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a Eh ©
1733 Le]. = 445
3 4 35 74 553 1733 Fr 9197 142? 445 etona 1733 398 nl = 3 TE NT —’» Le 47 FL) 45X1
2e ; 929 22 = » + TAFÈS 9 4 X9 — 7 Bat 19 445X 719 -23à } 142 445X 142
anisi à fraction “=,
par exemple, est plus grande que
la proposée de et la fraction F2 plus petite
de ————. On connait donc ainsi avec exactitude le 445 X 142
degré d’approximation que donne chaque fraction con-
sécutive.
22. Dans tout ce qui précède, nous n’avons considéré les fractions continues que dans leur acception arithmétique, et comme donnant la génération d’une quantité fractionnaire déterminée; il nous reste maintenant à les examiner dans leur acception générale, c'est-à-dire comme mode particulier de génération de toute quantité quelconque, on de toute fonction. d’une variable.
Avant tout, nous devons indiquer au moins la différence qui existe entre la génération d'une quantité donnée par l’un des modes primitifs et élémentaires de génération, et celle qui est donnée par un mode universel, tel que les fractions continues. Nous avons vu (Acc. 48) qu'il v’existe que trois modes élémentaires pour la construction des nombres, représentés par les formes générales.
A+HB—C, AXB=C, A5 =C, ;
Or, la construction d’une quantité par un de ces modes de génération est ce qui nous donne la nature particulière de cette quantité; par exemple, le côté d’un carré, étant l'unité, sa diagonale est égale à V/2, et cette expression ou cenombre \/2 nous fait connaître Ja nature de la diagonale dont la grandeur est incommensurable par rapport à l'unité. Mais si nous voulons évaluer cette grandeur, c’est-à-dire, si nous voulons la mesurer par la quantité prise pour unité, nous pouvons, soit par l'opération arithmétique de l'extraction des racines, soit en développant V2 en série par le binome de Newton, ou par tout autre procédé, trouver des nombres dont la grandeur ne diffère de celle de V2 que d’une quantité aussi petite que nous le voudrons ; ce qui nous permettra ainsi d'évaluer V/2, sinon .exactement du moins dans des limites aussi rapprochées que nous pourrons le désirer.
En examinant les diverses manières d'évaluer \/2, on voit aisément que l'opération de l'extraction des racines tout en nous faisant connaître des valeurs qui diffèrent
de moins en moins dela véritable, selon qu’on prolonge
co
davantage l'opération, ne nous apprend rien sur la /oë elle-même de cette évaluation; car ces Valeurs sont isolées les unes par rapport aux autres , et ne sont d’ailleurs quele résultat d’un tâtonnement de calcul, dont l'ensemble ne peut être déterminé. Ainsi, en se bornant
successivement à 1,2, 3, etc. décimales , on obtient
SA. ne LA ee 1,4145.,
évaluations dont les térmes ne sont liés par aucune loi. 11 n’en est point ainsi de la génération de ceite même quantité obtenue par un procédé général de développement, car cette génération est, en employant , par exemple , le binome de Newton
V1 +-Eete..
c'est-h-dne une série dont l'ensemble est donnè par son terme general; elle nous offre conséquemment une évaluation soumise à des lois fixes et déterminées.
Il est donc essentiel de distinguer dans la génération des quantités deux points de vue parfaitement distincts dont l’un porte sur la zature, et l’autre sur la mesure des quantités, M. W ronski est le premier qui ait établi cette distinction importante, et partagé la science des nombres en deux branches, dont la preinière sous de nom de THÉORIE, a pour objet les modes primitifs et indépendans de la géreration et de la comparaison des quantités, et dont la seconde, sous celui de rEcuntE, a pour objet les modes universels de cette generation et de cette comparaison (voy. Philosoph. de la Technie). Les fractions continues nous offrent précisément un mode de génération technique universelle, et de là dérive lextrème importance de ces fractions; importance que les géomètres modernes ne paraissent pas encore avoir complétement entrevue. Nous allons essayer de la mettre dans tout son jour.
23. Soit F(x), une fonction quelconque d’une quantité variable x, dont il s’agit d’obtenir l'évaluation ou la génération technique, en prenant pour 7»72esure une autré fonction 4x de la même variable. Décomposons d’abord la fonction proposée en deux autres A, et fx telles que l’on ait d’abord (1)
Fa) = fe
et qu'ensuite f& $0it toujours comparable avec la me-
sure px, où que le rapport de ces deux fonctions ne deviénne pas énfini , quelque valeur qu'on donne à +. Ainsi fix doit devenir zéro, lorsque @x devient zéro, et comme on à
cPYWHE &
F(x)—fox=A,
si nous désignons par un point placé sur z la valeur que prend la fonction F{x), lorsque x = 0, nous aurons
A, peut donc toujours être déterminé , et la décomposition (1) peut avoir lieu dans tous les cas. Mais fx devant toujours être comparable à #z, le rapport ex
ou son inverse
ox Je
sera une nouvelle fonction de gr, que nous exprimerons par F, (x), et que nous décomposerons de même en
F(z)=A:tfir;
fix étant une fonction comparable à gx et qui devient zéro lorsque $x=—0. Exprimant de nouveau le rapport
par F, (x), nous aurons pour troisième transformation
F{2)=A + fr
et, continuant de la même manière, nous trouverons en rassemblant les résultats,
F (x) = À + fx d'où F (*)=A
F;(x) = A: + fix F, (à) = A
F,(x) = A, + fx F, (à) =A,
F, (x) = A5 + fix F, (+) = Às
etc. etc. etc. etc.
ré Fi(x) d'où fx — F(&) PÆ,. pu: fa © F® FE Ex) = F:(xi Jx—= Fa)
etc. etc. etc. etc.
