Problème premier. Réduire la fraction JE en frac

tion continue.

On a d’abord

, 11) dar net opérant sur 566 comme il a été indiqué (1), on trouve 115 266 36 1526 ns Th 36 __ 115 7 | ET | 2.763,50 0 | 15 56 = = —=5+ | Te = 1 à PRE

Er par conséquent

381 I 266 D'IPRES

7. Problème second. Trouver les-valeurs successives de la fraction continue

On construira les 2édiateurs suivans , en donnantaux quantités &r, &:, &3, etc., les valeurs 1, 2, 3, etc.

Ait B:=1 A0, 1—= -3 B:—2 A;=3A:1tA;— 10 B:=3B,+B— 7 Ai=4Aï+A,;—= 43 B;=4B:+B;— 30

As=5Ai+A3— 2925 A6—GA:5+Ai—13093 Ay=7A;+A5=0976

B:=5B,+B:= 157 Bc—6B:+4B:= 972 B,—9B;+B:—6c67,

et on aura par conséquent pour les valeurs successives

demandées De sr 08006 ?2 7° 30° 157° 972’ 6961 ?

dont la dernière est celle de la fraction continue entière.

8. Les médiateurs formant la partie principale de la théorie des fractions continues, et se trouvant étre d'un usage majeur dans une autre branche de l'algèbre, nous allons , ainsi que nous l’avons annoncé, généraliser la conception de ces fonctions en adoptant la notation qui a été proposée par M. Wronski, dans son Zntroduction à la Philosophie des mathématiques.

Soient a, a, a, ete. des quantités quelconques auxquelles nous donneronsle nom debases. En prenant

* lune de ces quantités ax pour former le premier médiateur, etsuccessivement lessuivantes &n41, 4m +2, @tC. prises ainsi dans un ordre direct, pour former les autres,

nous désignerons ces médiateurs par la notation sui-

[an | = An [ «| —= Ami [ «| +1 a 2 1 [< n | = in j-, [« » | + [an] = 3 a : :

vante :

CO

[< ».] = Gin+3 [ar] + [a] 4 3 2

etc.

[| nt [en] + «| n H— I n—,

Mais on peut également former ces médiateurs, en pre-

GLC:

nant les bases dans un ordre rétrograde, c’est-à-dire, en partant de la base a», et remontant aux basesam, m2, €ic.; pour exprimer cette circonstance, nous joindrons le signe — à l'indice de la première base dans

chaque médiateur, et nous aurons ainsi

[ | Gin [ « m— | = mise | an [ Am | — Un, [ con

An — | — Am—3 Am—

etcs

| Am— | =amnt] Am— | + [an] n : ni n—2

D'après cette manière d'exprimer les médiateurs, on voit que nous sous-entendons le signe 4- après l'indice

de la première base, dans les médiateurs directs,

9. Étant donné un nombre # de bases &n, @m4r, etc... Amyn—1. Si on forme une suite de médiateurs tant dans l’ordre direct que dans l’ordre inverse de ces bases, le dernier médiateur direct, c'est-à-dire celui dans la composition duquel entreront toutes les bases, sera égal au dernier médiateur indirect, et on aura

[ «| — [avr — | nm 112

IL est d’abord facile de voir que cela a lieu effectivement pour deux, trois, quatre, étc. bases, car faisant n— 1,92, 3,4, etc., et construisant les médiateurs correspondans , on a

[| — An ‘

[ar | —= nt Am 1 à

Lan] = (ln Has int in An +3 Am

etc. etc.

din — | = mn t

[emo — | — Un «Am +33

[amra- | —Am «+ Am Am +3 Am Un +3 etc. etc.

Ainsi, on peut déjà conclure que

[=] = [en | ; [ | —= [awrn- |] ; = [ ] —= [ A(m+2)— ] etc.

Il s’agit donc seulement de prouver que cela a lieu

pour un nombre quelconque n de bases. Pour cela , supposons que ce soit démontré jusqu'à un nombre n—+, c’est-à-dire qu’on ait

[on | = [rain ] , [an | — ps T1 2

= [amer] etc, etc.

D'après la construction des médiateurs, on a

[e.| = Ann: [an] - [an] n Ni Hs

Substituant dans cette égalité les médiateurs inverses aux médiateurs directs correspondans, elle devient

[er] =antr| Am+n—3)— | + [atmins | n n—i U—3

Mais d’après la formation des médiateurs inverses, nous ayons aussi

[ Afm+n—2)— js —Am [ A(n+n—2)— ] + N—a2 + | A(n+n—2)—

[ an | —=Gn | A(m+n—3)— n—a

+ | aura | n=—=$

Substituant ces valeurs dans l’égalité (7), on a (p)

[| = Am 11m Ï An+n—;)— | + n N—2

+ Am+n—. [ ana |

[ A{n+n—3)— | + [cer 2

+ am

CL) Or, comme nous avons supposé que l'égalité entre les médiateurs directs et inverses était démontrée jusqu’à un nombre 7—1 de bases, on a

| anim | —= [an + ] A3 A2

[ a . —= [ nv n—3 n—3 [ « mins | —= [ms '] n—3 n—3

Am+n—3)— | = [ar Bi, n— n—4

Valeurs qui, substituées dans l'expression (p) la change en (g)

[rw] —=in+n—; me | Am +x amtn—; Am+3 7e n—+a n—3

+ C7 | ans | + [em+. | n—

ou (7)

[an], == Am Am+n—i. [an + | :+ Lam. ja) +

+amyn-s] an. | + [an+:] n—3 n

Or, nous avons

mn. | am | + [an+ | = [an+:]

A—2 n—3 Ds

Annie [am | + [am ] = [am+. | , H—3 U— n—3

ct par conséquent (s)

[an] = an | am+ | + [am] n Ji—3 Ts

expression qui, en substituant aux médiateurs directs

[an+.] : [+] , les médiateurs inverses cor- —3 N—3

respondans | An+n— - | 3 [awinn- | , de- P— 1] n—32

vient [| — an] aurn-1 ] + | ann ] 72 H—; Ds Mais

Ami [ A{n+n—:)— el + [ann | =

— [ Ann) — 1.

co

Donc ona définitivement