valeur de a se constrüira en prenant la somtié
ÿ ) : 44 = D ent de deux droites dont la première e ou P est la moitié
A 10 2 F de p, et dont laseconde est la moitié de À à cause
de p=1 : la valeur de b est simplement la moitié de B ; puisque p°=—1 ; quant à la valeur de r; où construira d’äbord une droite auxiliaire m2
puis on aurd PV Var
qui se construit sans difficulté.
Quant à la droite auxiliaire »2, puisque p—1, on rend son expression homogène en posant
m=\ Le Pa |
m=—= ve — Cp|
Ce qui revient à
Cette droite se construit en cherchant préalablement une moyenne proportionnelle aux deux droites C et p;
car en désignant cette movenne parz,ona
n'=Cp
co 367
ét par conséquent ,
ce qui ramène 72 à être le troisième côté d’un triangle rectangle dont b est l’hypothénuse, et » le second côté. Voy. A»pLicarion I, n. 2.
Les valeurs de a, b et r étant ainsi construites , après avoir décrit une parabole dont le paramètre soit 1 ou p, on prend sur l’axe, AD—a; du point D, on élève la perpendiculaire DC=b , et du point C comme centre, avec un rayon —r, on décrit un cercle : les ordonnées des intersections du cercle et de la parabole sont les racines de l’équation
ai Az +Br+C—0.
En discutänt les équations précédentes, on trouvera facilement le cas où toutes les racines sont réelles, celui où elles soût toutes imaginaires, et enfin celui où deux rcinés sont réelles, ét deux imagibiaires.
La construction des équations du troisième degré ne diffère de celle du quatrième, que parce qu’une des intersections du cercle et de la parabole se trouve à l’origine de l'axe, alors une des ordonnées s'évanouit, etles
trois autres sont déterminées par une équation à trois
dimensions ou du troisième degré, avec laquelle il suffit de faire coïncider une équation quelconque proposée du troisième degré pour constr üire géométriquement ses
racines.
Vièté, Getaldus et Descätes ont donhé la construction des équations simples du prémier ét Ua second degré. Ge dernier ainsi que Baker, dans sa Georetrical Key, ont montré en outre comment on pouvait résoudré les équations du troisième et du qduätrième degré par un cerclè et une parabole; mais l'idée première de leurs constructions est due à Sluzé . l'avait exposée dans son ouvrage, Mesolabium , part. »: Newton, dans son Ærithmetique universelle, traite cètte question en employant ion seulement les sections coniques, mais encore la conchoïde et la eissoïde qui se décrivent avec attant de facilité que ces dernières. Haileg , le marquis de L’Hôpital et Maclaurin se sont égalemeat oceupés de ces constructiüns, qui orit aussi fourni à Lähire le sujet d’un petit traité intitulé : La construction des équations , ainsi
ahalytiques. Nous renvetrons à leurs ouvrages
qu'aux traités plus récens d’äpplitation de l’algèbre à la géométrie; pour Loutes les constructions des équations supérieures au quatrième degré, les découvertes moderries sur Ja solution algébrique de ces équations aÿant rendu les constructions géométriques plus curieuses
que véritablement utiles.
CONTACT (Gomi.). Lé poñit de contact est celui
dans lequel une ligne droite touche une ligne courbe ou celui dans lequel deux lignes courbes se touchent.
Angle de contact. Voy. CoNriINcEN ce.
CONTENU (Géom.). Terme communément employé pour désigner le volume d’un corps : ainsi trouver le contenu d'un corps est la même chose que trouver sa solidité.
Par exemple le contenu d’un parallélipipède rectangle de 3 mètres de côté, est 27 mètres cubes, c’est-àdire que ce parallélipipède est renfermé dans un espace de 7 mètres cubes, ou que son volume a 27 mètres cubes.
CONTIGU (Géom.).Les angles contigus sont ceux qui ont un côté commun, et dont les autres côtés sont en ligne droite : on les nomme aussi angles adjacens. Voy. ce mot.