D'où, substituant ces valeurs les unes dans les autres (z)
F()=A+ Dre A,+@x A:+@r
A-etc.
Telle sera donc la forme de la génération technique de la fonction Fr, en employant la fonction gx pour mesure,et en ne considérant que les rapports inverses de cette
580 ée mesure. Si, au lieu de prendre +< repports inverses de ox avec chacune des fonctions suc essives fa fiT, fat etc., nous nous étions servis des rapports directs, nous cussions obtenu une autre génération technique dont nous n'avons point à nous occuper ici. Ÿoy. SÉRIES.
24. Pour mieux fixer les idées, supposons que la fonction F(x) soit W/{a+x), et que la mesure gx soit simplement x. En exécutant les opérations indiquées cidessus nous trouverons, en partant de
À = Vlati) = Va
ce qui nous donnera d’abord
LUE Ve) — = V/a à cause de F(a)— As = fr et de T = — F(x)
En faisant x—0 dans la valeur de F;x, nous devons obtenir celle de A;, mais comme cette valeur devient
0 : ; Te —, dans ce cas, il faut chercher préalablement à lui donner o
une autre forme. Or, en multipliant les deux termes
de F;(x) par V/(a+x)+v'a, nous obtenons
ports (a z)}—a
ce qui devient , en faisant x=o, F, (æ) = À, =°2V/a
Passant de ces valeurs à celles de fix et de F;(x), nous aurons, à cause de’,
fix =F(x)—A;, fe = Wa+z)+
Ex)
Me=Ave ; d’où ,
BE) = are
Ce qui nous donnera encore, en multipliant les deux
termes par V/(a+x)—V/a L)— V{a+x) Va et Erfæ) — A, = 2V/a En continuant de la même manière, on voit aisément
qu’on obtiendrait à l'infini, A3=2V/a, Ai=2\/a, etc., etc. , et que la génération de V/a+x), est
CO
Va ae
Ver 2V/a+etc.
fraction continue dont le nombre des termes est indéfini.
Si nous faisons a — 1 etæ=—1, cette expression devient
2+1 2+1 2+4-etc.
Elle nous donne alors l'évaluation générale de la quantité V2
fraction continue (15) pour obtenir les fractions succes-
,etil suffit de construire les médiateurs de cette
sives alternativement plus petites et plus grandes que
25. Après avoir reconnu la forme (z) de la génération technique de toute fonction en fraction continue, il nous reste à donner la détermination générale des quantités À, , A;, A,, etc. , qui entrent dans cette fraction. C’est ce que nous allons faire, en nous servant de la méthode des coefficiens indéterminés (voy. Corrri- CIENS ) pour donner un nouvel exemple de la fécondité de cette méthode.
F(z) étant une fonction quelconque de x, et x une autre fonction également quelconque prise pour mesure ; nous avons généralement, As, A, À,, etc. étant des coefficiens dont les valeurs sont connues (voyez SÉRIES ,
F(a) = Ao+AigzA,pa+A:9ztAipzi-tetc.
Mais nous pouvons faire successivement, À, A;', A, ete , A7, A7, A", etc, A", A";, A", etc., étant des coefficiens indéterminés (b) Agx + À rt + Apxi + etc. — : oz ss 7 AH A"pr+A' pr? +A "pr + etc.
A'px + A',gx? L Apr +etc. = er pz — A" HA"px+A" px ÆA "pri etc.
A',gx + A" ox? + A" x etc. = = Fe 7 A"+A",pxA",pat + A"spx$ + etc.
etc. etc.
Ces expressions substituées les unes dans Jes autres, nous donnent (c)
co
F(x) = = a+ Fgz Apr A",-betc.
Ainsi, il s’agit d'obtenir les valeurs des quantités indéterminées À, , A’, A", etc.
Or, en divisant la première égalité par @x, et renversant les rapports, nous avons
Fe RE ON ie Sr à A o+A :.ÿx+A 3PT +etc— A: + A, pr + A39x? + etc.
et, cette égalité étant indépendante de toute valeur particulière de +, en donnant à x la valeur qui rend $r=u, nous aurons A'o—= — o À, et par suite,
I 1 AHAgr-fetc. A:
À,@r+-A:@r + Apr +etc.
7 AA, HA A g7+A Ar +etc,
Substituant cette valeur dans la seconde égalité, après
A'px—+A' pr? + etc. ==
l'avoir préalablement divisée par gx, nous obtiendrons
A", + Az + Az? b etc. —
su __AïAi+ AA,gz + A;A3@x? + etc.
A, + Apr — A,dxt + etc.
et cette dernière devant subsister également quelles que
soient les valeurs de x, nous ferons comme ci-dessus @x=0o, et nous trouverons
La valeur de A”, étant ainsi déterminée, en la retranchant des deux membres de la dernière égalité, nous aurons
POP DE en Le me 1À,Qx
A,+Asgz + Le re [aa apr (AAA om Le ] 7 AA HA,Aipx + A.Aigr A A6 + etc.
ce que nous pouvons mettre sous la forme
A,B:0z A, Bigz? + etc.
A';gx+A",pabetc. = — AR ee
en faisant pour abréger (d)
