DICO
Il résulte de cette propriété que les fractions
REA el
2! etc, sont irréductibles, ou qu’elles
be
sont déjà à leur plus simple expression car si =—
Le]
par exemple, avait un diviseur-commun à ses deux termes autre que l'unité, il s’en suivrait que le nombre
entier] a, | [ ,] [.] [e.] serait aussi divisible
par ce même diviseur, ce qui ne se peut à cause de
Lel{a]- [1
7. La différence qu'il y a entre deux fractions consécutives (c) est la plus petite possible, c’est-à-dire, qu'entre ces mêmes fractions , il ne saurait tomber aucune autre fraction quelconque, à moins qu’elle n’ait un dénominateur plus grand que ceux de ces fractions.
Car prenons, par exemple, les deux fractions
, leur différence est
ou
Le], Le
Puisque le numérateur se réduit à l'unité.
nr dre A :
Or, s'il existait une fraction ÿ dontla valeur tombât entre celles de ces deux fractions, et dont le dénomi-
nateur fût moindre que [a 'h ou que [a L il faudrait
A Le Ï que la différence entre et
El
qui est
ee:
fut plus petite que
B a], DER mais il est. évident a. | "
que cette différence ne saurait être plus petite que
ment plus grande que
, donc si B [ a], elle sera nécessaire-
; de même, la dif-
férence entre et ="
el
sera nécessairement plus grande que
ne pouvant être plus petite
. iB< |].
18. D’après ce qui précède , on voit que la différence entre deux fractions consécutives quelconques est toujours égale à l’unité divisée par le produit des dénominateurs de ces fractions, résultat qui est négatif, lorsque le médiateur qui forme le numérateur de Ja dernière fraction a un indice pair, et négatif dans le ças contraire.
En effet, on a
= (ie —— Mel
: PEN; ne 19. Un nombre fractionnaire NI étant réduit en frac-
h tion continue , on peut, d’après ce qui précède , déterminer toujours d’une manière rigoureuse la différence qui existe entre cette qnantité et les fractions consécu-
[el
tives qui en sont des approximations. Soit
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la dernière fraction consécutive, c'est-à-dire celle qui ; , N ; ;
est exactement égale à ==, p étant un nombre entict
quelconque plus petit que =, une fraction consécutive quelconque sera représentée par
et la différence entre cette fraction etla quantité Ni
par
ou par
LE oi PA FOIE
mais d’après le théorème du n° 14 le numérateur de cette dernière fraction se réduit à
en | an-p+.]
Nous avons donc définitivement, en faisant »m —p=—n
(alles
expression qui sera encore plus facile à calculer, si à la
on substitue
M—Nn— 1
place du médiateur direct [ant ]
le médiateur inversel an] équivalent, parce
qu’il ne faudra alors que calculer les trois suites de mé-
diateurs [a] : [a] , Lan} Suivant cette der-
; À : N À nière substitution la quantité =—=- ouest successi-
vement égale à
An MN — 1
Hit |
&, a, Mi NY
égalités au moyen desquelles on peut cannaître facilement le degré d’approximation que donne une des fractions consécutives quelconque.
—?—- en frac-