Onnomme corps contigus, ceux qui sont en contact absolu.
CONTINGENCE (Géom.). On nomme angle de contingence, un angle mixtiligne, tel que l'angle BA» formé par un arc de cercle An et la tangente AB au point A. On sait que la droite BC perpendiculaire à l’extrémité À du rayon, touche le cercle en un seul point, et qu’on ne peut tirer ancune ligne droite entre le cercle ct cette tangente (voy. Tancenre) et, par conséquent, que l'angle de contingence est plus petit qu’un angle rectiligne quelque petit qu’on puisse le supposer. La nature de cet angle a été l’objet de grandes disputes Dion à parmi les des siècles derniers.
Pelletier du Mans, Ozanarm et Wallis prétendirent que l'angle
géomètres mm,
de contingence n’était point un angle véritable, et qu'il n’existait pas. Clavius, au contraire, soutenait que cet angle était réel, mais d’une nature hétérogène à celle de l'angle rectiligne. Toute cette dispute ne reposait que sur un malentendu ; car l'idée d’un angle en général, telle qu’elle résulte de la considération de deux droites qui se coupent, est inapplicable sans modification à celui de contingence; les lignes droites sont des lignes dont toutes les parties ont une seule et même direction , et un angle rectiligne n’est que la différence des directions de deux droites. Îln’en est pas de mêmé de l'angle de contingence; la différence des directions de ses côtés varie à chaque point de son côté curviligne, puisque la nature de toute ligne courbe, en la considérant comme formée d’une infinité de lignes droites infiniment petitesconsiste principalementen cequelesdirections de deux partiesquelconques
co
qui se suivent immédiatement ne sont pas les mêmes. Il faut donc reconnaitre que ce qu'on nomme angle de contingence est une grandeur d'uue pature entièrement différente de l'angle rectiligne , et qui ne peut lui être comparée. Nous disons que l'angle de contingence est une grandeur, parce qu’il peut exister de tels angles plus grands ou plus petitsles uns que les autres, et parfaitement comparables entre eux. En effet quoiqu’on ne puisse faire passer une ligne droite entre l'arc Anet la tangente AB, on peut néanmoins faire passer une infinité d’autres cercles tels que AE, formant chacun un angle de contingence différent. Newton a démontré que le rapport de deux angles de contingence comme BAm, BA était l’inverse de celui des racines carrées des diamètres, c'est-à-dire qu’on a
Angle BA : angle BAn :: VAD: VAE
D'où il suit que ces angles peuvent être divisés en un nombre quelconque de parties égales ou proportionpekes, en décrivant des cercles qui passent par le point de contact.
L’angle de contingence ne se considère pas seulement par rapport au cercle : on nomme encore ainsi l'angle formé par un arc quelconque de courbe et la tangente à l'extrémité de cet arc. l’oy. pour plus de détails le premier livre des Principes, de Newton.
CONTINU (de continuus, qui ne cesse pas)se dit de toutes les grandeurs dont les parties s’entre-tiennent et ne sont pas divisées les unes des autres : surface continue , courbe continue, etc. Foy. ConrTinuiTé.
Fracrions conrinurs(A/g.).Espèce particulière de fraction dont le dénominateur est composé d’un nombre entier et d’une autre fraction qui a également pour dénominateur un nombre entier et unefraction, et ainsi de suite, L'importance des fractions continues, surtout dans l’état de généralité où elles ont été portées récemment, en font une des parties les plus importantes de la science des nombres ; nous allons donc en exposer là théorie avec quelques détails, en commençant par les plus simples de ces fractions; puis nous les considérerons comme mode particulier de génération d’une fonction quelconque d’une quantité variable; nous donnerons alors leurs lois générales, et nous terminerons par quelques applications intéressantes , en jetant un coup d’œil sur l'histoire de leur introduction dans la science.
N M’ telle que N soit plus grand que M. Si l’on divise N par
M et que l’on désigne le quotient par a, et le reste par N; on aura
